3.2.1 单调性与最大（小）值专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本练习聚焦函数单调性，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从定义辨析到抽象函数证明的完整知识巩固路径，适配一轮复习基础夯实与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义判断、单调区间求解|概念辨析题（如第1题）、图像分析题（如第6题）强化数学抽象| |技能应用|单调性求参数、最值计算|参数范围题（如第13题）、分段函数题（如第31题）培养推理能力| |综合拓展|抽象函数单调性、跨知识点应用|抽象函数证明题（如第35题）、不等式求解（如第26题）发展模型观念|

3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点一 定义法判断或证明函数的单调性 1．下列关于函数单调性定义中 的说法，错误的是（    ） A． 必须取自同一个单调区间内 B．可用区间内的两个特殊值来验证函数在该区间的单调性 C．通常规定 来比较对应函数值的大小 D． 需是区间内任意的两个值 2．定义在上的函数，满足对任意，都有，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，证明：函数在上单调递减； 4．已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 5．已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 6．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 知识点二 求函数单调区间 7．函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 8．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 10．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11．函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C．， D．， 知识点三 已知函数的单调性求参数或参数范围 12．“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 15．函数满足对任意的且，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点四 利用函数单调性求最值 17．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 19．已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点五 利用函数单调性比较大小 20．已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 21．若函数是定义在上的函数，且对，都有，则下列关系式中成立的是（   ） A． B．若，则 C．，使得，且 D．若，则的解集为 22．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在区间内单调递增 C．在区间内的最大值为 D． 23．（多选）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 24．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 知识点六 利用函数单调性解不等式 25．已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 26．已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 27．已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 28．定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 29．已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．已知函数是定义在上的减函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 知识点七 利用分段函数单调性求参数范围 31．已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 34．函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点八 抽象函数的单调性判断或证明 35．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 36．已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 37．函数满足对任意实数，，恒有，且当时，. (1)任取，，证明：. (2)证明：是上的减函数. (3)解关于的不等式. 38．已知是定义在上的函数，，且当时，. (1)证明：； (2)证明：在定义域上是增函数； (3)如果，求满足不等式的的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 B B D A B A B B A C 题号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 答案 C D D B B A B C C BD 题号 24 25 29 30 31 32 33 34 答案 BD A B C D C B C 1．B 【详解】选项 A：符合 “同区间性”，说法正确； 选项 B：违背了 “任意性” 的要求，不能用特殊值代替区间内的任意值来判断单调性，说法错误； 选项 C：符合 “有序性” 的规定，说法正确； 选项 D：体现了 “任意性” 的要求，说法正确. 2．B 【详解】由可得在上单调递增，故 3．证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 4．(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 5．(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 6．D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 7．A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 8．B 【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【详解】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B 9．A 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 10．B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 11．B 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为， 又在上单调递减，在上单调递增， 由反比例函数性质得在，上单调递减， 所以的单调递增区间为，. 故选：B 12．A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 13．C 【分析】根据函数单调性来确定参数的取值范围. 【详解】 对于函数 ，其零点为 ， 由于绝对值内一次项系数为正， 因此： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 又因为 在区间 上单调递减， 因此 必须包含在的单调递减区间内， 即：，解得 ，即实数 的取值范围是 . 14．C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 15．D 【分析】根据给定条件，结合函数单调性定义确定函数的单调性，再利用分段函数单调性，结合反比例函数、二次函数单调性列出不等式组求解. 【详解】由函数满足对且，都有， 可得函数在上单调递增，因此， 解得，则实数的取值范围是. 故选：D 16．D 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 17．B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 18．B 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 19．A 【分析】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【详解】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A 20．B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 21．C 【分析】先根据给定条件判断函数单调性，再依次分析各选项： A 项利用单调性比较函数值； B 项根据单调性解不等式； C 判断函数是否有最大值； D 项结合函数值正负及分母符号解分式不等式. 【详解】选项A：由题可知函数是定义在上的增函数，所以，A错； 选项B：若，则，可得，故B错； 选项C：是定义在上的增函数，所以有最大值，故C对； 选项D：若，则可转化为或， 解之可得或，故D错. 故选：C． 22．C 【分析】根据分母不为零建立不等式，可得函数的定义域，利用函数的单调性定义，可得函数的单调性，进而可得答案. 【详解】的定义域为，A错误； 任取，则， 当时，则，则； 当时，则，则， 因此在和上分别单调递减，即在区间内单调递减，B错误； 当时，，C正确； 结合B项可得，，D错误． 故选：C. 23．BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 24．BD 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 25．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 26．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 27．(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 28．A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 29．B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 30．C 【分析】由题意所求变为或，求解即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以当时，，当时，， 由， 得或， 即或， 解得或，所以解集为． 故选：C． 31．D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 32．C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 33．B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 34．C 【分析】分段函数是上的减函数，需要保证在各个区间段是减函数，并且满足在分段点处，断点左边在断点处的函数值要不小于右支函数在断点处的极限值． 【详解】因为是上的严格减函数，故 当时，必须严格单调递减，故，解得； 当时，，因为，故单调递减； 分段点为，，当时，， 故，解得； 综上，实数的取值范围是． 35．(1)证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 36．(1)；对于，为正；证明见解析 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 37．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）赋值法，令，即可求解； （2）根据单调性的定义，结合已知条件，即可证明； （3）根据（2）中所求单调性，转化原不等式为含参不等式的求解，分类讨论即可. 【详解】（1）因为， 所以， 令，，则， 所以； （2）证明：任取，，且， 则由（1）得， 因为当时，， ，则， 所以，即， 所以是上的减函数； （3）由， 可得， 即， 因为是上的减函数， 所以， 即，① （ⅰ）当时，不等式①式即为，解得，即原不等式的解集为； （ⅱ）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得，即原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； 若，则，原不等式的解集为； （ⅲ）当时，不等式①式化为，即， 此时，所以原不等式的解集为. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 38．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件等式，代入数值，先求，再赋值，即可证明； （2）根据（1）的结论，再变形，结合单调性的定义，即可证明； （3）根据条件变形不等式 【详解】（1）证明：令，则，得. 取，则， 所以. （2）证明：，且， 则，. 因为，所以，则，即， 因此函数在上单调递增. （3），又 故可化为 ，，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $