第六章 几何图形初步 单元练习 2026--2027学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 人教版七年级上册第六章“几何图形初步”单元卷，覆盖图形认识、角度计算、三视图等核心知识，通过生活情境（如列车车票）和动态问题（如角旋转）培养空间观念与推理意识，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|方向角、三视图、最短路径|结合生活情境（曹县站列车车票）| |填空题|7|正方体展开图、线段中点分类讨论|体现空间观念（展开图对面判断）| |综合题|2|动态角旋转、三视图计算|培养推理意识（多情况角旋转计算）| |实践探究题|2|无盖长方体容积、欧拉公式|发展应用意识（容积最大问题）|

人教版（新教材） · 七年级上册 第六章 几何图形初步 姓名： 班级： 一、单选题 1．如图，射线，则射线表示的方向是（　　） A．南偏西 B．南偏东 C．北偏西 D．北偏东 2．如图，，，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，一只蜗牛从圆柱的点A出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了的中点E处，所得侧面展开图示意图的是（　　） A． B． C． D． 4．下图是某工件的三视图，其中俯视图中圆的半径为10cm，主视图和左视图中等腰三角形的高为30cm，则等腰三角形的腰长是(　　) A．15cm B．30cm C．5cm D．10cm 5．由曹县站始发，终点到达济南站的某一班次列车，运行途中停靠的车站依次是：菏泽——嘉祥——济宁——兖州——泰山．那么要为这一班次列车制作的单程车票为（　　） A．6种 B．15种 C．21种 D．28种 6． 在长方形中，，有三张边长分别为的正方形纸片，蛟蛟将纸片按图①方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，川川将纸片按图②方式放置，发现其中未被纸片覆盖的阴影部分周长为，则（　　） A．2 B． C． D． 7．如图，，则，，之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 二、判断题 8．明明早上上学的方向是东偏南度，下午原路返回，方向是南偏东度．(　　) 9． 判断题. （1）37°28΄>37.5°； （2） 如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等； （3） 一个角的补角一定大于这个角； （4） 锐角与钝角互补. 10．钟面上分针旋转180度，时针旋转的角度为30度.(　　) 三、填空题 11．如图是一个正方体的展开图，则“学”字的对面的字是 　 　． 12．如图，小华认为从A点到B点的四条路线中，③是路程最短的，他判断的依据是　 　． 13．点A、B、C是同一直线上的三点，并且AB=10cm，BC=6cm.若点M是AB中点，点N是BC中点，则MN的长为　 　 cm. 14．由若干个同样大小的立方体堆积成一个实物，从不同方向观察到下面的三视图，则构成该实物的小立方体个数为　 　 15．如图，是的平分线，，，则　 　，　 　． 16．已知，射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从与射线重合位置开始绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转，当射线再次与射线更合时．两条射线同时停止旋转，当时，两条射线旋转的时间t的值为　 　． 17．一张长50cm，宽40cm的长方形纸板，在其四个角上分别剪去一个小正方形（边长相等且为整厘米数）后，折成一个无盖的长方体形盒子，这个长方体形盒子的容积最大为　 　cm3. 四、计算题 18．计算： （1）； （2）． 19．如图，点C是线段上一点，，，点D是线段的中点． （1）求的长； （2）若点E在线段上，，求的长． 20．如下图所示，点P在线段上，，M为的中点，N为的中点．求的长． 21．如图，在数轴上的A点表示数，B点表示数，满足 （1）点A表示的数为____________，点B表示的数为______________. （2）若在原点处放一挡板，一小球甲从点A 处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）． ①当时，乙小球到原点的距离=__________________； 当时，乙小球到原点的距离=__________________． ②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明． （3）现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段上时，分别取和的中点，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值． 五、解答题 22． 如图， 已知线段a， b， 用尺规作一条线段m， 使m=a+b。 23．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点О为中心，共有内外两圈，均可以绕着点О旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连结A0，OD. （1）求∠AOD的度数； （2）固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过6s．求外圈只转一周且当JK与∠AOD一 边垂直时，经过多少时间？ 24．如图，已知点C为上一点，，，D，E分别为，的中点， （1）求的长； （2）求的长． 25． 直角三角板ABC 的直角顶点C在直线DE 上，CF 平分∠BCD. 图1 图2 （1）在图1中，若∠BCE=40°，求∠ACF 的度数. （2）在图1中，若∠BCE=α，求∠ACF 的度数(用含α的式子表示). （3）将图1中的三角板ABC 绕顶点C旋转至图2的位置，探究：写出∠ACF 与∠BCE 的度数之间的关系，并说明理由. 六、作图题 26．作图题：（截取用圆规，并保留痕迹，可不写作法） 如图，平面内有四个点，，，．根据下列语句画图： （1）画直线； （2）画射线交直线于点； （3）连接，用圆规在线段的延长线上截取． 27．李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． （1）共有　 　种弥补方法； （2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； （3）在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 28．综合与探究 问题背景 数学活动课上，老师将一副三角尺按图1所示位置摆放，三角尺ABC中，∠BAC=90°，∠B=∠C=45°；三角尺ADE中，∠D=90°，∠DAE=60°，∠E=30°．分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．然后提出问题：求出∠MAN的度数． 特例探究 “智慧小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，AM和AN仍然是∠BAD和∠CAE的平分线． 其中，按图2方式摆放时，AB和AE在同一直线上．按图3方式摆放时， AB、AD、AM在同一直线上． （1）计算：图2中∠MAN的度数为 ▲ °，图3中∠MAN的度数为 ▲ °（直接写出答案，不写过程）． 发现感悟 （2）探究完图2，图3所示的特殊位置问题后，请你猜想图1中∠MAN的度数为 ▲ °； “智慧小组”的同学认为图2，图3中∠BAD、∠CAE的度数都已知或能求出具体的度数，图1中，∠MAN=∠MAB+∠BAE+∠EAN ，这些角比较一般化，求不出具体的度数，所以想到了用字母表示数，如果设∠BAE为x°，则可以用含x的式子表示∠BAD和∠CAE，进而可以表示∠MAB和∠EAN，这样就能求出∠MAN的度数； 请你根据智慧小组的思路，求出图1中∠MAN的度数． 类比拓展 （3）受到“智慧小组”的启发，“创新小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠BAD、∠CAE的平分线AM、AN．他们认为也能求出∠MAN的度数．请你求出∠MAN的度数． 七、综合题 29．将直角三角板（）顶点放在直线上，过点作射线，使． （1）如图1，当三角板的一边与射线重合时，直接写出的度数； （2）将三角板在直线上方绕点逆时针转动， ①如图2，当平分时，求的度数； ②当时，求的度数． 30．（1）如图1. 图1 ①若已知∠AOB=90°，∠DOB=30°，射线OC 平分∠DOB，射线OE 平分∠AOD.求∠EOC 的度数； ②若已知∠AOB=β，∠DOB=α，射线OC 平分∠DOB，射线 OE 平分∠AOD，求∠EOC 的度数； （2）如图2，已知∠AOD=120°，射线OP 以每秒15°的速度，从射线OD 开始逆时针向射线OA 旋转，到达射线OA 之后又以同样的角速度顺时针返回，到达射线OD 停止，射线OQ 从射线OA 开始，以每秒5°的速度顺时针向射线OD 旋转，直到到达各自的目的地才停止，当过了几秒时， 图2 八、实践探究题 31．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题： （1）根据图中的多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 　 　 八面体 　 　 8 12 十二面体 20 12 30 （2）根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　（用所给的字母表示）. （3）若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是　 　. （4）有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有 3条棱，设该多面体的面数为x，求x的值. 32．综合与实践： 主题：制作一个无盖长方形盒子． 步骤1：按照如图所示的方式，将正方形纸片的四个角剪掉四个大小相同的小正方形． 步骤2：沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． 【问题分析】 （1）如果原正方形纸片的边长为a，剪去的正方形的边长为b，则折成的无盖长方体盒子的高、底面积、容积分别为______、______、______、______（请你用含a，b的代数式来表示）． 【实践探索】 （2）如果，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是下表数据，请求出m和n分别是多少？ 剪去正方形的边长/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积/ 324 512 m n 500 384 252 128 36 0 【实践分析】 （3）观察绘制的统计表，你发现，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？并分析猜想当剪去图形的边长为多少时，所得的无盖长方体的容积最大，此时最大容积是多少？ 九、证明题 33．如图，已知点B在线段上，，． （1）求线段的长； （2）如果点O是线段的中点，求线段的长． 34．如图，是的角平分线，是内部的一条射线． （1）图中共有　 　个角； （2）若，且，求的度数； （3）若是的角平分线，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】错误 9．【答案】（1）错误 （2）正确 （3）错误 （4）错误 10．【答案】错误 11．【答案】核 12．【答案】两点之间，线段最短 13．【答案】2或8 14．【答案】7 15．【答案】； 16．【答案】10或20或70 17．【答案】6552 18．【答案】（1） （2） 19．【答案】（1）2 （2）8或 20．【答案】解：由题意，得． 所以． 21．【答案】（1），5 （2）①2，4；②能，当或时，甲、乙两小球到原点的距离相等 （3）的值是定值，这个定值为2 22．【答案】解：作法： (1)作射线 OA； (2)在射线OA 上截取 (3)在射线 BA上截取 则线段OC就是所求作的线段m.(如图所示) 23．【答案】（1）解：由题意得， 将圆 8 等分， 占其中的 3 份 （2）解：由题意得， 外圈转动速度为 分类讨论可得： ①当 时， 点 在右侧半圆上， 时间 点 在左侧半圆上， 时间 ②当 时， 点 在右侧半圆上， 时间，点 在左侧半圆上， 时间 综上所述， 经过 或 24．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴(cm)， （2）解：∵D为的中点， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴． 25．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BCE=40°， ∴∠ACD=180°-90°-40°=50°，∠BCD=180°-40°=140°. ∵CF 平分∠BCD， ∴∠ACF=∠DCF-∠ACD=70°-50°=20°. （2）解：∵∠ACB=90°，∠BCE=α， ∴∠ACD=180°-90°-α°=90°-α，∠BCD=180°-α. ∵CF 平分∠BCD， （3）解：理由如下： 如图2，∵点C在DE 上， ∴∠BCD=180°-∠BCE. ∵CF 平分∠BCD， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACF=∠ACB-∠BCF 26．【答案】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，射线和点即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 27．【答案】（1）4 （2）画出一种成功的设计图如下所示： （3）解：将和为17的两个数填入相对的面上，如下图： ​​​​​​​ 28．【答案】（1）答案为：75；75； （2）答案为：75； （3）解：设∠BAE为x°，则∠BAD=∠DAE+ x°=60°+ x°， ∠CAE=360°-∠BAC-∠BAE=360°-90°-x°=270°-x°， 因为AM和AN是∠BAD和∠CAE的平分线， 所以∠MAD=∠BAD =（60°+ x°）=30°+ x° ∠EAN=∠CAE=（270°- x°）=135°- x°． 所以∠MAN=∠MAD +∠EAN-∠DAE =（30°+ x°）+（135°- x°）- 60° =105°． 29．【答案】（1）解：，， ； （2）解：①，是的角平分线， ， ； ②当在内部时，如图2， ，，， ， ， ； 当在内部时，如图3， ，，， ， ， ． 综上，的度数为或． 30．【答案】（1）解：①∵∠AOB=90°，∠DOB=30°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=120°. ∵射线OC 平分∠DOB，射线OE 平分∠AOD， ∴∠EOC=∠EOD-∠COD=45°. ②∵∠AOB=β，∠DOB=α， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=β+α. ∵射线OC 平分∠DOB，射线OE 平分∠AOD， （2）解：分为两种情况： 情形一 当OQ 在OP 左侧，t秒后 ①此时 解得 ②此时 解得 情形二 当 OQ 在 OP 右侧时，m 秒后∠POQ = 解得 解得m=16. ∠POQ = 31．【答案】（1）12；6 （2）V+F-E=2 （3）18 （4）解：∵该多面体的顶点数V=24，且每个顶点处有3条棱， ∴该多面体的棱数 ∵V+F-E=2，∴24+x-36=2，解得x=14. 32．【答案】解：（1）b，；；（2）； 解： 解：（2）当，时，， 当，时，， （3）答：由表中数据可知，随着减去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小； 由表中数据可知，当时，容积最大为． 33．【答案】（1）30 （2）9 34．【答案】（1）6 （2）解：∵， ∴设， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解；， 理由如下：∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $