精品解析：海南华侨中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

海南华侨中学2027届高二上学期第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李涛 徐香 审题人：黄玲玲 朱利兵 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算得到，即可求解. 【详解】由，得到， 所以的虚部为， 故选：B. 2. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨概率近似为. 故选：A 3. 设，向量，且，则等于（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解. 【详解】向量，由，得，解得， 由，得，解得，， 所以. 故选：C 4. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，列式求解. 【详解】因至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意， 得 即， 解得. 故选：B. 5. 在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模. 【详解】如图： 以为基底，则，， 所以. 因为. 所以 . 所以. 故选：D 6. 某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两种情况下的样本空间和相应情况下“第二次才能打开门”事件的样本空间，再结合古典概型的概率公式求出，即可求解. 【详解】将能打开门的两把钥匙记为和，不能打开门的两把钥匙记为和， 记事件“第二次才能打开门”，表示开门两次事件的样本点，和表示第一次和第二次取到的钥匙记号， 则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共12个样本点， 则共4个样本点， 所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为. 如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为： 共16个样本点， 则共4个样本点， 所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为， 则. 故选：B. 7. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得. 【详解】因为，所以，又，所以，则， 所以， 又，所以，又， 所以， 于是 ， 又，则. 故选：B. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得相应分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A. B. 向量在向量上的投影向量为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据选项分别求向量的坐标，再代入数量积，投影向量和向量夹角公式，以及点到直线的距离公式，即可判断选项. 【详解】由题意知， 所以，故A错误； 向量在向量上的投影向量，故B正确； 异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 点到直线的距离，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件，若，，且，则 B. 已知事件，若，且与相互独立，则 C. 已知事件，若，且，则与相互独立 D. 已知事件为互斥事件，若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，根据条件有，即可求解；对B，根据条件，直接求出，即可求解；对C，根据条件得，再利用相互独立事件的判断方法，即可求解；对D，根据条件，利用互斥事件的概率公式，得，再利用对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】对于A，因为，，且，则，所以A错误， 对于B，因为，且与相互独立，则， 所以，故B错误， 对于C，因为，又，， 所以，则与相互独立，所以C正确， 对于D，因事件为互斥事件，则，又， 所以，得到，所以，故D正确， 故选：CD. 11. 已知正方体的棱长为2，动点满足，.下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，的最大值为 C. 当时，则到平面的距离的取值范围是 D. 当，且时，则的轨迹总长度为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用翻折使得，三点共线，即可求得的最小值；对于B，通过向量数量积的运算律计算，结合参数范围即可求得模长最大值；对于C，建系后，求出相关向量的坐标，利用点到平面距离的向量公式计算，结合参数范围即可求得其范围；对于D，先由条件判断点在面内运动，接着求得的中心满足，比较的内切圆半径与的大小，推得点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内的三段弧，利用平面几何知识，即可求得轨迹总长度. 【详解】 对于A，当时，，即点在边上， 将平面翻折到与平面共面，连接,交于点, 此时，三点共线，取得最小值,而，故A错误； 对于B，当时，，则， 因，则，当且仅当时，取得最大值，故B正确； 对于C，如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则, 当时，， 即,则，, 设平面的法向量为， 则，故可取， 则到平面的距离为， 因，则，故，故C正确； 对于D，当时，由空间向量共面定理，可知点在面内运动， 连接,设与平面交于点,连接, 由正方体的性质，可得,且平面，点为正三角形的中心， 因，则,故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内的部分. 设的内切圆半径为，由三角形面积相等：，解得， 因，故点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在内的三段弧，如图所示. 在中，,,可得， 由对称性可得，,故的轨迹总长度为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法列出所以可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：记篮球、足球、羽毛球、乒乓球分别为、、、， 则从中任选两项有、、、、、共种情况； 满足选中篮球的有、、共种情况； 所以篮球被选中的概率为； 故答案为： 13. 若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据坐标写成基底表示的形式，再利用待定系数法，列式求解. 【详解】由条件可知，， 设向量在基底下的坐标为， 所以， 所以，得，，， 所以向量在基底下的坐标为. 故答案为： 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）第一局甲胜，第二局乙胜：（2）第一局乙胜，第二局甲胜.分析出每局输赢的情况， 结合独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】分两种情况讨论： （1）第一局甲胜，第二局乙胜： 第一局甲执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 第一局乙执黑子先下的概率为，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为， 所以，第一局甲胜，第二局乙胜的概率为； （2）第一局乙胜，第二局甲胜： 第一局甲执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 第一局乙执黑子先下的概率为，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为， 所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为. 综上所述，甲、乙各胜一局的概率为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分，应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 设函数． （1）若函数的最小正周期为，求的单调增区间 （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）有题意易知，再结合的单调递增区间，求出答案； （2）由题意易得，由可知角为钝角，则可得，由余弦定理结合可得，再带入三角形的面积公式即可. 【小问1详解】 由题意知， 所以 因为在区间 所以, 所以， 所以的单调增区间为. 【小问2详解】 当时，， 所以, 因为， 所以，即, 所以，所以， 所以， 由余弦定理有， 所以的面积. 16. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形，该长方体的高为4，为线段的中点，为线段的中点． （1）求证：平面 （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明过程见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而证明出线面平行； （2）证明出平面，故直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作⊥于点，证明出⊥平面，即为点到平面的距离，结合勾股定理求出的长，得到答案. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为线段的中点，所以为的中位线， 故，且， 又四边形为正方形，所以且， 又为线段的中点，所以且， 所以且，故四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以平面，故直线到平面的距离等于点到平面的距离， 过点作⊥于点， 因⊥平面，平面，所以⊥， 又，平面，所以⊥平面， 所以即为点到平面的距离， 因为，由勾股定理得， 所以， 故直线到平面的距离为. 17. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组成员按年龄分成，，，，这5组，得到频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为5． （1）根据频率分布直方图，求该小组成员年龄的众数及第60百分位数． （2）若用分层抽样的方法从年龄在，，内的志愿者中按比例抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者做环境保护知识宣讲，写出试验的样本空间，并求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 【答案】（1）众数为；第60百分位数约为； （2）样本空间为；概率为. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合众数和百分位数的定义列式计算即得； （2）先根据抽样比求得所抽取的6名志愿者在各小组的分配人数，分别用字母表示每位被抽取的志愿者，写出样本空间和所求事件包含的样本点数，利用古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图，可知该小组成员年龄的众数为； 因， 则该小组成员年龄的第60百分位数在这一组内，即. 【小问2详解】 由频率分布直方图可得，年龄在，，内的志愿者所占的频率分别为， 从中按比例抽取6名参加某社区的宣传活动，则分别从这三个小组中抽取的人数分别为， 设在内的3名志愿者为；在内的2名志愿者为，在内的1名志愿者为， 则从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者做环境保护知识宣讲， 试验的样本空间为，则， 事件“这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内”包含的样本点有： 共9个， 故这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为. 18. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌．其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制．每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为． （1）求中国队以获胜概率 （2）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 （3）求至多进行四场就结束比赛的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式进行求解即可； （2）设事件“中国队在已输一场的情况下获胜”，则有两类情况：①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”，分别求出两种情况的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. （3）设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，至多进行四场比赛为事件，分别求出，的概率，再利用互斥事件的加法公式即可求出事件的概率. 【小问1详解】 设事件“中国队以的比分获胜”， 因为中国队在每一场中获胜的概率均为，所以， 中国队以的比分获胜的概率为； 【小问2详解】 设事件“中国队在已输第一场情况下获胜”，则有两类情况： ①设事件“中国队从第二场开始连胜三场”，所以， ②设事件“中国队在二到四场中胜两场，再胜第五场”， 所以， 又因为与是互斥事件， 所以， 所以中国队在已输一场的情况下获胜的概率为； 【小问3详解】 设中国队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，瑞典队进行三场、四场比赛获胜分别为事件，至多进行四场比赛为事件， 所以，， ，， ，是互斥事件， 所以，， ， 所以至多进行四场就结束比赛的概率为. 19. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形相似得⊥，故折叠后，⊥，⊥，从而证明出线面垂直； （2）求出各边长，由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出，得到两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为矩形中，，，点为的中点， 所以，故， 又，所以∽， 故，故， 故⊥，故折叠后，⊥，⊥， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】 图1中，所以∽， 故，其中，， 所以，，故， 又，所以， 由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，设， 则由得， 所以，故，， ， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，因为， 所以， 解得，则， 其中，，， ， 设平面的法向量为， 则， 设，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，，故， 设二面角的大小为，则， 所以， 即， 整理得，，解得或，均满足要求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南华侨中学2027届高二上学期第一次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：李涛 徐香 审题人：黄玲玲 朱利兵 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，且，则等于（　　） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，，，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则（ ） A. B. C. D. 5. 在棱长为正四面体中，点与满足，且，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 某人有把钥匙，其中把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得相应分，有选错的得0分． 9. 在空间直角坐标系中，，，，则（ ） A B. 向量在向量上的投影向量为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 点到直线的距离是 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知事件，若，，且，则 B. 已知事件，若，且与相互独立，则 C. 已知事件，若，且，则与相互独立 D. 已知事件为互斥事件，若且，则 11. 已知正方体的棱长为2，动点满足，.下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，的最大值为 C. 当时，则到平面的距离的取值范围是 D. 当，且时，则的轨迹总长度为． 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某同学从篮球、足球、羽毛球、乒乓球四个球类项目中任选两项报名参加比赛，则篮球被选中的概率为____________． 13. 若，则称为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为__________． 14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为.假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分，应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤． 15. 设函数． （1）若函数的最小正周期为，求的单调增区间 （2）若，设的内角的对边分别为，，且，求的面积． 16. 如图，长方体的底面是边长为2的正方形，该长方体的高为4，为线段的中点，为线段的中点． （1）求证：平面 （2）求直线到平面的距离． 17. 为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组成员按年龄分成，，，，这5组，得到频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为5． （1）根据频率分布直方图，求该小组成员年龄的众数及第60百分位数． （2）若用分层抽样的方法从年龄在，，内的志愿者中按比例抽取6名参加某社区的宣传活动，再从这6名志愿者中随机抽取2名志愿者做环境保护知识宣讲，写出试验的样本空间，并求这2名环境保护知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率． 18. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.2024年巴黎奥运会，中国乒乓球队包揽全部五枚金牌．其中团体赛由四场单打和一场双打比赛组成，采用五场三胜制．每个队由三名运动员组成，当一个队赢得三场比赛时，比赛结束.2024年8月9日，中国队对战瑞典队，最终以取得团体赛冠军，赛前某乒乓球爱好者对赛事情况进行分析，根据以往战绩，中国队在每场比赛中获胜的概率均为． （1）求中国队以获胜概率 （2）已知中国队输掉了第一场，求中国队最终获胜的概率 （3）求至多进行四场就结束比赛的概率． 19. 如图1，在矩形中，，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $