2026-2027学年人教版数学九年级上学期第一次阶段检测（测试范围：第二十五章—第二十六章）

**基本信息** 以一元二次方程与二次函数为核心，通过仿生蝴蝶飞行器产量、网店销售利润、掷实心球等真实情境，考查运算能力、模型意识与推理能力，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像性质|第5题结合科技情境考查增长率问题，体现数学眼光| |填空|6/18|方程求解、函数与坐标轴交点|第14题开放设计，培养创新意识| |解答|8/72|方程解法、函数综合应用|22题以体育测试为背景构建二次函数模型，24题融合平移与几何推理，发展应用意识与推理能力|

2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第二十五（一元二次方程）-二十六（二次函数）章总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C C C C A A C B D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. ， 12. 13. 2 14. （答案不唯一，任意负数均可） 15. 12 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，．（4分） （2）解：中，，， ， 则， 解得：，．（8分） 18．（6分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，将二次函数解析式化为顶点式，正确配方是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）利用配方法即可把一般式转化为顶点式． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：；（3分） （2）解：．（6分） 19．（8分） 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得．（4分） （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则．（8分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为；（4分） （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是．（8分） 21．（10分） 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（5分） （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元．（10分） 22．（10分） 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为；（5分） （2）略（10分） 23．（10分） 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米．（5分） 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． （10分） 24．（12分） 【答案】(1)，顶点 (2) (3)平移的距离为． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出，得到．用待定系数法求出，可设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位，得出新的抛物线解析式为：．过点作于点M，连接，求出，然后根据求解即可； （3）由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到：．过B作轴交于点N，．证明得．设，则，，求出，由平移后抛物线与x轴交于点E，F，可得，对比可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：过，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为；（4分） （2）解：把代入得，， ∴点C为． ∵， ∴， ∴． 设过、， 得， 解得， ∴． 依题意，抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位， 新的抛物线解析式为：． ∵点E与点B重合， ∴过点． 代入得，， 解得（舍去）或． ∴，顶点为． 令，， 解得，， ∴， ∴． 过点作于点M，连接， ∴点M坐标为， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；（8分） （3）解：由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到： ． 过B作轴交于点N， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∵平移后抛物线与x轴交于点E，F， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴平移的距离为：．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第二十五（一元二次方程）-二十六（二次函数）章总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 7．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．方程的根是_______． 12．二次函数与轴交于，则的值为______． 13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 15．已知，是方程的两个根，则_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值； (2)将化成的形式． 19．（8分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 20．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 21．（10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 22．（10分）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 23．（10分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，当点E与点B重合时，求的面积； (3)连接，若恰好平分，求平移的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第二十五（一元二次方程）-二十六（二次函数）章总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 7．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．方程的根是_______． 12．二次函数与轴交于，则的值为______． 13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 14．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 15．已知，是方程的两个根，则_______． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值； (2)将化成的形式． 19．（8分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 20．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 21．（10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 22．（10分）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 23．（10分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，当点E与点B重合时，求的面积； (3)连接，若恰好平分，求平移的距离． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九上第一次阶段检测 考试范围：第二十五（一元二次方程）-二十六（二次函数）章总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．所以一元二次方程满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有，两个未知数，不符合定义，故A选项不符合题意； 选项B：方程是整式方程，只含一个未知数，且未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，故B选项符合题意； 选项C：方程中含未知数的项的最高次数为，是一元一次方程，不符合定义，故C选项不符合题意； 选项D：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义，故D选项不符合题意． 2．将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 【详解】解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的一般步骤计算即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 整理得． 4．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 6．设是抛物线上的三点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线的性质，点离对称轴越远，对应的函数值越小，比较三点到对称轴的距离即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， 又∵开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 且， ∴． 7．定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 8．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 9．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 12．二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 13．已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 14．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 15．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 三、解答题：本题共8小题，共72分. 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 或， 解得：，．（4分） （2）解：中，，， ， 则， 解得：，．（8分） 18．（6分）已知二次函数的图像经过点． (1)求的值； (2)将化成的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，将二次函数解析式化为顶点式，正确配方是解题的关键． （1）把代入即可求解； （2）利用配方法即可把一般式转化为顶点式． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：；（3分） （2）解：．（6分） 19．（8分）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、． (1)求实数k应满足的条件． (2)当k取最大整数时，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k的不等式，求解不等式即可得到k的取值范围； （2）先根据（1）中k的取值范围确定k的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求出的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得．（4分） （2）解：的最大整数为， ， ∴，， 则．（8分） 20．（8分）已知二次函数y=ax2+bx+c图象与y轴交于点，顶点为． (1)求该二次函数解析式． (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求得； （2）先由知，函数有最小值为，据此分别求出，时的值即可得答案． 【详解】（1）解：∵顶点为， ∴二次函数解析式为， 代入点得，， 解得， 该二次函数解析式为；（4分） （2）解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，y的取值范围是．（8分） 21．（10分）某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． (1)用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． (2)若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】(1) (2)该商品的售价为20元 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，该商品每日的销售量为；（5分） （2）解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元．（10分） 22．（10分）掷实心球是中学生体育测试项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应地发生变化，实心球的竖直高度是水平距离的二次函数．已知实心球出手时候的高度是，当水平距离是时，实心球达到最大高度． (1)求满足条件的抛物线的关系式； (2)根据中学生体育测试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于时，即可得满分10分，小明在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小明在这次投掷中得到了满分， 理由如下： 当时，则， 解得或（舍去）， ∵， ∴小明在这次投掷中得到了满分． 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标，把关系式设为顶点式，再代入即可求出对应的关系式； （2）把代入，即可求出x的值，再与比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的关系式是， 把点代入得 解得， ∴ 抛物线的关系式为；（5分） （2）略（10分） 23．（10分）某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米．（5分） 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． （10分） 24．（12分）如图1，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，顶点为D．将该抛物线沿直线方向平移一定的距离，得到新抛物线，其顶点为．抛物线与x轴交于E、F两点（点E在点F左侧）． (1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标； (2)如图1，当点E与点B重合时，求的面积； (3)连接，若恰好平分，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2) (3)平移的距离为． 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出，得到．用待定系数法求出，可设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位，得出新的抛物线解析式为：．过点作于点M，连接，求出，然后根据求解即可； （3）由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到：．过B作轴交于点N，．证明得．设，则，，求出，由平移后抛物线与x轴交于点E，F，可得，对比可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：过，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点为；（4分） （2）解：把代入得，， ∴点C为． ∵， ∴， ∴． 设过、， 得， 解得， ∴． 依题意，抛物线沿射线方向平移， ∴设抛物线向右平移m个单位时，向下平移m个单位， 新的抛物线解析式为：． ∵点E与点B重合， ∴过点． 代入得，， 解得（舍去）或． ∴，顶点为． 令，， 解得，， ∴， ∴． 过点作于点M，连接， ∴点M坐标为， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴；（8分） （3）解：由（2）得：设向右平移m个单位，向下平移m个单位得到： ． 过B作轴交于点N， ∴． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴． ∵平移后抛物线与x轴交于点E，F， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴平移的距离为：．（12分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $