精品解析：海南中学2024-2025学年高二第一学期第二次月考测试数学试题

2023级高二第一学期第二次月考测试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共17小题，共120分．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列，…，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 3. 已知等差数列的前15项之和为45，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 77 C. 91 D. 113 5. 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（ ） A. B. C. D. 6. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（ ） A. 959 B. 960 C. 961 D. 963 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 10. 已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 对任意的正整数，有 D. 使得的最小正整数为4047 11. 如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（ ） A. B. 曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C. D. 若，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在数列中，若，则的值为______． 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 14. 把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，前项和为， （1）若，，求； （2）若，求； （3）若，求． 16. 已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，求证：． 17. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二第一学期第二次月考测试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共17小题，共120分．注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列，，，，的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知项找规律可得选项. 【详解】解：根据题意，数列，，，，， 有，，，， 依次类推：. 故选：D. 2. 已知数列，…，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第23项 【答案】C 【解析】 【分析】 由题知数列通项公式，再解方程即可得答案. 【详解】解：由题意知，数列的通项公式为 ， 令，解得. 故选：C. 【点睛】本题考查根据通项公式判断数列中的项，考查运算能力，是基础题. 3. 已知等差数列的前15项之和为45，则等于（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求，由等差数列的性质，，代入即可求得结果. 【详解】解：等差数列的前15项之和为45，即， ， ， ， 则由等差数列的性质可知，． 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式的简单应用，考查计算能力. 4. 将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（ ） A. 55 B. 77 C. 91 D. 113 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐角数”为， 不难发现， 所以， 得， 当时，也符合上式， 所以， 第9个“拐角数”是，故C对； 其他都不是拐角数， 故选：C 5. 设等差数列、的前n项和分别是，，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法1，利用等差数列前n项和公式将，和比较确定n的值，即得答案； 方法2，利用等差数列的性质结合前n项和公式将化为，即得答案. 【详解】方法1：因为等差数列，的前项和分别是，, 因为， 所以， 故选：C 方法2：因为等差数列，的前项和分别是，． 所以， 故选：C． 6. 若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质由得，由得，可求出数列前6项均为负值，可得结论. 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 7. 已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（ ） A. 959 B. 960 C. 961 D. 963 【答案】A 【解析】 【分析】根据离心率求出数列的通项公式，然后找到小于的最大平方数即可求出的最大值. 【详解】双曲线的离心率． 因为， 所以当时，为有理数，且， 所以满足条件的的最大值为959． 故选：A. 8. 已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. C. 210 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系得的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列，再利用分组转化求和以及等差数列的求和公式求解即可. 【详解】若为奇数，则是偶数，是奇数， 则 ， ① ， ② ①②得：， 所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列； 所以 . 故选:A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 与是不同的数列 B. 是常数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列是递增数列 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 10. 已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 对任意的正整数，有 D. 使得的最小正整数为4047 【答案】ABD 【解析】 【分析】先通过条件得到可判断A、C；通过判断B；通过计算判断D． 【详解】由，得． 对于A、B，因为， 所以， 故A、B正确； 对于C，因为，， 所以当时，取得最小值，故C错误； 对于D，因为， 所以， ，故D正确． 11. 如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（ ） A. B. 曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的定义判断A；根据曲线的切线性质判断B；根据椭圆和双曲线的定义判定C；根据焦点三角形的面积求解即可判断D 【详解】因为三条曲线有相同的焦点，且，所以，故A错； 曲线E在点Q处的切线为的顶角的外角平分线，曲线在点Q处的切线为的顶角的内角角平分线，所以两条切线垂直，故B对； 设，由椭圆和双曲线定义可得， 又， 所以，故C对； 设与交于点H， 则，故D对， 故选：BCD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 在数列中，若，则的值为______． 【答案】27 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，求出相应的项，可得答案. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为：27 13. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式. 【详解】因为，，所以， 即，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以． 故答案为：. 14. 把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 【答案】1992 【解析】 【分析】 先由题意得到从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，得到前个括号内的数字个数，再由所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；即可求解. 【详解】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第个括号内共4个数； 故前个括号内共有数字个数为； 又因为所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为； 因此第个括号内的数字分别为， 所以. 故答案为：1992. 【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等差数列的通项公式即可，属于中档题. 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设等差数列的公差为，前项和为， （1）若，，求； （2）若，求； （3）若，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用等差数列求和公式计算求解； （2）应用等差数列求和公式及通项公式计算求解； （3）应用等差数列求和公式及通项公式计算求解； 【小问1详解】 ，， ， ； 【小问2详解】 由题意得：，联立解得，， ，即； 【小问3详解】 ， ，， ， ， ， ，又， . 16. 已知数列的前项和为，且有，数列的前项和为，满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的通项公式； （3）设，数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） （3）由（1）（2）知，， 则， 即， ， ， ，证毕. 【解析】 【分析】（1）应用计算求解； （2）应用等差数列求和公式及等差数列通项公式计算求解； （3）应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 已知， 故当时，， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 ， ， 即为等差数列，设公差为， 则有， 解得：， ， 的通项公式为； 【小问3详解】 略 17. 已知斜率为1的直线与抛物线交于点A，B，以点为圆心的圆过点A，B，且圆M关于直线AB 对称. （1）求抛物线C与圆M的方程； （2）过y轴上的点P作斜率为1的直线l，交圆M于点Q，R，且与C交于不同的两点，求取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）求直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系得的值，即得抛物线方程，利用弦长公式求直径，即可得到圆的方程. （2）设，根据直线与圆、抛物线的位置关系求的范围，利用切割线定理求的范围. 【小问1详解】 由以点为圆心的圆过点，且圆关于直线对称， 得线段为圆的直径，点为线段的中点，而直线过点且斜率为1， 则直线的方程为，即，设， 由得，则，， 由，得，因此抛物线的方程为； 此时，， 则圆的半径为，所以圆的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为，即， 由直线与圆有两个交点，得点到直线的距离，解得， 由，得，而直线与抛物线有两个公共点， 则，解得，于是， 由，得点在圆外，过点作圆的切线，设切点为，连接， 则，由切割线定理得，， 而，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $