精品解析：海南海口市琼山华侨中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度琼山侨中高二上数学第一次月考 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 3. 有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 6. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的给部分分，有选错得0分. 9. 由组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（ ） A. 奇数有60个 B. 能被5整除的有24个 C. 1在万位而2不在个位的有18个 D. 比12345大的有108个 10. （多选）下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为_________. 13. 已知函数在点处的切线与直线平行，则实数______． 14. 现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度琼山侨中高二上数学第一次月考 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. －2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由于集合，， 则，故 2. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 【答案】A 【解析】 【详解】，则z的虚部为，故选项A正确. 3. 有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理求解即可. 【详解】每位同学都有5种选择，则不同的报名方法有（种）． 故选：C． 4. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 6. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为点，为点，比较A点切线的斜率、B点切线的斜率、直线AB的斜率即可判断． 【详解】设为点，为点， 由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数， 所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小， 但比在处的切线的斜率大，所以． 8. 过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的给6分，部分选对的给部分分，有选错得0分. 9. 由组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（ ） A. 奇数有60个 B. 能被5整除的有24个 C. 1在万位而2不在个位的有18个 D. 比12345大的有108个 【答案】BC 【解析】 【分析】先选末位为奇数再排列可判断A；先选末位为，再排列可判断B；先排数字，再排列其他数字可判断C；利用间接法可判断D. 【详解】末位为奇数有种选择，再将其他数字进行排列，故奇数有个，故A错误； 能被5整除，则末位为，共个，故B正确； 数字的位置有种选择，则1在万位而2不在个位的有个，故C正确； 由组成没有重复数字的五位数共个，其中最小的五位数是， 故比12345大的有119个，故D错误. 故选：BC 10. （多选）下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确； 11. 已知函数及其导函数的定义域均为R，在R上单调递增，为奇函数，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据奇函数以及令可得；B根据奇函数以及反证法结合单调性可判断；C结合A选项以及单调性即可求出；D结合函数的单调性和对称性判断. 【详解】因为为奇函数，所以， 令，得，得，故A正确； 令，则，即， 若，则恒成立，与在R上单调递增矛盾，故B错误； 因为，所以的图象关于点中心对称， 又，在R上单调递增，所以时，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数的导函数为，则，得，其中为常数， 令，得，得，故， 故的图象关于直线对称，故C正确； 由的对称性可知，， 因为，以及的单调性可知，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递增区间为_________. 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，对函数求导，求出导数大于零的范围即可． 【详解】函数的定义域为，，令，解得，所以函数的单调递增区间为． 故答案为：． 13. 已知函数在点处的切线与直线平行，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】由函数导数求得切线斜率，利用两直线平行斜率相等，求出的值 【详解】由，得， 又在点处的切线与直线平行， 所以，解得． 14. 现从甲、乙、丙等6人中，先随机抽取1人唱歌，再在剩余5人中随机抽取2人跳舞，在抽取到的3个人中，甲、乙中有且只有1人被抽到，且丙不被抽到去跳舞的抽法有________种． 【答案】24 【解析】 【详解】①甲、乙中有且只有1人被抽到有种抽法， 若抽到的三人中不含丙，则从剩余的三人中抽取2人有种抽法， 抽到的3人安排其中一人唱歌有种抽法， 根据分步乘法计数原理，共有种抽法. ②若抽到的三人中含丙，则丙需被安排去唱歌，甲乙选1人跳舞，除甲、乙、丙的3人中选1人跳舞， 共有种， 根据分类加法原理，共有种抽法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列分别是等差、等比数列，且． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的概念，求出公差和公比，进而写出等差、等比数列通项公式. （2）根据数列分组求和的方法，对新数列进行分组，进而根据等差、等比数列前项和公式，求出新数列的前项和. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 则，所以； 所以，则，所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【小问1详解】 底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可求出函数的单调区间； （2）依题意可得与有且仅有一个交点，结合的单调性分析的取值情况，即可得到不等式，解得即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 又， 所以当时，当或时， 的单调递增区间为，单调递减区间为，. 【小问2详解】 令，即，依题意可得与有且仅有一个交点， 因为当时，当时，，此时， 当时，，所以； 当时，又， 当时，，此时， 当时，，所以； 所以或，解得或； 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的单调区间； （3）若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【小问1详解】 当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $