25.2降次---解一元二次方程 讲义 2026-2027学年 人教版九年级上册数学

本讲义聚焦一元二次方程降次解法核心知识点，系统梳理直接开方法（适用于x²=p等形式）、配方法（含化简、移项等步骤）、公式法（求根公式及判别式Δ=b²-4ac）、因式分解法（提公因式等），构建从降次思想到方法选择的完整学习支架。 资料以例题讲析与分层试题专炼为特色，通过配方法推导培养推理意识，不同解法选择训练应用意识，如例题覆盖各方法考点，试题含基础到综合练习。课中辅助教师系统授课，课后助力学生强化运算能力，查漏补缺，提升问题解决能力。

25.2降次---解一元二次方程 课节学习目标 1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2. 运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. 3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 4. 经历求根公式的推导过程.会用公式法解简单系数的一元二次方程. 5. 理解并会计算一元二次方程根的判别式.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 6. 理解用因式分解法解方程的依据.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 7. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 课节知识点解读 知识点. 一元二次方程的解法 有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 （2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边； ③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 课节知识点例题讲析 考点1. 解一元二次方程 【例题1】一元二次方程(x+2006)2＝1的解为（ ） A．﹣2025，﹣2027 B．﹣2025 C．﹣2026 D．﹣2027 【例题2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　） A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2= 【例题3】解方程：x2﹣2x﹣1=0． 【例题4】方程2x2+1=3x解为________． 考点2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的应用 【例题5】 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【例题6】 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【例题7】关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．有下列方程： ①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④． 其中能用直接开平方法做的是( ) A． B． C． D． 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 3．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ） A． B． C． D． 4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ） A． B． C．2或3 D．或 6. 对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 8．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____． 10. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 11.设与为一元二次方程的两根，则的值为______． 12．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　 　． 13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____． 14．解方程：(x+5)2+16=80； 15.解方程：． 16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 17．选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x 18.用公式法解下列方程. （1）；（2）；（3）. 19.我们知道，那么就可转化 为，请你用上面的方法解下列方程： （1）；（2）；（3）. 20.用指定的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法） （3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法） 25.2降次---解一元二次方程 课节学习目标 1. 会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2. 运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程. 3. 了解配方的概念.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题. 4. 经历求根公式的推导过程.会用公式法解简单系数的一元二次方程. 5. 理解并会计算一元二次方程根的判别式.会用判别式判断一元二次方程的根的情况. 6. 理解用因式分解法解方程的依据.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 7. 会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程. 课节知识点解读 知识点. 一元二次方程的解法 有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。 （1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。 （2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1； ②移项——把常数项移项到等号的右边； ③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式； ④开方，即降次； ⑤解一次方程。 （3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为： 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。 ， ②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。 ③b2-4ac＜0时，方程无实数根。 定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。 （4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。 课节知识点例题讲析 考点1. 解一元二次方程 【例题1】一元二次方程(x+2006)2＝1的解为（ ） A．﹣2025，﹣2027 B．﹣2025 C．﹣2026 D．﹣2027 【答案】A 【解析】（x+2026）2=1 x+2026=±1， 所以x1=-2025，x2=-2027． 【例题2】一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　） A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2= 【答案】B． 【解析】y2﹣y﹣=0 y2﹣y= y2﹣y+=1 （y﹣）2=1 【例题3】解方程：x2﹣2x﹣1=0． 【答案】x1=1+，x2=1﹣． 【解析】a=1，b=﹣2，c=﹣1， △=b2﹣4ac=4+4=8＞0， 方程有两个不相等的实数根， x===1， 则x1=1+，x2=1﹣． 【例题4】方程2x2+1=3x解为________． 【答案】 【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解． 移项得：， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． 考点2. 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的应用 【例题5】 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. 33 B. 23 C. 17 D. 【答案】C 【解析】直接利用一元二次方程根的判别式求出答案． ∵，，， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 【例题6】 关于x的一元二次方程根的情况，下列说法中正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． ， 其中，，， ∴， ∴方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【例题7】关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． ∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 深化对课节知识点理解的试题专炼 1．有下列方程： ①x2-2x=0； ②9x2-25=0； ③(2x-1)2=1； ④． 其中能用直接开平方法做的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】①x2-2x=0，因式分解法； ②9x2-25=0，直接开平方法； ③(2x-1)2=1，直接开平方法； ④，直接开平方法， 则能用直接开平方法做的是②③④. 2. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 3．用配方法解方程，变形结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1, 得： ，配方得， 即:． 4．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 【答案】C． 【解析】x2﹣4x+3=0， 分解因式得：（x﹣1）（x﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=3 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（ ） A． B． C．2或3 D．或 【答案】A 【解析】∵方程有两个相等的实根， ∴△=k2-4×2×3=k2-24=0， 解得：k=． 6. 对于一元二次方程2x2﹣3x+4＝0，则它根的情况为（　　） A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是﹣2 D．有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】根据方程的系数结合根的判别式△＝b2﹣4ac，即可求出△＝﹣23＜0，进而可得出该方程没有实数根（若方程有实数根，再利用根与系数的关系去验证B，C两个选项）． ∵a＝2，b＝﹣3，c＝4， ∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×4＝﹣23＜0， ∴一元二次方程2x2﹣3x+4＝0没有实数根． 7．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　） A．x1=﹣1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=1，x2=3 D．x1=﹣1，x2=﹣3 【答案】C 【解析】x2-4x+3=0， 分解因式得：（x-1）（x-3）=0， 解得：x1=1，x2=3 8．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____． 【答案】 【解析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可． 由题意得：， ∴m=1， 原方程变为：﹣x2+2=0， x= 9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____． 【答案】3 【解析】x2﹣4x=﹣k， x2﹣4x+4=4﹣k， （x﹣2）2=4﹣k， 所以4﹣k=1， 解得：k=3． 10. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】2 【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值， 由题意可知： ，， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键． 11.设与为一元二次方程的两根，则的值为______． 【答案】20 【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； ∵ △=9-4=5＞0， ∴，， ∴=， 故答案为：20； 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 12．若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　 　． 【答案】a≥﹣1． 【解析】此题考查了根的判别式，注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0． 当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根， 当a≠0时，方程是一元二次方程， 若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解， 则△=[2（a+2）]2﹣4a•a≥0， 解得：a≥﹣1． 13．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____． 【答案】且k≠0 【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得：﹣≤k＜且k≠0 故答案为﹣≤k＜且k≠0． 14．解方程：(x+5)2+16=80； 【答案】x1=-13，x2=3 【解析】（x+5）2+16=80， 移项，得（x+5）2=64， ∴x+5=±8，∴x=-5±8， ∴x1=-13，x2=3。 15.解方程：． 【答案】， 【解析】首先将方程进行因式分解，然后根据因式分解的结果求出方程的解． ∴或 ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法求解方程． 16. 解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）． 【答案】x1=3或x2=． 【解析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可． 2（x﹣3）=3x（x﹣3）， 移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0， 整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0， x﹣3=0或2﹣3x=0， 解得：x1=3或x2=． 17．选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x 【答案】x1＝1，x2＝﹣． 【解析】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0, (x﹣1)(3x+2)＝0, x﹣1＝0或3x+2＝0, 所以x1＝1,x2＝﹣． 18.用公式法解下列方程. （1）；（2）；（3）. 【答案】见解析 【解析】用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式 ，即可. （1），，, ∴, ∴, ∴，． （2）将方程化为一般形式， ∴，，, ∴, ∴，∴，． （3），，, ∴， ∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根． 19.我们知道，那么就可转化 为，请你用上面的方法解下列方程： （1）；（2）；（3）. 【答案】（1），. （2），. （3），. 【解析】（1）∵，∴， ∴或，∴，. （2）∵，∴， ∴或，∴，. （3）∵，∴， ∴或，∴，. 20.用指定的方法解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法） （2）2x2﹣5x+1＝0 （配方法） （3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法） （4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法） 【答案】见解析。 【解析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解； （2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解； （3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解； （4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9， 开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， 解得：x1＝4，x2＝﹣2； （2）方程变形得：x2x， 配方得：x2x（x）2， 开方得：x±， 则x1，x2； （3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0， 这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6， ∵△＝1+24＝25， ∴x， 则x1＝3，x2＝﹣2； （4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝2． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $