第二章 一元二次函数、方程与不等式能力提升卷-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次函数、方程与不等式，精选近三年真题与阶段检测题，通过《几何原本》无字证明（文化传承）和芯片研发人员调整（科技情境）实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题/40分|命题判断、不等式解集等|如第3题结合解集反求参数，考查抽象能力| |多选|3题/18分|方程根与不等式关系|如第9题含参数不等式解集分析，体现推理意识| |填空|3题/15分|基本不等式求最值|如第12题条件最值，强化运算能力| |解答|5题/77分|函数恒成立、实际应用等|如第18题企业工资调整（模型意识）、第19题二次函数综合（逻辑推理），匹配真题命题趋势|

第二章 一元二次函数、方程与不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）给定下列命题： ①； ② ③； ④. 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】举例说明即可判断. 【详解】取可知①③④均错误. 取可知②错误， 故①②③④均错误. 故选：A. 2．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，R，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法：令可判断A、B、D的正误；利用分类讨论并结合不等式的性质可判断C的正误 【详解】当时：，故A错误； ，故B错误； ，故D错误； 当时，；当时，，即，则； 所以有，故C正确 故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否成立，属于中档题. 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知不等式的解集为， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系可求得，且，代入解不等式即可求出结果. 【详解】根据题意可知和1是方程的两实数根，且 由韦达定理可知，解得； 所以不等式可化为，即； 解得，所以不等式的解集为 故选：C 4．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若，则M，N的大小关系是（    ） A．M＝N B．M<N C．M≤N D．M>N 【答案】B 【分析】利用不等的性质，先分别比较和，然后再用不等的性质比较M，N的大小 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴,即M<N. 故选：B 【点啃】此题考查利用不等式的性质比较两个代数式的大小，属于基础题. 5．（25-26高二·河南·期中）设正实数，满足,，不等式恒成立，则的最大值为　　 A． B． C．8 D．16 【答案】D 【分析】令，，则，，将原式转化为关于，的不等式，两次使用基本不等式即可得到结论． 【详解】解： ,， 故设，，， ， 当且仅当，即，时取等号 故选． 【点睛】本题考查了基本不等式的使用，换元是解决本题的关键，本题属于中档题． 6．（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】将原式变形为，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解： ， 当且仅当时取等号，即，时等号成立， 故选：． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题. 7．（2.2基本不等式-2025-2026学年新教材名师导学导练高中数学必修第一册（人教A版））设，，下列不等式中等号能成立的有（    ） ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】设，，，所以①成立， ，所以②成立， ，运用基本不等式不能取等号，此时，显然不成立，所以③不成立； ，当时成立，所以④成立， 故正确的有三个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件. 8．（25-26高一·全国·课后作业）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一·全国·课后作业）(多选)若方程有两个不等的实数根，且，则(    ) A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 【答案】AD 【分析】结合已知条件，分析一元二次函数的开口方向以及与轴的交点即可求解. 【详解】当时，函数的图象开口向上， 所以不等式的解集为，故A正确，B错误； 若不等式的解集为，则， 函数的图象开口向下，又函数的图象过定点， 则，．故C错误，D正确． 故选：AD． 10．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设，且，那么（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．ab有最大值. D．ab有最小值. 【答案】AD 【分析】直接利用基本不等式分别求出和ab的范围，对照四个选项进行判断. 【详解】，， ，当时取等号， ，解得， ， 有最小值； ，当时取等号， ， ， ，解得，即， 有最小值． 故选：AD 11．（25-26高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】B选项，由条件得到，故，并得到，故B正确；举出反例得到AD错误；再由得到，由，得到，从而，C正确. 【详解】B选项，， 又，故， 由可得，即， 由可得， 所以，故， 由可得，即， 所以，B正确； 不妨设，满足和， 此时，，AD错误； 两边同除以得， ，，故，即， 不等式两边同除以得， 所以，C正确； 故选：BC 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知，，且，则的最小值为________. 【答案】/ 【分析】利用等式条件，变形，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由，可得，因为，可得， ， 当时，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 13．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在上定义运算※，若存在，使不等式※成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】分析：先利用定义运算化简得到存在，使不等式×成立，再化简得到存在，使不等式成立，最后得到，解不等式即得m的取值范围. 详解：因为存在，使不等式※成立， 所以存在，使不等式×成立， 所以存在，使不等式成立， 因为x∈[1,2],所以函数的最大值为. 所以 故答案为. 点睛：（1）本题主要考查新定义和存在性问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题利用到了分离参数法，其中转化为存在，使不等式成立是关键.处理参数的问题常用的有分离参数法和分类讨论法. 14．（上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题）已知，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设，利用待定系数法求出的值，再由不等式的性质计算和的范围，即可得的范围，再两边同时除以即可求解. 【详解】由可得：， 令，整理可得：， 所以，解得：， 所以， 将两边同时乘以，可得，① 将两边同时乘以，可得，② 两式相加可得： ， 即， 因为，所以， 所以的取值范围是， 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， ， ； （2）， ． 16．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围. 17．（专题09（优质好题速递）高一上学期第一、二章压轴题（集合与常用逻辑用语 不等式）（17大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）因式分解，分、、三种情况讨论，再结合根的大小和二次函数的图象可得； （2）按照根的大小分类讨论即可. 【详解】（1）可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 （2）不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. 18．（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 19．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的二次函数． (1)若的解集为，求实数、的值； (2)当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若实数满足，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与系数的关系求解即可； （2）当时，由题意可得，求解即可； （3）化简可得，再以0，1为分界点讨论的范围，求解不等式即可. 【详解】（1）因为的解集为， 所以与1是方程的两个实数根， 由韦达定理可知：. （2）当时，在上恒成立 则必有：, 所以实数的取值范围为； （3）因为，则不等式化为：， 因式分解为：. 当时，化为，则解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得，不等式的解集为； 当时，，解得或，不等式的解集为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，则解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程与不等式（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高二下·河南平顶山·阶段检测）给定下列命题： ①； ② ③； ④. 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，R，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知不等式的解集为， 则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北邯郸·期中）若，则M，N的大小关系是（    ） A．M＝N B．M<N C．M≤N D．M>N 5．（25-26高二·河南·期中）设正实数，满足,，不等式恒成立，则的最大值为　　 A． B． C．8 D．16 6．（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D． 7．（2.2基本不等式-2025-2026学年新教材名师导学导练高中数学必修第一册（人教A版））设，，下列不等式中等号能成立的有（    ） ①；②；③；④； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26高一·全国·课后作业）《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一·全国·课后作业）(多选)若方程有两个不等的实数根，且，则(    ) A．当时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 10．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设，且，那么（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．ab有最大值. D．ab有最小值. 11．（25-26高一上·河南周口·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高三上·重庆渝北·阶段检测）已知，，且，则的最小值为________. 13．（25-26高一下·江苏无锡·期末）在上定义运算※，若存在，使不等式※成立，则实数的取值范围为 ． 14．（上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题）已知，且，则的取值范围是___________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）已知， (1)求的取值范围； (2)比较两个代数式的大小：与． 16．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 17．（专题09（优质好题速递）高一上学期第一、二章压轴题（集合与常用逻辑用语 不等式）（17大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册）解下列关于x的不等式： (1)； (2)； 18．（2026高一上·安徽·竞赛）某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 19．（25-26高一上·湖北·阶段检测）已知关于的二次函数． (1)若的解集为，求实数、的值； (2)当时，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若实数满足，求关于的不等式的解集． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $