2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理一元二次不等式的概念（定义、形式、解与解集），通过二次函数零点建立与方程根、不等式解集的对应关系，再结合判别式与图像推导解法步骤，最终延伸至恒成立问题，构建完整知识支架。 该资料通过表格呈现不同判别式下二次函数图像、方程根与不等式解集的对应关系，以分层题型（不含参数、含参数解法，已知解集求参数等）培养数学眼光与思维，课中辅助教师清晰授课，课后跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一、一元二次不等式的有关概念 1.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的得最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.一般形式：或或或.其中a，b，c均为常数，a≠0. 3.一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点二、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数(a>0)的图象 一元二次方程(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点三、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤： （1）把不等式变形为标准形式，使一端为零且二次项系数大于零，即或或或的形式，a>0. （2）计算方程的根的判别式的值，当时，求出方程的根. （3）画出二次函数的图像. （4）结合图像得出原不等式的解集. 知识点四、一元二次不等式恒成立的问题（a≠0） （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 题型一：解不含参数的一元二次不等式 例1.解下列不等式： （1）－2x2＋x－6<0； （2）－x2＋6x－9≥0； （3）x2－2x－3>0； （4）－3x2＋5x－4>0． 跟踪训练： 1.解下列不等式 （1）. （2）. （3）x2－5x－6>0. （4）2x2－x－1>0. 题型二：解含参数的一元二次不等式 例1..解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 跟踪训练： 1.解关于x的不等式：x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0． 2.解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）． 题型三：已知一元二次不等式的解集求参数 例1.已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．求a，b的值； 跟踪训练： 1.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 2.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 题型四：一元二次不等式恒成立问题 例1.若关于x的不等式ax2+4ax﹣3＜0对∀x∈R都成立，求a的取值范围. 例2.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 跟踪训练： 1.若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； 2.已知不等式mx2﹣2x+m﹣2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 1.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 2.已知集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 3.已知方程的两根为和，则不等式的解集为 . 4.不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 . 5.如果关于的不等式的解集是，那么等于( ) A. B. C. D. 6.若，则关于的不等式的解集为 . 7.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知关于的不等式的解集是，则的解集为 . 1.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2.不等式的解集是() A. B. C. D. 3.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于(　　) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5} 4.（多选）下列不等式的解集为的是() A. B. C. D. 5.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 6.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7.不等式x2－4x＋4>0的解集是________． 8.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 9.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是 ． 10.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论： ①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0. 其中正确结论的序号是 ． 11.若一元二次不等式的解集为，则的值为 . 12.下列不等式的解集为R的有 . ①x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1. 13.解下列不等式： （1）；(2)． 14.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 15.已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0． （1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值； （2）不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 16.解关于的不等式(). 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一、一元二次不等式的有关概念 1.定义：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的得最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.一般形式：或或或.其中a，b，c均为常数，a≠0. 3.一元二次不等式的解与解集 使某个一元二次不等式成立的未知数的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集. 知识点二、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.一般地，对于二次函数，我们把使的实数x叫做二次函数的零点． 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数(a>0)的图象 一元二次方程(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点三、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤： （1）把不等式变形为标准形式，使一端为零且二次项系数大于零，即或或或的形式，a>0. （2）计算方程的根的判别式的值，当时，求出方程的根. （3）画出二次函数的图像. （4）结合图像得出原不等式的解集. 知识点四、一元二次不等式恒成立的问题（a≠0） （1）恒成立； （2）恒成立； （3）； （4）恒成立. 题型一：解不含参数的一元二次不等式 例1.解下列不等式： （1）－2x2＋x－6<0； （2）－x2＋6x－9≥0； （3）x2－2x－3>0； （4）－3x2＋5x－4>0． 解：(1)原不等式可化为2x2－x＋6>0. 因为方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)． 观察图象可得，原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2－6x＋9≤0，即(x－3)2≤0，函数y＝(x－3)2的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为{x|x＝3}． (3)方程x2－2x－3＝0的两根是x1＝－1，x2＝3. 函数y＝x2－2x－3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x|x<－1或x>3}． （4）原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0， 所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知， 3x2－5x＋4<0的解集为∅. 跟踪训练： 1.解下列不等式 （1）. （2）. （3）x2－5x－6>0. （4）2x2－x－1>0. 解：（1）因式分解：， 对应方程两根：， 二次项系数，抛物线开口向上，大于0取两边， 所以不等式的解集为：. （2）不等式两边同乘，不等号变向：， 因式分解：，方程根，开口向上，小于等于0取中间， 所以不等式的解集为：. （3）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，x2＝6. 结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． （4）∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)， ∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x<－或x>1， ∴不等式的解集为. 题型二：解含参数的一元二次不等式 例1..解不等式：ax2﹣（a+2）x+2≥0． 解：由题ax2﹣（a+2）x+2≥0，即（ax﹣2）（x﹣1）≥0， 当a＝0时，则﹣2x+2≥0，即x≤1，所以不等式的解集为{x|x≤1}； 当a＞0时，令，解得或x＝1， ①当0＜a＜2时，，不等式的解集为； ②当a＝2时，不等式的解集为R， ③当a＞2时，，不等式的解集为； 当a＜0时，则，不等式的解集为， 综上可得：当a＜0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤1}； 当0＜a＜2时，不等式的解集为； 当a＝2时，不等式的解集为R； 当a＞2时，不等式的解集为． 跟踪训练： 1.解关于x的不等式：x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0． 解：不等式x2﹣（m﹣3）x﹣3m＞0，即（x+3）（x﹣m）＞0， 当m＝﹣3时，原不等式即（x+3）2＞0，解得x≠﹣3，即不等式的解集为{x|x≠﹣3}； 当m＞﹣3时，解得x＞m或x＜﹣3，即不等式的解集为{x|x＞m或x＜﹣3}； 当m＜﹣3时，解得x＞﹣3或x＜m，即不等式的解集为{x|x＞﹣3或x＜m}； 综上可得：当m＝﹣3时不等式的解集为{x|x≠﹣3}， 当m＞﹣3时不等式的解集为{x|x＞m或x＜﹣3}， 当m＜﹣3时不等式的解集为{x|x＞﹣3或x＜m}． 2.解关于x的不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax（a∈R）． 解：不等式ax2﹣4≥2x﹣2ax化为ax2+（2a﹣2）x﹣4≥0， ①当a＞0时，原不等式化为，解得或x≤﹣2． ②当a＝0时，原不等式化为2x+4≤0，解得x≤﹣2． ③当a＜0时，原不等式化为． 当，即a＜﹣1时，解得； 当，即a＝﹣1时，解得x＝﹣2满足题意； 当，即﹣1＜a＜0时，解得． 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤﹣2}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当﹣1＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝﹣1时，不等式的解集为{﹣2}； 当a＜﹣1时，不等式的解集为． 题型三：已知一元二次不等式的解集求参数 例1.已知关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|2＜x＜3}．求a，b的值； 解：依题意知，方程x2+ax+b＝0有两根为2和3，则由韦达定理可得，，解得，a＝﹣5，b＝6. 跟踪训练： 1.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 解：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0， 且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0， 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 2.已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． 解：∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 由根与系数的关系得，得，代入不等式，得2x2－3x＋1>0.解得x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 题型四：一元二次不等式恒成立问题 例1.若关于x的不等式ax2+4ax﹣3＜0对∀x∈R都成立，求a的取值范围. 解：a＝0时，不等式ax2+4ax﹣3＜0为﹣3＜0，满足题意； a≠0时，应满足，解得a＜0， 所以a的取值范围是{a|a≤0}. 例2.若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 解：①即：原式恒成立，符合条件； ②（二次开口向上）：，解得：； ③开口向下，不可能全体实数恒，舍去； 综上所述：实数的取值范围为. 跟踪训练： 1.若∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，求实数a的取值范围； 解：因为∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0， ①当a＝0时，不等式1＞0对∀x∈R成立，符合题意． ②当a≠0时，若不等式ax2﹣ax+1＞0对∀x∈R恒成立， 则，解得0＜a＜4，综上，实数a的取值范围[0，4）． 2.已知不等式mx2﹣2x+m﹣2＜0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围． 解：①当m＝0时，原不等式化为﹣2x﹣2＜0，显然不恒成立； ②m≠0时，要使原式恒成立，只需， 解得m＜1，所以m的取值范围为（﹣∞，1）． 1.不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解：因为， 所以不等式的解集为.故选：D. 2.已知集合，集合，则等于( ) A. B. C. D. 解：，，.故选：C. 3.已知方程的两根为和，则不等式的解集为 . 解：方程的两根为和，由根与系数的关系可得， ，可变为， 即，解得.故答案为：. 4.不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是 . 解：的解集不是空集，即不等式有解， ，解得或.故答案为：. 5.如果关于的不等式的解集是，那么等于( ) A. B. C. D. 解：不等式可化为，其解集是， 那么，由根与系数关系得解得，所以.故选：B. 6.若，则关于的不等式的解集为 . 解：因为，所以原不等式等价于，方程的两根为，，显然，所以原不等式的解集为. 故答案为：. 7.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 解：由题意知，原不等式可化为在上有解， ，即，.故选：A. 8.已知关于的不等式的解集是，则的解集为 . 解：由题意知，，是方程的两个根且，故，解得.所以不等式，即为， 解得，故答案为：. 1.不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 解：由，得，解得或.故选：D. 2.不等式的解集是() A. B. C. D. 解：不等式可化为，即，解得.故选：A. 3.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B等于(　　) A．{1,2,3} B．{1,2} C．{4,5} D．{1,2,3,4,5} 解：(2x＋1)(x－3)<0，∴<x<3，又x∈N*且x≤5，则x＝1,2.故选：B. 4.（多选）下列不等式的解集为的是() A. B. C. D. 解：，不等式的解集为，故A正确； ，故，即不等式的解集为，故B正确； 的解集为，故C不正确； ，不等式的解集为，故D正确.故选：ABD. 5.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选：B. 6.若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解：由题设条件知是方程的两个实根且. 由一元二次方程根与系数的关系，知，解得. 代入不等式，得，解得或. 故不等式的解集为.故选：A. 7.不等式x2－4x＋4>0的解集是________． 解：原不等式可化为(x－2)2>0，∴x≠2.故答案为：{x|x≠2}. 8.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是 . 解：当时，，即，显然不成立，此时不等式的解集为，符合题意；当时，要想该一元二次不等式的解集为， 只需满足，解得. 综上所述，实数的取值范围是.故答案为：. 9.关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是 ． 解：由题意知m<0，∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为， ∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2， 且，解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}．故答案为：{m|m<0}． 10.不等式ax2－bx＋c>0的解集是，对于系数a，b，c，有下列结论： ①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c>0；⑤a－b＋c>0. 其中正确结论的序号是 ． 解：由ax2－bx＋c>0的解集为知a<0，∵＝×2＝－1<0，∴c>0. 又＝＋2>0，∴b<0. ∵－1∉，∴a＋b＋c≤0，又1∈， ∴a－b＋c>0，故③⑤正确．故答案为：③⑤. 11.若一元二次不等式的解集为，则的值为 . 解：因为不等式的解集为， 所以，解得，故.故答案为：-2. 12.下列不等式的解集为R的有 . ①x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1. 解：①中Δ＝12－4×1<0.满足条件； ②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件； ④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能． 故答案为：①④. 13.解下列不等式： （1）；(2)． 解：（1）原不等式可化为， 解方程，得． 结合二次函数的图象，原不等式的解集为． （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象， 原不等式的解集为． 14.已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得,解得a＝－6，c＝－1. (2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得，所以不等式的解集为. 15.已知关于x的不等式kx2﹣2x+6k＜0． （1）若不等式的解集为{x|2＜x＜3}，求实数k的值； （2）不等式对x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 解：（1）∵不等式kx2﹣2x+6k＜0的解集为{x|2＜x＜3}， ∴k＞0且2和3是方程kx2﹣2x+6k＝0的两根， 则，解得k； （2）不等式kx2﹣2x+6k＜0对x∈R恒成立， 当k＝0时，不等式化为﹣2x＜0，不合题意； 当k≠0时，则，解得k． 综上，实数k的取值范围为（﹣∞，）． 16.解关于的不等式(). 解：原不等式可化为，即. ①当时，原不等式化为，解得. ②当时，原不等式化为， 解得或. ③当时，原不等式化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $