2.3 二次函数与一元二次方程、不等式训练【10大考点】-2026年暑假预习高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的10大核心考点，通过分层递进的题型设计构建从基础求解到综合应用的知识逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解不含参数不等式|4题|选择（含多选）|基础求解，建立不等式解法认知| |其他不等式|6题|选择、填空、解答|拓展不等式类型，强化转化能力| |含参数不等式|7题|多选、解答|分类讨论，深化参数处理技巧| |三个二次关系|4题|选择（含多选）、填空|核心连接点，串联函数、方程、不等式| |根的分布|6题|填空、选择|结合判别式与端点分析，培养推理能力| |实数集恒成立|3题|选择（含多选）|基础恒成立模型，建立转化思想| |区间恒成立|5题|填空、选择|条件限制下的恒成立，提升综合分析能力| |区间有解|6题|选择、解答|与恒成立对比，强化逻辑辨析| |实际应用|6题|解答、选择（含多选）|数学建模，体现应用意识| |图象分析|4题|选择（含多选）|数形结合，培养几何直观|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 10大考点汇总 考点01 解不含参数的一元二次不等式 考点02 其他不等式 考点03 解含有参数的一元二次不等式 考点04 三个二次之间的关系应用 考点05 一元二次方程根的分布问题 考点06 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点07 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点08 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点09 一元二次不等式在实际的应用 考点10 二次函数的图象分析与判断 题型专练 考点01 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高一上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）（多选）下面不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 考点02 其他不等式 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）不等式的解集为___________. 8．（25-26高一·全国·专题训练）解不等式： 9．（25-26高一·全国·专题训练）解下列关于的不等式： 10．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点03 解含有参数的一元二次不等式 11．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 13．（25-26高一·全国·专题训练）解关于的不等式. 14．（25-26高一·全国·专题训练）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 15．（25-26高一·全国·专题训练）（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 考点04 三个二次之间的关系应用 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·陕西·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 19．（25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 20．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 考点05 一元二次方程根的分布问题 21．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 22．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 23．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 26．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点06 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 27．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·山西·期末）（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 考点07 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 30．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是________． 31．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是_________. 32．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 33．（25-26高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 34．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点08 一元二次不等式在某区间上有解问题 35．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 37．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 38．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 39．（25-26高一·全国·课后作业）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 考点09 一元二次不等式在实际的应用 41．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 42．（25-26高一上·江西·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 43．（25-26高一上·全国·课后作业）某人打算定做一个高为3m的长方体收纳柜，若计划收纳柜的容积不小于，在长比宽多0.5m的情况下，柜子的宽最少为______m. 44．（25-26高一上·全国·课后作业）某农户想在一边靠墙（墙长20m）的空地上修建一个矩形养鸡场，另三边用总长为48m的栅栏围住，若要使养鸡场面积不小于，设养鸡场的宽为（宽小于长，），求的取值范围. 45．（25-26高一上·四川·阶段检测）（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 46．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 考点10 二次函数的图象分析与判断 47．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 49．（25-26高一上·广西·开学考试）（多选）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 50．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）（多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 10大考点汇总 考点01 解不含参数的一元二次不等式 考点02 其他不等式 考点03 解含有参数的一元二次不等式 考点04 三个二次之间的关系应用 考点05 一元二次方程根的分布问题 考点06 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 考点07 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 考点08 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点09 一元二次不等式在实际的应用 考点10 二次函数的图象分析与判断 题型专练 考点01 解不含参数的一元二次不等式 1．（25-26高二下·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 2．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 3．（25-26高一上·新疆省直辖县级单位·阶段检测）（多选）下面不等式的解集为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】通过解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】A选项，由于， 所以不等式的解集为，符合题意. B选项，不等式的解集为，不符合题意. C选项，由于， 所以不等式的解集为，符合题意. D选项，二次函数的开口向上，， 所以的解集为，不符合题意. 故选：AC 4．（25-26高二下·山西长治·阶段检测）（多选）下列不等式的解集为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，由，得，解得，A不满足题意； 对于B，由，得，该不等式的解集为，B不满足题意； 对于C，，即，又，所以的解集为空集，C满足题意； 对于D，因为，所以的解集为空集，D满足题意． 考点02 其他不等式 5．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，进而可得，求解即可． 【详解】由，可得。即， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B． 6．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于且， 解得. 即不等式的解集为. 7．（25-26高一上·重庆·阶段检测）不等式的解集为___________. 【答案】 【分析】变形给定的不等式，再利用一元二次不等式求解. 【详解】不等式， 则，解得或，且， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 8．（25-26高一·全国·专题训练）解不等式： 【答案】 【分析】利用分类讨论法解绝对值不等式即可. 【详解】当时，不等式转化为， 即，解得， 又，所以不等式的解为； 当时，不等式转化为， 即，解得， 又，所以不等式的解为； 当时，不等式转化为， 即，解得， 又，所以不等式无解. 综上：不等式的解为. 9．（25-26高一·全国·专题训练）解下列关于的不等式： 【答案】或， 【分析】利用分段讨论法来求解绝对值不等式. 【详解】由题意得：或， 解得：或， 故原不等式的解集为：或， 10．（25-26高二下·云南曲靖·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质，利用平方法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】由， 于是由，或， 所以不等式的解集为. 考点03 解含有参数的一元二次不等式 11．（25-26高一上·四川成都·期中）（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 12．（25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 13．（25-26高一·全国·专题训练）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】化简原不等式，分类讨论的取值，结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 14．（25-26高一·全国·专题训练）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）计算得，分和或讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 15．（25-26高一·全国·专题训练）（多选）一元二次不等式的解集可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】因式分解，分，，和，由一元二次不等式的解法求解． 【详解】不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 故选：BCD 16．（25-26高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. （3）不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 考点04 三个二次之间的关系应用 17．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 18．（25-26高三上·陕西·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解集与对应一元二次方程关系求参数值，即可得. 【详解】由题设，方程两根为1和4，则，得， 所以. 故答案为： 19．（25-26高一上·江苏南通·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 20．（25-26高一上·福建南平·期中）（多选）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 考点05 一元二次方程根的分布问题 21．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 22．（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 23．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）已知一元二次方程的两不等实根都在内，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据根的分布情况，由对称轴和特殊点处函数值等得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上，对称轴为， 顶点纵坐标为， 的两不等实根都在内， 则需满足，解得. 故选：A 24．（25-26高一上·广西百色·阶段检测）若方程至少有一个正根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对的符号分类讨论，结合图象特点求解. 【详解】若，则方程为，解得，满足条件； 设， 若，因为， 所以函数与轴在原点两侧各有一个交点， 所以方程恰有一个正根和一个负根，满足条件； 若，因为， 所以若方程至少有一个正根， 则函数的图象与轴相交，且对称轴在原点右侧， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是， 故选：C. 25．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 26．（25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． 考点06 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 27．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 28．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 29．（25-26高二下·山西·期末）（多选）对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 考点07 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 30．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）若命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求全称命题的否定，再分离常数，进而利用二次函数即可求解. 【详解】由命题“任意，”为假命题， 所以为真命题， 所以， 又在上的最大值为：， 所以， 故答案为：. 31．（25-26高一上·福建泉州·阶段检测）已知集合，命题 p：：若命题 p 为真命题，则实数 k 的取值范围是_________. 【答案】 【分析】直接列出关于的不等式组即可求解. 【详解】命题 p表示“恒成立”. 当且仅当同时满足以下三个不等式： 当时：，解得； 当时：恒成立； 当时：解得； 综合条件得. ∴最终k的范围为. 故答案为：. 32．（2026高一上·福建厦门·专题练习）若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 33．（25-26高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为___________. 【答案】或 【分析】当时结合题意可得，再分、、三种情况，结合一元二次不等式求解. 【详解】由题意知，当时，有，即，得， 当时，不等式即， 显然当时，不等式恒成立； 当，时，恒成立， 则不等式可化为即， 欲使恒成立，则，即； 当时，不等式即， 由，得，得或，不符合题意； 综上可得或. 故答案为：或. 34．（25-26高一上·云南红河·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意利用主元变换法转化为一次函数的恒成立问题，进而建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以恒成立，整理得恒成立， 令，则， 解得，则的取值范围为，故C正确. 故选：C 考点08 一元二次不等式在某区间上有解问题 35．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）当时，关于x的不等式有解的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】参变分离得到，换元，利用基本不等式求出，从而得到答案. 【详解】，， 关于x的不等式有解，故即可， 令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故充要条件为. 故选：B 36．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）当时，关于x的不等式有解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据已知不等式有解得出有解，再应用基本不等式得出参数范围即可. 【详解】当时，关于x的不等式有解， 所以有解，所以， ， 当且仅当时取最小值6， 则的取值范围是. 故答案为：. 37．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）设. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，解关于的不等式； (3)若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. （2）当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 38．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）命题“，有解”是假命题，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据原命题为假命题推出其否定命题为真命题，从而得出与的关系，构造函数并求出最小值，进而得出的取值范围． 【详解】命题“，有解”是假命题， 其否命题“，”是真命题， 在上恒成立，即小于的最小值， 令，则开口向上，对称轴为， ，故在内的最小值为， ． 故选：A． 39．（25-26高一·全国·课后作业）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意写出命题的否定，即解集非空，结合二次函数的性质求解． 【详解】“”是假命题， 则成立， 即在实数集上能成立， 当时，上述不等式在实数集上存在解， 当，解得， 综上：实数的取值范围是. 故选：D 40．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解的条件列式求出的范围，再利用给定命题为假命题求解. 【详解】由，，得，解得或， 由命题“，”是假命题，得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 考点09 一元二次不等式在实际的应用 41．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 42．（25-26高一上·江西·阶段检测）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 【答案】D 【分析】设售价为元，由题意构建销售额不等式求解即可； 【详解】设售价为元， 则销售量为， 销售额，整理可得， 解得， 所以最低售价为10元， 故选：D. 43．（25-26高一上·全国·课后作业）某人打算定做一个高为3m的长方体收纳柜，若计划收纳柜的容积不小于，在长比宽多0.5m的情况下，柜子的宽最少为______m. 【答案】1.5 【分析】设宽为，则长为，由长方体的体积公式和题意得到满足的一元二次不等式，解不等式可得结果. 【详解】设柜子宽为，则柜子长为，由题意， 即，解得或（舍）， 所以柜子的宽最少为1.5m. 故答案为：1.5. 44．（25-26高一上·全国·课后作业）某农户想在一边靠墙（墙长20m）的空地上修建一个矩形养鸡场，另三边用总长为48m的栅栏围住，若要使养鸡场面积不小于，设养鸡场的宽为（宽小于长，），求的取值范围. 【答案】 【分析】讨论矩形的长靠墙以及宽靠墙的情况，由题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】若矩形养鸡场的长靠墙，则矩形的长为. 由题意，解得， 即. 若矩形养鸡场的宽靠墙，则长为. 由题意，解得， 即无解. 综上，的取值范围为. 45．（25-26高一上·四川·阶段检测）（多选）社区中心有一块三角形闲置空地，为打造居民休闲花园，计划在空地内规划种植区.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）可以取（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】ABC 【分析】设矩形的另一边长为，由三角形相似得出的关系，再根据矩形的面积公式建立不等式即可求解. 【详解】设矩形的另一边长为，如图： 由与相似得且， 所以，又矩形的面积， 所以即，解得， 故边长可以取10，20，30，即ABC符合题意，D不符合题意. 故选：ABC 46．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______． 【答案】/4.5 【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件. 【详解】由题意△△，而，， 所以，而矩形的周长为， 则，整理得，仅当等号成立， 所以，而，可得， 则，而△的面积，故最大值为，此时. 故答案为： 考点10 二次函数的图象分析与判断 47．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数的图象，知，讨论和，数形结合求参数值． 【详解】由，函数的图象如下， 所以， 若，则不等式的解集是不连续的两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 因为不等式的解集为， 所以，，即， 由，得或4， 若，则，解得或，不合题意， 所以，此时，则. 48．（25-26高三上·四川广元·阶段检测）如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点.则下列说法正确的是：①；②；③；④.（   ） A．①③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题易得，，，据此可判断①；又函数过，可得，结合，，可得的范围判断②；又，结合，可得即可判断③；由题知即可判断④. 【详解】根据题意，，因为二次函数过点，所以， 又顶点在第一象限，所以对称轴，则，即，故①正确； 二次函数图像过，所以，则， 又，，所以，则，故②正确； 由，所以，又，所以，故③正确； ，故④正确. 故选：D. 49．（25-26高一上·广西·开学考试）（多选）函数与在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线与抛物线有公共点，再结合；，；；三种情况讨论即可. 【详解】令，得.令，得或，则函数与在轴上有公共点，排除B. 当时，，抛物线开口向上，直线过一二三象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致， A选项可能. 当，时，，抛物线开口向下，直线过一二四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，C选项可能. 当时，，抛物线开口向下，直线过二三四象限，函数与在同一坐标系中的大致图象一致，D选项可能. 故选：ACD 50．（25-26高一上·安徽蚌埠·期中）（多选）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为，给出下面四个结论，其中正确的是（   ） A．； B．； C．； D．若，则. 【答案】AD 【分析】根据二次函数的图象和性质，分析给定的四个结论是否正确. 【详解】由函数的图象，可得函数的图象开口向下，与x轴有两个交点， ，，A正确； 由对称轴方程为，可得，，B不正确； 由，可得，C不正确； 由图象可得，根据函数的对称性，可得， 由可得，D正确. 故选：AD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $