25.2 降次——解一元二次方程暑假预习练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2降次——解一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（    ） A．2或6 B．2或8 C．2 D．6 2．若实数k、b是一元二次方程的两个根，且，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，当时，随增大而减小，则关于的方程的根的情况是(   ) A．有两个正根 B．有一个正根一个负根 C．有两个负根 D．没有实根 4．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（　　） A． B．3 C．6 D．9 5．若关于x的一元二次方程的两个根分别是，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．若，则的值为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．已知一个直角三角形的两条直角边恰好是方程的两根，则此三角形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．关于x的方程a (x+m)2+bx-c=0的根是x1=-2， x2=1 (a、m、b、c均为常数，a≠0)，则方程a (x+m-1) 2+b (x-1) =c的根是(     ) A．x1=-1， x2=2 B．x1=-2， x2=1 C．x1=2， x2=1 D．x1=-2， x2=-1 9．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝6．若x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．有一个实根 D．没有实根 10．关于x的一元二次方程 与 称为“同族二次方程”．如 与 就是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程”，那么代数式 能取的最大值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 11．已知关于的方程的两个实数根分别为2和，则二次三项式可以因式分解为（   ） A． B． C． D． 12．不解方程，请你判断一元二次方程的根的情况为（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 二、填空题 13．对二次三项式因式分解：___________． 14．关于y的方程的解是 ______________． 15．在实数范围内分解因式：___________． 16．方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为______． 17．已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 三、解答题 18．解方程： 19．求x的值：． 20．如图，在中，．    (1)求作菱形，使得点D落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，延长相交于点F，且，求的值． 21．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，每袋成本16元，该网店于今年3月销售出200袋，每袋售价30元，为了扩大销售，4月准备适当降价．据测算每袋降价1元，销售量可增加20袋． (1)每袋降价5元时，4月共获利多少元？ (2)当农产品每袋降价多少元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元？ 22．求证：不论k取何实数，方程都没有实根． 23．解方程： (1)x2–4x + 3＝0； (2)x（x – 1）＝2（x – 1） 《25.2降次——解一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B A A B A A D 题号 11 12 答案 A B 1．A 【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根, ∴, ∴ ∵是方程的两个实数根, ∵， 又 ∴ 把代入整理得, 解得, 故选A 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程． 2．C 【分析】根据一元二次方程的解法求出k、b的值，由一次函数的图像即可求得． 【详解】∵实数k、b是一元二次方程的两个根，且， ∴, ∴一次函数表达式为， 有图像可知，一次函数不经过第三象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法和一次函数图像． 3．B 【分析】先根据反比例函数的性质求出ab>0，再根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系判断即可． 【详解】解：∵当时，随增大而减小， ∴ab>0． ∵， ∴方程有两个不相等的根． ∵， ∴方程有一个正根一个负根． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是求出ab>0． 4．B 【分析】设直角三角形的两条直角边分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，根据完全平方公式变形求出，即可得出斜边长． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，，则，， ∴， ∴直角三角形的斜边长为：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，解题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出两条直角边的平方和． 5．A 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程的两个根分别是，， 即的两个根分别是，， 则，， 解得， 故，， 故， 解得 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了配方法的应用、已知式子的值，求代数式的值，先整理，以及把化为，再把，代入计算化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 则 把，代入上式，得 故选：A 7．B 【分析】直接利用根与系数的关系得出两直角边长的乘积为4，再乘即是三角形的面积． 【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，是方程的两根， 则， 所以三角形的面积为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系：一元二次方程如果方程的两根为，则． 8．A 【分析】利用整体的方法把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于x-1的一元二次方程，则利用关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1，于是得到x-1=-2或x-1=1，然后分别解两个一次方程即可． 【详解】解：把方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c看作关于2x-1的一元二次方程， 而关于x的方程a（x+m）2+bx-c=0的根是x1=-2，x2=1， 所以x-1=-2或x-1=1， 所以x1=-1，x2=2． 所以方程a（x+m-1）2+b（x-1）=c的根为x1=-1，x2=2． 故选A． 【点睛】此题考查了特殊方法解一元二次方程，正确理解两个方程的关系是解题的关键． 9．A 【分析】利用新定义得到（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况． 【详解】解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程， ∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x， 整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1） ＝4k2+5＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义和一元二次方程根的情况，理解新定义是解答关键． 10．D 【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到，可以写成，展开对应相等求出的值，利用配方法求出的最大值即可．熟练掌握新定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 与 是“同族二次方程” ∴第二个方程可以写成的形式， ∴展开得： ∴，，， 解得：，， ∴， ∵ ∴ ∴能取的最大值是2026． 故选D． 11．A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，运用因式分解法反向求方程的分解式． 根据方程的两根，将其配成两个相乘的式子，即是原方程的分解式．即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个根为． ∴原方程为：． ∴二次三项式可分解为． 故选：A． 12．B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．熟练掌握判别式与根的个数的关系，是解题的关键．求出判别式的值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 13． 【分析】本题考查了在实数范围内因式分解． 令，用公式法解方程得，，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， ， ， ， 解得，， ． 故答案为： ． 14．，， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握求解一元二次方程的方法是解题的关键． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 15． 【分析】由时，解得，根据求根公式的分解方法和特点即可得到答案． 【详解】解：当时， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式的知识，当无法用十字相乘法分解时可以使用求根公式法进行分解． 16．或 【分析】此题主要考查一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用．通过解一元二次方程求出直角三角形的两边的长，然后分两种情况计算是解题关键． 【详解】解：解方程得，， 当为斜边时，斜边长为， 当为直角边时，斜边长为， 故答案为：或． 17． 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 18．或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法成为解题的关键． 直接运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， 或． 所以该方程组的解为：或． 19．或 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义， 方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解； 【详解】解： 或， 解得或． 20．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）以为圆心，为半径作圆交于点，作的平分线，再以为圆心，为半径作圆交于点，连接，则四边形就是所作的菱形； （2）先证明，设菱形的边长为，，在和中，利用正弦函数的定义求得，得到，解方程即可求解． 【详解】（1）解：四边形就是所作的菱形；    （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设菱形的边长为，，则， 在中，， ∴，则， 在中，， 整理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，正弦函数的定义，菱形的性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 21．(1)4月共获利2700元 (2)当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元 【分析】（1）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出答案； （2）直接利用销量×每袋的利润＝总利润，进而得出方程得出答案． 【详解】（1）解：当每袋降价5元时， 由题意可得：（30−16−5）×（200＋20×5）＝2700（元）， 答：每袋降价5元时，4月共获利2700元； （2）解：设当农产品每袋降价x元时，根据题意可得： （200＋20x）（30−16−x）＝2860， 整理得：x2−4x＋3＝0， 解得：x1＝3，x2＝1（根据尽可能让利于顾客，舍去）， 答：当农产品每袋降价3元时，能尽可能让利于顾客，并且让商家获利2860元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确掌握销量×每袋的利润＝总利润是解题关键． 22．见解析 【分析】先根据得到即可得到方程是一元二次方程，然后利用一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程是一元二次方程， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即恒成立， ∴方程都没有实根． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 23．(1)x1=1，x2=3； (2)x1=1，x2= 2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先移项得x（x – 1）-2（x – 1）=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）x2–4x + 3＝0 解：（x-1）（x-3）=0， x-1=0或x-3=0， 所以x1=1，x2=3； （2）x（x – 1）=2（x – 1） 解：x（x – 1）-2（x – 1）=0， （x-1）（x-2）=0， x-1=0或x-2=0， 所以x1=1，x2=2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 学科网（北京）股份有限公司 $