第2章 章末整合提升（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学单元复习课件聚焦一元二次方程和不等式，系统梳理基本概念、解法、判别式与根的关系、韦达定理及应用等核心内容，通过关联二次函数与方程、不等式的内在联系，构建“概念-解法-性质-应用”的完整知识网络。 其亮点在于采用“体系构建+素养提升”双模块设计，素养提升部分结合例题变式、高考真题及实际问题，如通过运输费用优化模型培养用数学眼光观察现实世界的意识，借助推理分析不等式性质发展数学思维，分层训练适配不同学生，助力教师精准复习，提升知识巩固效率。

章末整合提升 1 体系构建 01 素养提升 02 目录 2 体系构建 01 PART 目 录 数学·必修第一册 目 录 素养提升 02 PART 目 录 一、不等式及其性质 　　理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高 中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关. 【例1】　（1）〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正 确的是（　　） A. ＞ B. ab＜b2 C. a｜c｜＞b｜c｜ D. a（c2＋1）＜b（c2＋1） √ √ 数学·必修第一册 目 录 解析：对于A，因为a＜b＜0，所以 － ＝ ＞0，则 ＞ ，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋1）＜b（c2＋1），故D正确. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知－1＜x＜4，2＜y＜3.试求x－y与3x＋2y的取值范围. 解：因为－1＜x＜4，2＜y＜3， 所以－3＜－y＜－2， 所以－4＜x－y＜2. 由－1＜x＜4，2＜y＜3，可得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y ＜18. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 不等式及其性质的2个关注点 （1）运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆 性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题； （2）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通 分、分解因式、配方等. 数学·必修第一册 目 录 二、基本不等式（考教衔接） 　　基本不等式： ≤ （a＞0，b＞0）是每年高考的热点，主要 考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题与实际问 题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查 学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式中和与积的转化在高考中也经常 出现. 教材原题　（链接教材P58复习参考题5题）若a，b＞0，且ab＝a＋b＋ 3，求ab的取值范围. 数学·必修第一册 目 录 变式1　若条件不变，则a＋b的最小值为 ⁠. 解析：因为a＞0，b＞0，所以ab≤ ，所以ab＝a＋b＋ 3≤ ，所以（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即[（a＋b）－ 6][（a＋b）＋2]≥0，因为a＋b＋2＞0，所以a＋b－6≥0，所以a＋ b≥6，当且仅当a＝b，即a＝b＝3时，a＋b取最小值6，故a＋b的最小 值为6. 6 数学·必修第一册 目 录 变式2　若a，b＞0，且ab＝a＋b，则a＋b的最小值为 ⁠. 解析：因为a，b＞0，且ab＝a＋b得 ＋ ＝1，所以a＋b＝（a＋b） ＝2＋ ＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当 ＝ ，即a＝b＝2时取等 号，所以a＋b的最小值为4. 4 数学·必修第一册 目 录 变式3　若正实数a，b，满足a＋2b＝1，求 ＋ 的最小值. 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝1，∴（a＋1）＋2b＝2，∴ ＋ ＝ [（a＋1）＋2b]＝ ≥ （6＋2 ） ＝ ×（6＋4 ）＝3＋2 （当且仅当 ＝ ，即a＝3－2 ，b＝ －1时取等号），∴ ＋ 的最小值为3＋2 . 数学·必修第一册 目 录 变式4　（真题检验）〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋ y2－xy＝1，则（　　） A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 √ √ 数学·必修第一册 目 录 解析：　对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy ＝ － ，所以（x＋y）2－3 ＝ 1，即1＝ ＋ ≥ ，所以－2≤x＋y≤2，所以 A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝ xy≤ ，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不 正确.综上可知.故选B、C. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 利用基本不等式解题的关注点 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”； （2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式， 然后再利用基本不等式； （3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方 法；三是配凑法. 数学·必修第一册 目 录 三、一元二次不等式的解法 　　通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一 元二次不等式及分式不等式的解法. 【例2】　若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是 . （1）求a的值； 解：依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为 和2，且a＜0.由 根与系数的关系，得 解得a＝－2. 数学·必修第一册 目 录 （2）求不等式 ＞a＋5的解集. 解：将a＝－2代入不等式，得 ＞3，即 －3＞0，整理得 ＞0，即（x＋1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜－1，则不等式的解集为 {x｜－2＜x＜－1}. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影 响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系； （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式 Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论. 数学·必修第一册 目 录 四、构建数学模型解决实际问题 　　不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化 问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条 件构建数学模型是解题关键. 数学·必修第一册 目 录 【例3】　某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙 地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单 位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝ 运费＋装卸费＋损耗费） （1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围； 解：设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝ ×60 ＋1 000＋2x. 令 ×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得 40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜ 40≤x≤90}. 数学·必修第一册 目 录 （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解：由（1）得y＝ ×60＋1 000＋2x＝2x＋ ＋1 000≥2 ＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝ ，即x＝60时取等号，∴若要使运输 的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 数学·必修第一册 目 录 【反思感悟】 解决实际问题的关注点 （1）审题要准，初步建模； （2）设出变量，列出函数关系式； （3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $