25.2.2 公式法 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，通过复习配方法解具体方程并总结步骤，搭建从直接开平方法、配方法到公式法的学习支架，梳理前后知识脉络。 其亮点在于以“特殊到一般”推导求根公式，分层拆解含字母系数的配方过程，结合错例分析与国家智慧中小学平台视频辅助教学，培养学生推理能力、运算能力和符号意识，帮助学生理解公式本质，为教师提供结构化教学资源。

教学设计 课题 公式法 1.教材分析 公式法是在学生已掌握直接开平方法、配方法解一元二次方程的基础上，进一步探究通用解法的关键内容，具有承前启后、深化思维的重要作用；教材通过引导学生对一般形式的一元二次方程运用配方法推导求根公式，既巩固了配方法的步骤与技巧，又让学生经历 “特殊到一般” 的数学推理过程，理解求根公式的合理性与严谨性，随后明确公式法的适用范围（所有有实数根的一元二次方程），并通过例题示范公式的正确代入与计算，强调判别式对根的情况的判断作用 —— 这一内容不仅是解一元二次方程的 “通法”，为后续解决实际问题、学习二次函数与一元二次方程的关系奠定基础，还能培养学生的代数推理能力、符号意识和严谨的数学思维，体现了数学学科从具体操作到抽象概括的知识构建逻辑，符合九年级学生从具象思维向抽象思维过渡的认知特点。 2.学情分析 从知识基础来看，九年级学生已学过直接开平方法、配方法解一元二次方程，能完成简单的配方操作，但对含字母系数的配方缺乏经验，易在系数变形（如二次项系数化为 1 时漏乘常数项、配方时常数项计算错误）环节出错；从认知特点而言，学生已具备一定的逻辑推理能力，能理解 “特殊到一般” 的数学思想，但抽象思维仍需依托具体实例，对求根公式中字母的取值对应（尤其是原方程非一般形式时，需先整理再确定系数）易混淆，且对判别式的几何意义暂未认知，可能仅停留在 “代入计算判断根的个数” 的表层理解；从学习难点来看，学生在推导求根公式过程中，易因步骤繁琐（如移项、化 1、配方、开方等多环节连贯操作）产生畏难情绪，且在运用公式时，常忽略 “先判断的符号再代入求根” 的流程，导致出现无实数根却强行计算的错误；从学习需求上，学生渴望通过 “通用解法” 简化解题过程，对公式的便捷性有期待，但需要教师通过分层例题逐步引导。 3.学习目标 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的运算能力，推理能力和分类讨论的意识。 2.能够准确运用根的判别式判断根的情况和运用公式法解一元二次方程。 4.学习重点难点 重点：运用公式法解一元二次方程 难点：一元二次方程求根公式的推导过程 5.教学策略 回顾铺垫 — 分层推导 — 具象拆解 — 阶梯运用 6.学习活动设计 教师活动 学生活动 评价 环节一：复习导入 1. 一元二次方程的一般形式 。 （注意二次项系数不为零） 2.已经学过哪些解一元二次方程的方法呢？ （无论哪一种方法，我们都必须化成的形式） 3.用配方法解方程： （教师详细标注解题步骤，并总结出使用配方法解方程的五个关键步骤，可以简洁地记为：一移、二化、三配、四开、五定。） 回答问题。 直接开平方法、配方法 独立完成，选一名学生板书。如有错误订正答案。 从学生对一 般形式地回答 判断知识掌握 程度； 通过解方程的 过程和结果， 评价配方法的 应用能力。 活动意图说明：通过复习为后续用配方法解字母系数的一元二次方程作铺垫。 环节二：探究学习 教师活动 对于一元二次方程一般形式： 请你尝试用配方法来解此方程。 （师：现在请同学们思考一下，我们能不能也用配方法解一解一元二次方程的一般形式呢？之前我们遇到的方程，它的系数都是具体的数字，而一般式的系数都是字母。但没关系，我们可以把字母当成具体的数字。按照配方法的步骤往下算一算，给3分钟时间同学们探究一下。） 解：移项 二次项系 数化为1 配方（方程两边同时加一次项系数一半的平方）（能直接开平方吗？必须要对等号右边的式子正负进行判断） 分子的值有哪几种情况呢？（可正、可负、可零）(板书) （1） 若此时 ( 若 时， 若 时， )（下面我们探究一下如何把去掉） 结果一样。 即 ， （2）若，此时 （注意：方程有根，一定有两个实数根，所以必须要写成） （3）若，此时 方程无实数根 师：在整个探究过程中，我们发现对整个解题过程起着关键性作用。 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即。 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 教师：学习到这里，可能同学们会有这么一个疑惑：我们为什么要大费周折地用配方法解一元二次方程的一般形式呢？那是因为一元二次方程的一般式代表了所有的一元二次方程。 若省去中间的配方过程，我们可以得到 当时，方程 的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 的求根公式。 用求根公式解一元二次方程的方法为公式法。（过程虽然很曲折，但公式很美好） 学生活动 自主探究，遇到困难时小组内讨论。 在师生共同解析的基础上，再通过类比的方式自主探究类似情况。 在课本上做标记。 。 认真做笔记，理解求根公式及公式法。 评价 根据学生探 究过程中的参 与度和讨论质 量，评价合作 学习能力； 活动意图说明：从具体数字系数的一元二次方程，延伸到字母系数的一般形式， 通过配方法推导，理解求根公式的由来，构建完整的方程求解知识体系。 通过解答“为何用配方法推导一般形式”这一问题，引导学生思考“一般 与特殊”的关系，理解研究一般形式的价值。 环节三：学以致用 教师活动 例 用公式法解下列方程 （1） （教师示范） 解： =44>0 方程有两个不等的实数根 = 即 （2） 练习1 火眼金睛：请同学们观察以下解题过程，看是否正确？ 解： 方程有两个不等的实数根 小结：利用求根公式需注意： （1） 方程必须是一般式 （2） 判别式时才代入求根公式 公式法解方程步骤： 一化：化成一般形式，确定a、b、c的值，注意带符号。 二求：求的值，负则无根。 三代：若，代入求根公式。 四写：写出。 练习2 用公式法解方程： 练习3：一元二次方程的根的情况是（ C ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 变式训练：若关于x的一元二次方程 有实数根，则的取值范围为 学生活动 跟随教师示范，明确公式法的解题流程。 自主完成方程求解，巩固公式法的应用。 判断错例的错误之处，进行改错，强化对“化成一般式”步骤的重视。 总结与归纳 自主完成练习2，熟练公式法解题步骤。 自主完成练习3，判断方程根的情况 在独立思考的基础上，进行小组讨论。 评价 通过教师 示范后的学生 独立解题情况 ，评价其对公 式法步骤的掌 握。 通过对错例 的判断和改错 ，评价学生易 错点的识别能力 力； 了解练习3 和变式练习的 完成情况，评 估公式法综合 应用能力。 活动意图说明：通过运用公式法解一元二次方程，掌握解题的具体步骤。通过 分析典型错例，强化对将方程化为一般形式这一步骤的理解。 7.课堂小结 环节四：课堂总结 同学们可以从知识、技能和经验这三个方面来总结自己的收获。 解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法 小考： 1.解方程 2.若关于的方程 有实数根，则满足条件的的最小整数值为 . 设计意图说明：通过回顾、总结和提炼，帮助学生系统梳理学习脉络，明确“知识从何而来、方法如何应用、本质如何把握”，培养归纳总结的习惯，提升自主构建知识体系的能力。 8.板书设计 公式法 1. 根的判别式： 推导过程： 例 （1） 2. 求根公式： 化 3. 公式法： 求 *注意事项： 代 （1） 方程必须是一般式 写 (2) （2） 判别式时才代入求根公式 9.作业设计 1、 回顾反思 2、 基础练习 1.填表： 关于的方程 根的判别式的值 根的情况 2. 用公式法解下列方程。 （1） （2） （3） (4) 3、 提升练习 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则满足条件的的最小整数值为 。 4. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根。 (1) 求的取值范围。 (2) 当取满足条件的最大整数时，求方程的根。 10.教学反思与改进 亮点方面： ⑴教师在课件中预先设置了学生在学习过程中可能遇到的难点，并且准备了两处相关内容以供参考。其中一处是关于分式加减的步骤，详细地展示了如何进行分式的加减运算；另一处则是关于去掉绝对值 a 的步骤的视频，这个视频是从国家智慧中小学平台获取的，能够帮助学生更好地理解这一步骤。⑵在课堂教学过程中，教师的教态非常自然，当学生在学习过程中遇到困难时，教师能够给予细致的指导，应对问题时显得从容不迫。⑶此外，课堂教学采用了多种教学方法，各个教学环节之间的过渡非常自然，充分体现了新课标对结构化教学的重视。 遗憾之处： ⑴尽管此次研代训的主题是探讨数字技术如何助力原民语授课的初中数学课堂，但在课件中融入的来自国家智慧中小学平台的视频录音音量较小，这在一定程度上影响了视频的使用效果，未能充分发挥其应有的作用。在课堂总结环节，教师运用了数字人技术，但由于铃声的干扰，学生未能听清楚讲解内容。⑵此外，教学时间的把控也存在一定的问题，呈现出前松后紧的状况，导致课堂节奏不够紧凑。⑶小组协作的作用未能得到有效发挥，主要原因是教师在给学生布置任务时表述不够清晰，导致学生不清楚具体任务，而且在小组合作结束后，教师未能组织学生进行成果汇报，以体现合作的成效。⑷板书设计也存在不足，未能充分发挥其应有的作用，影响了学生对课堂内容的理解和记忆。 经验积累： ⑴通过此次教学实践，教师积累了宝贵的经验。在未来外出授课时，教师将更加深入地了解学生的学习情况，并根据学情合理安排教学内容，以确保教学的有效性。⑵同时，教师也认识到小组合作的重要性，在必要时应开展小组合作，并在合作结束后组织学生进行成果汇报，以体现合作的成效。 此外，教师还意识到板书设计的重要性，将在未来的教学中更加注重板书的设计，使其能够更好地辅助教学，帮助学生更好地理解和记忆课堂内容。 - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $