专题1 集合与常用逻辑用语 高频考点分类突破训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦集合与常用逻辑用语核心考点，以“概念-运算-命题-量词”为逻辑主线，通过分层题组实现基础巩固与能力提升，培养抽象能力、推理意识与符号表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的概念与运算|11题（★8/★★3）|含集合表示、交并补运算、空集边界问题（★5）、新定义“好元素”（★★10）|从集合概念（元素特性）到运算（交并补），再到子集关系与参数求解，形成完整认知链| |命题的概念及真假判断|8题（★6/★★2）|涵盖命题识别、真假判断（★12立体几何综合）、四种命题及否定（★17/★★18）|以命题定义为起点，通过多领域（几何、函数）实例强化真假推理，渗透反证法思想| |全称量词与存在量词|2题（★★1/★★★1）|涉及量词命题识别（★★20函数余数）、综合应用（★★★21含参数函数零点）|衔接命题基础，突出量词否定规则，体现符号语言表达与逻辑推理的结合|

高中数学 · 高频考点分类突破 · 专题1 集合与常用逻辑用语 专题1　集合与常用逻辑用语 高中数学 · 高频考点分类突破 · 详解版（含解析） 共 21 题　★ 容易 14　★★ 一般 6　★★★ 困难 1 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________ 使用建议：按“考点”由易到难逐块过关；选择题、填空题先独立作答再对照解析，解答题须写出完整步骤。建议限时训练、红笔订正、错题归类。本资料为原创精选题组，适用于同步巩固与复习提升。 考点1　集合的概念与运算 本考点考查集合的基本概念与表示方法，以及交集、并集、补集的运算，注意空集是任何集合的子集这一边界情况。 ★1．设集合A={x|-2＜x＜1}，B={x|-1≤x≤2}，则A∪B=___________ ． 1．【答案】{x|-2＜x≤2}　 【解题思路】直接根据集合的并集是由两个集合的所有部分组成即可得到结论． 【解答过程】【分析】直接根据集合的并集是由两个集合的所有部分组成即可得到结论． ★ 2．设集合A＝{ || － |<1，∈R}，B＝{ |1< <5，∈R}，若A∩B＝∅，则实数的取值范围是( ) A．{ |0≤≤6} B．{ | ≤2，或≥4} C．{ | ≤0，或≥6} D．{ |2≤≤4} 2．【答案】C　 【解答过程】A＝{ || － |<1，∈R}＝{ | －1< <1＋ }，因为A∩B＝∅，所以有－1≥5或1＋≤1，即≥6或≤0，选C． ★ 3．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 3．【答案】C　 【解答过程】解：全集， 集合，， ， ． 故选：． 先求出，由此能求出． 本题考查集合运算及应用，考查补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ★ 4．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．【答案】C　 【解答过程】解：集合，， 由题意得， 所以 故选： 根据一元二次不等式的解法，可得集合，根据集合的交运算即可求解． 本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． ★ 5．若集合A＝{∈R|＋＋1＝0}中只有一个元素，则＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4 5．【答案】A　 【解答过程】若＝0，则A＝∅，不符合要求；若≠0，则Δ＝－4 ＝0，得＝4，故选A. ★ 6．若全集且，则集合__________，集合的真子集共有__________个 6．【答案】　 【解答过程】解析，， ， 集合的真子集共有个 ★ 7．已知全集，集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． 7．【答案】解：时，全集，集合，． ， 或， ． 集合，，， ，解得， 实数的取值范围是．　 【解答过程】时，求出集合，，，由此能求出，A. (2)由集合，，，列出不等式组，由此能求出实数的取值范围． 本题考查交集、补集、并集、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集、子集的定义的合理运用． ★ 8．已知集合，设全集，求； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． 8．【答案】解：，， ， 又，或； (2)由题意可知，且， ，解得， 即实数的取值范围是　 本题考查交、并、补集的混合运算，考查集合间关系，是基础题． (1)由交集运算求得，再由补集运算得答案； (2)由题意可得关于的不等式组，求解得答案． ★★ 9．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（ ） A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} 9．【答案】C　 【解题思路】列举出N中的元素，求出M与N的交集即可做出判断．　 【解答过程】【解答】解：∵M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}={2，3}， ∴N⊆M，M∩N={2，3}，M∪N={1，2，3}． 故选：C． ★★10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ） A．6个 B．12个 C．9个 D．5个 10．【答案】A　 【解答过程】要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起 （要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”） 故不含“好元素”的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}， {3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6种可能 故选A ★★ 11．已知集合A={x|x＜a+3}，B={x|x＜5}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围． 11．【答案】【解答】解：∵A⊆B， ∴a+3≤5， ∴a≤2， ∴实数a的取值范围（-∞，2]．　 【解题思路】直接结合条件A⊆B，找到含有a的不等式即可．　 【解答过程】【分析】直接结合条件A⊆B，找到含有a的不等式即可． 考点2　命题的概念及真假判断 本考点要求能识别命题（能判断真假的陈述句），区分疑问句、祈使句与感叹句，并判断命题的真假。 ★ 12．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线， ①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n； ②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n； ③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n； ④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n． 在上述四个命题中，真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．【答案】B　 【解答过程】解：①若n⊥β，α∥β，则n⊥α， 而m⊥α，则m∥n； 故①正确； ②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n或m⊥n； 故②错误； ③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n； 故③正确； ④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m∥n， 故④错误； 故选：B． 利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案． 本题考查空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系，着重考查线面垂直与线面平行的判定与性质及面面平行与垂直判定与性质，属于中档题． ★ 13．给出下列个命题：其中正确的命题是 A．函数的图象关于点，对称 B．函数是最小正周期为的周期函数 C．设为第二象限角，则，且 D．函数的最小值为 13．【答案】AD　 【解题思路】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题． 利用三角函数的图象与性质，逐一分析判断即可．　 【解答过程】解：函数的图象关于点，对称，由正切函数的性质可得，正确； B.函数，，故错误； C.设为第二象限角，则为第一象限角，而，不一定成立，故错误； D.函数， 当时，函数取得最小值，故正确. 故选 ★ 14．下列命题正确的是 A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 14．【答案】BC　 【解答过程】解：由公理可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故错误； 由公理知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故正确； 因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故正确； 一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故错误． 故选： 由公理判断；由公理判断；由空间中点、线、面间的位置关系判断与 本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． ★ 15．下列四个命题是假命题的是 A．是空集 B．若，则 C．集合中有个元素 D．集合是有限集 15．【答案】ABCD　 【解题思路】本题考查与集合有关的概念，属于基础题. 根据集合的含义、元素与集合的关系以及一元二次方程的解逐一判断各个命题即可.　 【解答过程】解：是含有一个元素的集合，不是空集，是假命题 当时，，是假命题，只有个元素，是假命题 当为正整数的倒数时，，所以是无限集，是假命题. 故选 ★ 16．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab能被3整除，那么a、b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为“a、b∈N，ab能被3整除，那么______”． 16．【答案】a，b都不能被3整除　 【解答过程】解：由反证法的步骤知，假设的结论是： a，b都不能被3整除， 故答案为：a，b都不能被3整除 根据反证法的定义对结论进行假设即可． 本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键．比较基础． ★ 17．写出命题：“若 x+y =5，则 x = 3且 y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题.并判断它们的真假. 17．【答案】逆命题：若 x =3且 y = 2 则 x + y = 5 （真） 否命题：若 x + y 5 则 x 3或y2 （真） 逆否命题：若 x 3 或y2 则 x + y 5 （假） 【解答过程】【解析】逆命题的条件是原命题的结论，结论是原命题的条件；原命题的条件否定后 是否命题的条件，原命题结论否定后是否命题的结论；逆否命题是否命题的逆命题. 原命题与逆否命题真假相同，都是假命题；逆命题和否命题真假相同，都是真命题. ★★ 18．命题“至少有一个偶数是质数”的否定为____________________ ． 18．【答案】任意的偶数都不是质数　 【解题思路】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，存在改为任意，后半部分否定即可．　 【解答过程】【分析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，存在改为任意，后半部分否定即可． ★★ 19．已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中： （1）函数y=f（x+2）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称； （2）函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称． 正确的命题序号是 ． 19．【答案】（2）　 【解题思路】（1）根据函数左右平移的知识得出函数y=f（x+2）与函数y=f（x-2）的图象不一定关于直线x=2对称； （2）根据函数左右平移的知识以及y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称得出函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称．　 【解答过程】【分析】（1）根据函数左右平移的知识得出函数y=f（x+2）与函数y=f（x-2）的图象不一定关于直线x=2对称； （2）根据函数左右平移的知识以及y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称得出函数y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称． 考点3　全称量词与存在量词 本考点考查全称量词命题与存在量词命题的识别、真假判断，以及命题的否定（改量词、否结论）。 ★★ 20．设函数f（x）（x∈N）表示x除以3的余数，对x，y∈N都有（ ） A．f（x+3）=f（x） B．f（x+y）=f（x）+f（y） C．3f（x）=f（3x） D．f（x）f（y）=f（xy） 20．【答案】A　 【解答过程】对于A，若x除以3的余数是a，则0≤a≤2， ∴x+3除以3的余数=x除以3的余数+3除以3的余数，而3除以3的余数=0， ∴x+3除以3的余数=x除以3的余数；故选项A符合题意； 对于B，不妨令x=1，y=2，则f（x+y）=f（3）=0，而f（1）=1，f（2）=2，显然0≠1+2=3， 故选项B不符合题意； 对于C，f（3x）=0，而3f（x）不一定为0，故C不符合题意； 对于D，不妨令x=2，y=2，则f（x+y）=f（4）=1，而f（x）=2，f（y）=2，显然1±2×2=4，故D不符合题意． 故答案为：A． ★★★ 21．已知函数且，的图象关于轴对称，且满足． Ⅰ求、的值； Ⅱ若函数在上存在零点，求实数的取值范围； Ⅲ若函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21．【答案】解：Ⅰ函数且，满足， 函数的图象关于轴对称， 综上，． Ⅱ函数在上存在零点方程在上有解， 即方程在上有解， 令，，实数的取值范围为：． Ⅲ函数 令，， 故当，即时，当，函数的最小值，舍去； 当，时，函数最小值为； 当，当时，函数最小值为，解得舍去 综上：存在实数使得的最小值为．　 【解答过程】Ⅰ由，得，函数的图象关于轴对称求得Ⅱ函数在上存在零点即方程在上有解， 与由交点， Ⅲ函数 令，， 结合二次函数图象，分类求最小值即可． 本题考查了对数函数型、指数函数型的函数运算与性质，含参数二次函数最值问题，属于难题． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学 · 高频考点分类突破 · 专题1 集合与常用逻辑用语 专题1　集合与常用逻辑用语 高中数学 · 高频考点分类突破 · 训练版（无答案） 共 21 题　★ 容易 14　★★ 一般 6　★★★ 困难 1 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________ 使用建议：按“考点”由易到难逐块过关；选择题、填空题先独立作答再对照解析，解答题须写出完整步骤。建议限时训练、红笔订正、错题归类。本资料为原创精选题组，适用于同步巩固与复习提升。 考点1　集合的概念与运算 本考点考查集合的基本概念与表示方法，以及交集、并集、补集的运算，注意空集是任何集合的子集这一边界情况。 ★ 1．设集合A={ |-2＜＜1}，B={ |-1≤≤2}，则A∪B=________________ ． ★ 2．设集合A＝{ || － |<1，∈R}，B＝{ |1< <5，∈R}，若A∩B＝∅，则实数的取值范围是( ) A．{ |0≤≤6} B．{ | ≤2，或≥4} C．{ | ≤0，或≥6} D．{ |2≤≤4} ★ 3．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． ★ 4．已知集合，，则 A． B． C． D． ★ 5．若集合A＝{ ∈R|＋＋1＝0}中只有一个元素，则＝( ) A．4 B．2 C．0 D．0或4 ★ 6．若全集且，则集合__________，集合的真子集共有__________个 ★ 7．已知全集，集合，． (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围． ★ 8．已知集合，设全集，求； (2)已知集合，若，求实数的取值范围． ★★ 9．已知集合M={1，2，3}，N={x∈Z|1＜x＜4}，则（ ） A．M⊆N B．N=M C．M∩N={2，3} D．M∪N={1，4} ★★ 10．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A，且k+1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S={1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ） A．6个 B．12个 C．9个 D．5个 ★★ 11．已知集合A={ | ＜a+3}，B={ | ＜5}，且满足A⊆B，求实数a的取值范围． 考点2　命题的概念及真假判断 本考点要求能识别命题（能判断真假的陈述句），区分疑问句、祈使句与感叹句，并判断命题的真假。 ★ 12．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线， ①若n⊥β，α∥β，m⊥α，则m∥n； ②若m∥α，α⊥β，n⊥β，则m∥n； ③若n⊥β，α∥β，m∥α，则m⊥n； ④若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n． 在上述四个命题中，真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 ★ 13．给出下列个命题：其中正确的命题是 A．函数的图象关于点，对称 B．函数是最小正周期为的周期函数 C．设为第二象限角，则，且 D．函数的最小值为 ★ 14．下列命题正确的是 A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线 C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 ★ 15．下列四个命题是假命题的是 A．是空集 B．若，则 C．集合中有个元素 D．集合是有限集 ★ 16．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab能被3整除，那么a、b中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为“a、b∈N，ab能被3整除，那么______”． ★ 17．写出命题：“若 x+y =5，则 x = 3且 y = 2”的逆命题、否命题、逆否命题.并判断它们的真假. ★★ 18．命题“至少有一个偶数是质数”的否定为_________________________ ． ★★ 19．已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中： （1）函数y=f（x+2）与函数y=f（x-2）的图象关于直线x=2对称； （2）函数y=f（x-2）与函数y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称． 正确的命题序号是 ． 考点3　全称量词与存在量词 本考点考查全称量词命题与存在量词命题的识别、真假判断，以及命题的否定（改量词、否结论）。 ★★ 20．设函数f（x）（x∈N）表示x除以3的余数，对x，y∈N都有（ ） A．f（x+3）=f（x） B．f（x+y）=f（x）+f（y） C．3f（x）=f（3x） D．f（x）f（y）=f（xy） ★★★ 21．已知函数且，的图象关于轴对称，且满足． Ⅰ求、的值； Ⅱ若函数在上存在零点，求实数的取值范围； Ⅲ若函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $