湖南省长沙市开福区2025-2026学年初升高中衔接考试数学自编试卷

**基本信息** 立足初高衔接，通过无人机测量、扶贫满意度调查等真实情境，考查运算能力、推理意识与数据观念，适配开学学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|代数运算、集合逻辑、函数图像|第7题几何面积比，融合推理能力与几何直观| |填空题|3/15|不等式恒成立、因式分解|第12题结合正实数条件，考查抽象能力| |解答题|5/77|统计分析（扶贫调查）、解三角形（无人机）、二次函数综合|16题以扶贫满意度为背景，培养数据意识；17题无人机测量情境，体现模型观念；18题二次函数探究，发展创新意识|

湖南省长沙市开福区2025-2026学年初升高中考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．如下图所示，（    ）    A． B． C． D． 2．的结果在哪两个连续整数之间（    ） A．7与8 B．8与9 C．9与10 D．10与11 3．若实数满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的值为（   ） A．16 B． C．24 D． 5．函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 6．方程的所有实数根之和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，连接，，，过点作，交的延长线于点.设的面积为，的面积为，若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，矩形中，，，点为边的中点，点为边上的一个动点，连接，，当的度数最大时，线段的长度为（    ）    A． B．2 C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知集合，，下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 10．关于的不等式的解集可能是（   ） A． B． C． D．或 11．下列选项中正确的有（    ） A．若，则 B．若集合，且，则实数a的取值所组成的集合是． C．若不等式的解集为，则不等式的解集为或 D．已知函数的定义域是，则的定义域是． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 13．因式分解：______． 14．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是___________ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）已知，，求代数式的值； （2）先化简，再求值：，其中. 16．为了解某县建档立卡贫困户对准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常满意；B级：满意；C级：基本满意；D级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题： （1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户户数是_______________； （2）图1中，的度数是______________，并把图2条形图补充完整； （3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请你估计满意（B级）人数约为多少户？ （4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，调查它们对扶贫政策的满意度，请用列表或树状图的方法求出选中贫困户e的概率. 17．随着科技的发展，无人机在实际生活中应用广泛.如图，，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为.无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为.    (1)求两点之间的距离； (2)求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）.（点，，，在同一平面内，参考数据：，，，） 18．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为-1．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点C重合），使得．若存在，求点的横坐标；若不存在，说明理由． 19．（1）求下列关于x的不等式或不等式组的解集. （ⅰ） （ⅱ） （2）求二次函数在区间上的最大值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市开福区2025-2026学年初升高中考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B B C D ABC BD 题号 11 答案 CD 1．C 【分析】利用七边形内角和和外角和性质即可. 【详解】在七边形中，其内角和为， 即 ， 因为七边形的外角和为，即， 则， 故选：C.    2．C 【分析】根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简 再估算的大小，进一步求解. 【详解】， ， ， . 故选：C. 3．B 【分析】利用配方可得，由求解即可. 【详解】由于实数满足，则,所以，解得， 故选：B 4．D 【分析】由题设式子变形可得，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，，， 即，，， 则，即， 则，即. 故选：D 5．B 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，；    要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 6．B 【分析】令，解二次方程得或，然后求解和的根，即可得解. 【详解】令，则原方程化为，解得或， 所以或，即或， 所以，，，，所以所有实数根之和为. 故选：B 7．C 【分析】过点C作于点H，，可得，设求出，再由可得答案. 【详解】过点C作于点H，    由，有， 又，得， 设，则，中，， 则，解得，所以， 根据，可得，， 而，， 所以， 由，得，有， . 故选：C 8．D 【分析】先以矩形顶点 为原点建立平面直角坐标系，将矩形各顶点及动点 用坐标表示，再利用圆周角定理找 取得最大值条件，最后利用圆心到圆上各点距离相等(半径相等)列方程，求解并取舍根即可. 【详解】建立坐标系：设 ，，，， 因为 为 中点，故 ，    设 （），当 最大时， 的外接圆与 边（即 ）相切于点 ， 则外接圆的圆心 到切线 的距离等于半径 ，故 且 ，得 ，即圆心 ， 由 列方程：， 化简得，即， ，化简得： ，， 联立 的表达式， 整理：， 解得：， 因为，故 ，（，舍去） 所以 的长度即为 的值，即. 故选：D. 9．ABC 【分析】解绝对值不等式可得，因此，根据集合的包含关系对选项逐一判断可得结论. 【详解】解不等式可得，即, 因此可得，所以，即A正确； 又，但，因此B正确； 因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，可得C正确； 易知若，则一定有，但， 所以“”是“”的充分不必要条件，即D错误. 故选：ABC 10．BD 【分析】分，，讨论求解不等式的解集即可； 【详解】当时，不等式为，解得； 当时，由解得或， 若时，即，则的解集为：或，故D正确； 若时，即，则的解集为：； 若时，即，则的解集为：或； 当时，由解得或， 所以的解集为：，故B正确； 故选：BD 11．CD 【分析】利用不等式的性质判断A，讨论集合为空集或非空集两种情况，求的取值，判断B，根据不等式的解集，结合韦达定理，利用不等式的解法，即可求解，判断C，利用抽象函数定义域的求解方法，即可判断D. 【详解】对于A，当时，若，有，不满足，故A错误； 对于B，当时，方程无解，则； 当时，由方程，解得，可得或，解得或， 综上所述，a的解集为，故B错误； 对于C，由题意，方程的解为，且， 由韦达定理可得，则，解得， 则不等式为， 由，则不等式变为，解得或，故C正确； 对于D，由题意，则，所以函数的定义域为， 对于函数，则，解得，所以其定义域为，故D正确； 故选：CD． 12． 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可. 【详解】因为且，是正数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以，解得. 故答案为：. 13．. 【分析】先提取公因数3，再利用平方差公式求解. 【详解】. 故答案为：. 14． 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 15．（1）；（2）， 【分析】（1）分母有理化化简，再利用完全平方公式求解即可； （2）通分，对分母进行因式分解，即可化简，再将代入即可. 【详解】（1）由，， 得， ， 所以； （2） ， 当时，. 16．（1）60 ；（2）54°，条形图见解析；（3）3500；（4）. 【分析】（1）利用图1中B级占，图2中B级有21户，即可求解. （2）图1中，A级、B级共占，所以A级占的，即可求出的度数；计算出C级户数，即可补全图形； （3）用样本估计总体，按照样本中B级人数的概率即可求出结果； （4）根据题意列出树状图，再根据概率公式进行计算即可. 【详解】（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数为（户） （2） C级户数为（户），条形图如下：    （3）样本中B级人数的概率为 ，所以某县建档立卡贫困户有10000户，B级人数有，所以有人. （4）根据题意画出树状图如下：    由树状图可以看出，所有可能的结果共有种，选中贫困户e的结果有8种， 所以选中贫困户e的概率为. 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总计、频数、频率、总数之间的关系，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.属于中档题. 17．(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中根据已知的角度利用三角函数的定义求解即可； （2）在与中利用正弦函数和正切函数分别求出的长即可得出. 【详解】（1）在中，， 由题意知， 所以， 即， 所以两点之间的距离大约为. （2）在中，， 所以， 即， 在中，， 所以， 由题意可得， 所以 所以， 即无人机从点到点的上升高度大约是. 18．(1) (2) (3)存在点，其横坐标为或或 【分析】（1）由顶点横坐标代入对称轴方程求得，即得抛物线方程； （2）通过抛物线方程求得坐标，确定直线方程，结合平移，联立抛物线方程，由即可求解； （3）通过面积相等，转换成点到直线的距离等于点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）由顶点的横坐标为-1，可得，解得， 所以抛物线的表达式为：； （2）由，令，可得， 令，可得，解得：或， 故得，所以直线方程为：，即， 将直线沿轴向上平移个单位长度可得， 将其与抛物线方程联立，可得， 即，由题意可得：，解得， 又，所以的取值范围是. （3）由可得：， 则点到直线的距离， 设，因为， 所以到的距离， 即：，即或， 解得：，或或（舍去）， 所以存在点，使得，该点横坐标为或或. 19．（1）（ⅰ）;（ⅱ） （2）且. 【分析】（1）（ⅰ）转化为一元二次不等式求解即可； （ⅱ）分别求解两个不等式，再求交集即可； （2）化简二次函数，求得对称轴的方程，根据和分类讨论，即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）等价于，解得， 的解集为； （ⅱ）由可得，由可得， 综上可得，所以原不等式组的解集为. （2）由题意，二次函数， 可得对称轴为， ①当时，因为区间的中点值为， （a）当时，即时，此时； （b）当时，即时， 此时； ②当时，可得 （a）当时，即时， 此时； （b）当时，即时， 此时， 综上所述，可得且 学科网（北京）股份有限公司 $