25.1 一元二次方程的概念 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理其在一元一次方程、二元一次方程组及整式乘法基础上的延伸，通过归纳概念、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的含义，为后续配方法、公式法等解法搭建学习支架。 资料以剪纸问题、数字问题等实际情境为切入点，引导学生抽象方程模型，通过观察比较归纳概念，培养数学抽象与逻辑推理能力。知识结构图、判断流程图及分层例题练习，课中助力教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

2024 版 · 人教版九年级数学上册 · 第二十一章 一元二次方程 · 第 1 课时 2024 版 人教版九年级数学上册 第一课时讲义 一元二次方程的概念 第二十一章 · 一元二次方程 · 第 1 课时 LECTURE NOTES 本课时从剪纸问题、面积问题等实际情境出发， 引导学生建立一元二次方程的数学模型，归纳一元二次方程的概念、 一般形式及方程的解（根），为后续学习配方法、公式法、因式分解法等解法奠定坚实基础。 适用对象 九年级师生 学科 数 学 版本 人 教 版 SECTION 01 课程导入与学习目标 1.1 单元地位与作用 一元二次方程是初中数学的重要内容之一，它是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组以及整式乘法的基础上展开的。学习一元二次方程，不仅是对以往方程知识的延伸和拓展，更是后续学习二次函数、一元二次不等式等知识的重要基础。在整个初中代数体系中，一元二次方程起着承上启下的关键作用，是连接“数与代数”各部分知识的重要桥梁。 本单元的学习不仅要求学生掌握一元二次方程的各种解法（配方法、公式法、因式分解法），更重要的是让学生体会“降次”的数学思想——将高次方程转化为低次方程求解。这种转化思想在数学学习中具有普遍意义，是解决复杂数学问题的重要策略。同时，一元二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如面积问题、数字问题、运动问题等，学习本单元有助于培养学生的数学建模能力和应用意识。 1.2 本课时学习目标 本课时为第二十一章“一元二次方程”的第一课时，核心内容是一元二次方程的概念。具体学习目标如下： 目标维度 具体要求 知识与技能 理解一元二次方程的概念，能正确识别一元二次方程；掌握一元二次方程的一般形式，能准确指出二次项、一次项、常数项及各项系数；理解一元二次方程的解（根）的含义，能检验一个数是否为方程的解。 过程与方法 经历从实际问题中抽象出一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想；通过观察、比较、归纳等思维活动，发展学生的分析概括能力和逻辑推理能力。 情感态度与价值观 感受数学来源于生活又服务于生活，增强学习数学的兴趣和信心；在合作探究中培养严谨求实的科学态度和团队协作精神。 核心素养 数学抽象（从实际情境中抽象方程模型）、逻辑推理（归纳概念与判断）、数学建模（建立方程解决实际问题）。 1.3 教学重难点 重点 · KEY POINT 一元二次方程的概念、一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 及各项系数的识别；一元二次方程解（根）的概念及检验方法。 难点 · DIFFICULTY 从实际问题中抽象出一元二次方程模型；理解 a≠0 的必要性；含参方程中参数取值范围的讨论。 SECTION 02 情境引入 数学来源于生活。让我们从两个实际问题出发，看看能否引出新的方程类型。 问题一 · 剪纸问题 图 1　剪纸问题示意图 如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm。在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制成一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为 (100−2x) cm，宽为 (50−2x) cm。根据“矩形面积 = 长 × 宽”，可列出方程： (100−2x)(50−2x) = 3600 展开整理得： x² − 75x + 350 = 0 …… ① 问题二 · 数字问题 图 2　数字问题示意图 两个连续正整数的乘积为 132，求这两个数。 设较小的正整数为 n，则较大的正整数为 (n+1)。根据题意，可列出方程： n(n+1) = 132 展开整理得： n² + n − 132 = 0 …… ② 观察与思考 · OBSERVE 观察方程 ① 和 ②，它们与我们之前学过的一元一次方程（如 2x+5=0）有什么共同特点？又有什么不同之处？你能从中归纳出一类新的方程的特征吗？ SECTION 03 一元二次方程的概念 3.1 概念归纳 通过对上述两个实际问题的分析，我们可以发现，方程 ① 和 ② 都具有以下共同特征：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为 2。满足这三个条件的方程，就是我们今天要学习的一元二次方程。 ◆ 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为 2 的方程，叫做一元二次方程（quadratic equation in one variable）。 3.2 概念辨析 判断一个方程是否为一元二次方程，需要同时满足三个条件：① 等号两边都是整式（不能有分母含未知数的项）；② 只含有一个未知数；③ 未知数的最高次数恰好为 2。三个条件缺一不可，尤其要注意“最高次数为 2”这一条件——如果化简后最高次数不是 2，则不是一元二次方程。 对比项 一元一次方程 一元二次方程 一般形式 ax+b=0 (a≠0) ax²+bx+c=0 (a≠0) 未知数个数 1 个 1 个 最高次数 1 2 项数 2 项（ax, b） 3 项（ax², bx, c） 系数限制 a ≠ 0 a ≠ 0（b, c 可为 0） SECTION 04 一元二次方程的一般形式 4.1 一般形式 任何一个一元二次方程，经过整理（去括号、移项、合并同类项）后，都能化成如下形式，称为一元二次方程的一般形式： ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 其中，x 是未知数，a、b、c 是已知数。a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项。 项 一般形式中的部分 系数 备注 二次项 ax² a a ≠ 0，否则不是二次方程 一次项 bx b b 可为 0，此时缺一次项 常数项 c c c 可为 0，此时缺常数项 为什么规定 a ≠ 0？· WHY 在一般形式 ax²+bx+c=0 中，如果 a=0，则方程变为 bx+c=0，此时未知数的最高次数为 1，方程退化为一元一次方程，不再是一元二次方程。因此，必须规定 a≠0 才能保证方程确实是“二次”的。而 b 和 c 可以为任意实数（包括 0），不影响方程的二次性质。 4.2 特殊形式 当 b 或 c 为 0 时，一元二次方程呈现以下几种特殊形式： 条件 方程形式 名称 示例 b ≠ 0, c ≠ 0 ax²+bx+c=0 一般形式 2x²−3x+1=0 b = 0, c ≠ 0 ax²+c=0 缺一次项 3x²−12=0 b ≠ 0, c = 0 ax²+bx=0 缺常数项 x²+5x=0 b = 0, c = 0 ax²=0 缺一次项和常数项 5x²=0 SECTION 05 一元二次方程的解（根） 5.1 解（根）的概念 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根（root）。一元二次方程的解与根是同一个概念，只是不同的称呼。 ◆ 方程的解（根） 使一元二次方程左边的值等于右边的值的未知数的值，叫做这个一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 5.2 检验方法 检验一个数是否为一元二次方程的解（根），一般步骤如下： 步骤 1：将给定的数值分别代入方程的左边和右边； 步骤 2：分别计算左边和右边的值； 步骤 3：比较左右两边的值是否相等——若相等，则该数是方程的解；若不相等，则不是。 SECTION 06 例题精讲 例 1 ｜ 概念判断 判断下列方程是否为一元二次方程？若是，指出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）3x²−5x+2=0 （2）x²+2x=x²+3 （3）(x−1)(x+2)=x²+4 （4）x³−2x²+1=0 解： （1）是。a=3，b=−5，c=2。 （2）不是。化简得 2x=3，最高次数为 1，是一元一次方程。 （3）不是。展开得 x²+x−2=x²+4，化简得 x=6，是一元一次方程。 （4）不是。未知数最高次数为 3，是一元三次方程。 例 2 ｜ 化为一般形式 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）(x+3)(x−3)=2x （2）3x(x−1)=5(x+2) 解： （1）展开：(x+3)(x−3)=x²−9，所以 x²−9=2x。 　　移项整理得一般形式：x²−2x−9=0 　　其中 a=1，b=−2，c=−9。 （2）展开：3x(x−1)=3x²−3x，5(x+2)=5x+10，所以 3x²−3x=5x+10。 　　移项整理得一般形式：3x²−8x−10=0 　　其中 a=3，b=−8，c=−10。 例 3 ｜ 根的概念应用 已知 x=2 是关于 x 的方程 x²+mx+2=0 的一个根，求 m 的值。 解： 根据方程的根的定义，将 x=2 代入方程 x²+mx+2=0，得： 2² + 2m + 2 = 0 即 4+2m+2=0，解得 m=−3。 所以 m 的值为 −3。 例 4 ｜ 含参讨论 已知关于 x 的方程 (m−2)x²+3x−1=0 是一元二次方程，求 m 的取值范围。 解： 方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为 0，即： m − 2 ≠ 0 解得 m ≠ 2。 所以 m 的取值范围是 m ≠ 2。 SECTION 07 课堂练习 一、选择题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. x²+2x−1 B. x²+y²=1 C. x²−3x=0 D. x³−2x=0 2. 将方程 (x−2)(x+3)=5 化为一般形式后，二次项系数和常数项分别为（　　） A. 1，−11 B. 1，11 C. 1，−6 D. 1，6 3. 已知 x=2 是关于 x 的方程 x²−mx+2=0 的一个根，则 m 的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 关于 x 的方程 (m−2)x²+3x−1=0 是一元二次方程，则 m 的取值范围是（　　） A. m ≠ 0 B. m ≠ 2 C. m = 2 D. m > 2 二、填空题 5. 方程 2x²−5x+1=0 的二次项系数为 ____，一次项系数为 ____，常数项为 ____。 6. 已知 3 是关于 x 的方程 x²−4x+c=0 的一个根，则 c = ____。 三、解答题 7. 判断下列方程是否为一元二次方程，并说明理由。 （1）3x²−2x+1=0 （2）x²+1=x²−3 （3）(x−1)(x+2)=x² （4）x³−x=0 8. 将方程 (x+1)(x−2)=x−3 化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 SECTION 08 课堂小结 8.1 知识结构图 图 3　一元二次方程知识结构图 8.2 核心知识梳理 知识模块 核心内容 概念 等号两边都是整式，只含一个未知数，未知数最高次数为 2 的方程 一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0)，其中 a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项 解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值；检验方法：代入求值比较 8.3 判断流程图 图 4　一元二次方程判断流程图 8.4 易错点口诀 记忆口诀 · MNEMONIC “一看整式二看元，三看最高二次番；系数 a 值不为零，一般形式记心间；检验根值代入算，左右相等才是根。” 8.5 易错点提示 1. 判断一元二次方程时，必须先化简再判断。如 x²+2x=x²+3 表面上看含有 x²，但化简后为 2x=3，是一元一次方程。 2. 一般形式中 a≠0 是必须条件，但 b 和 c 可以为 0。如 x²+5x=0（c=0）和 3x²−12=0（b=0）都是一元二次方程。 3. 检验一个数是否为方程的根时，必须分别计算左边和右边的值，再比较是否相等，不能只代入一边就下结论。 SECTION 09 课后作业 9.1 必做题 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. 2x+3=5 B. x²+3x−2=0 C. x²+√2 x=0 D. 1/x + x = 0 2. 方程 (x−1)(x+2)=0 化为一般形式为 ____________，其中 a=____，b=____，c=____。 3. 检验下列各数是否为方程 x²−4x+3=0 的根： （1）x=1　　（2）x=2　　（3）x=3 4. 已知关于 x 的方程 (k+1)x²+2kx+k−1=0。 （1）当 k 为何值时，它是一元二次方程？ （2）当 k 为何值时，它是一元一次方程？ 5. 检验 x=1 和 x=2 是否为方程 x²−3x+2=0 的根，并写出检验过程。 6. 若关于 x 的方程 (a²−4)x²+(a+2)x+1=0 是一元二次方程，求 a 的取值范围。 9.2 拓展探究（★ 选做） 7. 某学校为美化校园，准备在一块长 20 m、宽 15 m 的矩形空地中央修建一个矩形花圃，四周留出宽度相同的小路。如果花圃的面积为 150 m²，求小路的宽度。（只列方程，不求解） 8. （★ 拓展提升）已知 x=2 是关于 x 的方程 x²+bx+c=0 的一个根，且 b+c=1，求 b 和 c 的值。 SECTION 10 参考答案与解析 课堂练习答案 1. 【答案】C。解析：A 不是方程（没有等号）；B 含两个未知数；C 满足一元二次方程三个条件；D 最高次数为 3。 2. 【答案】A。解析：展开 (x−2)(x+3)=x²+x−6，移项得 x²+x−11=0，所以 a=1，c=−11。 3. 【答案】B。解析：将 x=2 代入方程得 4−2m+2=0，解得 m=3。 4. 【答案】B。解析：一元二次方程需满足二次项系数 m−2≠0，即 m≠2。 5. 【答案】2，−5，1。解析：直接对应一般形式 ax²+bx+c=0 的系数。 6. 【答案】c=−3。解析：将 x=3 代入方程得 9−12+c=0，解得 c=−3。 7. （1）是。满足整式方程、一个未知数、最高次数为 2 三个条件。 （2）不是。化简得 1=−3，无解，不是方程。 （3）不是。展开得 x²+x−2=x²，化简得 x−2=0，是一元一次方程。 （4）不是。最高次数为 3，是一元三次方程。 8. 展开得 x²−x−2=x−3，移项整理得一般形式：x²−2x+1=0。其中 a=1，b=−2，c=1。 课后作业答案 1. 【答案】B。解析：A 是一元一次方程；B 满足一元二次方程条件；C 含根号不是整式方程；D 分母含未知数不是整式方程。 2. 【答案】x²+x−2=0，a=1，b=1，c=−2。解析：展开 (x−1)(x+2)=x²+x−2。 3. （1）x=1 是根。代入：左边=1−4+3=0=右边。 （2）x=2 不是根。代入：左边=4−8+3=−1≠0。 （3）x=3 是根。代入：左边=9−12+3=0=右边。 4. （1）当 k+1≠0 即 k≠−1 时，方程为一元二次方程。 （2）当 k+1=0 即 k=−1 时，二次项消失，方程变为 −2x−2=0，是一元一次方程。 5. x=1 是根：代入左边=1−3+2=0=右边✓；x=2 是根：代入左边=4−6+2=0=右边✓。所以 x=1 和 x=2 都是方程的根。 6. 一元二次方程需 a²−4≠0，即 a≠±2。所以 a 的取值范围是 a≠2 且 a≠−2。 7. 设小路宽度为 x m，则花圃长为 (20−2x) m，宽为 (15−2x) m。方程为 (20−2x)(15−2x)=150。 8. 将 x=2 代入方程得 4+2b+c=0，即 2b+c=−4……①；又 b+c=1……②。由 ②−① 得 b=−5，代入 ② 得 c=6。所以 b=−5，c=6。 九年级数学 · 第一课时 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $