4.5.2用二分法求方程的近似解 同步练-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，构建“概念理解→操作应用→问题解决”的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识，适配初升高衔接阶段二分法教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二分法基本步骤、初始区间选择|如选择1-5题直接考查零点存在性判断，填空9-11题训练区间二分操作| |能力提升|精确度控制、多步二分计算|如选择6-8题结合函数值表分析近似解，填空12-13题涉及跨情境（方程、实际问题）应用| |综合应用|零点个数证明、复杂方程求解|解答14-16题要求完整二分流程与误差分析，体现数学语言表达与逻辑推理|

本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 课时四十　用二分法求方程的近似解 课后练习 一、选择题 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1,4] B.[-2,1] C. D. 3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054 则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是(　　) A.1.25 B.1.375 C.1.42 D.1.5 4.用二分法求函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间的中点2,则下一个存在零点的区间为 (　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4) 5.在用二分法求函数f(x)的一个正数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正数零点的近似值为(　　) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为(　　) A． B． C．[0，ε) D．[0，2ε) 7．已知函数f(x)＝ln (x＋2)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 f(x) －1.307 －0.084 －0.009 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程ln (x＋2)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是(　　) A．0.625 B．－0.009 C．0.562 5 D．0.066 8．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　) A．(，5) B．(－，5) C．(－∞，)∪(5，＋∞) D．(－∞，) 二、填空题 9.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　.  10.在用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为　　　　　.(精确度为0.1)  11.已知图象是连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)内有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为　　　　　.  12．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________． 13．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币． 三、解答题 14.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的解的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表: x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9 由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1) 15.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(精确度0.1) 16．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 课时四十　用二分法求方程的近似解 课后练习（答案） 一、选择题 1.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是(　　) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 解析:因为f(-2)=-3<0,f(1)=6>0,f(-2)·f(1)<0,所以可取[-2,1]作为初始区间. 答案:A 2.在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是(　　) A.[1,4] B.[-2,1] C. D. 解析:因为第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4].所以第三次所取的区间可能为. 答案:D 3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054 则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是(　　) A.1.25 B.1.375 C.1.42 D.1.5 解析:由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在区间(1.406 25,1.437 5)内.结合选项可知,方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度为0.05)可以是1.42. 答案:C 4.用二分法求函数f(x)=2x+3x-7在区间[0,4]上的零点近似值,取区间的中点2,则下一个存在零点的区间为 (　　) A.(0,1) B.(0,2) C.(2,3) D.(2,4) 解析:因为f(0)=20+0-7=-6<0,f(4)=24+12-7>0,f(2)=22+6-7>0,所以f(0)f(2)<0.所以零点所在区间为(0,2). 答案:B 5.在用二分法求函数f(x)的一个正数零点时,经计算,f(0.64)<0,f(0.72)>0,f(0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正数零点的近似值为(　　) A.0.68 B.0.72 C.0.7 D.0.6 解析:因为f(0.64)<0,f(0.72)>0,所以函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72),又0.68=×(0.64+0.72),且f(0.68)<0,所以零点所在的区间为(0.68,0.72),且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此,可知选项C中的0.7就是所求函数的一个正数零点的近似值. 答案:C 6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为(　　) A． B． C．[0，ε) D．[0，2ε) 解析：因为真实零点在区间或内，即(a，x0]或[x0，b)内，又|x0－a|<，|b－x0|<， 所以x0与真实零点的误差的取值范围为. 答案：B 7．已知函数f(x)＝ln (x＋2)＋2x－m(m∈R)的一个零点附近的函数值的参考数据如表： x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 f(x) －1.307 －0.084 －0.009 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法，方程ln (x＋2)＋2x－m＝0的近似解(精确度0.05)可能是(　　) A．0.625 B．－0.009 C．0.562 5 D．0.066 解析：设近似根为x0，函数f(x)＝ln (x＋2)＋2x－m在区间(－2，＋∞)递增， 因为f(0.531 25)<0，f(0.562 5)>0，所以x0∈(0.531 25，0.562 5)，因为0.562 5－0.531 25＝0.031 25<0.05，所以方程的近似解可取为0.562 5，故选C. 答案：C 8．方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则m的取值范围是(　　) A．(，5) B．(－，5) C．(－∞，)∪(5，＋∞) D．(－∞，) 解析：由题意可知f(x)＝4x2＋(m－2)x＋m－5的两个零点一个在区间(－1，0)内，另一个在区间(0，2)内，则解得－＜m＜5. 答案：B 二、填空题 9.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x0∈　　　　　,第二次应计算　　　　　.  解析:因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以x0∈(0,0.5).所以第二次应计算f(0.25). 答案:(0,0.5)　f(0.25) 10.在用二分法求方程f(x)=0在区间[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即得出方程的一个近似解为　　　　　.(精确度为0.1)  解析:因为f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0, 所以方程的解在区间(0.687 5,0.75)内.又因为|0.75-0.687 5|<0.1,所以方程的一个近似解为0.687 5. 答案:0.687 5 11.已知图象是连续不断的函数y=f(x)在区间(0,0.1)内有唯一零点,如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值,那么应将区间(0,0.1)等分的次数至少为　　　　　.  解析:设等分的最少次数为n,则<0.01,得2n>10,故n的最小值为4. 答案:4 12．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________． 解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 答案：1.5，1.75，1.875，1.812 5 13．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币． 解析：将26枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定是拿出那一枚，若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：4 三、解答题 14.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的解的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到下表: x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9 由表中的数据,求方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解.(精确度为0.1) 解:因为f(1.25)·f(1.375)<0,所以根据二分法的思想,可知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取区间(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解. 15.判断函数f(x)=2x3-1的零点个数,并用二分法求零点的近似值.(精确度0.1) 解:∵f(0)=-1<0,f(1)=1>0,即f(0)·f(1)<0, ∴f(x)在区间(0,1)内有零点. 又f(x)在区间(-∞,+∞)内是增函数, ∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1). 取区间(0,1)的中点x1=0.5, f(0.5)=-0.75<0, ∴f(0.5)·f(1)<0,即x0∈(0.5,1). 取区间(0.5,1)的中点x2=0.75, f(0.75)=-0.156 25<0, ∴f(0.75)·f(1)<0,即x0∈(0.75,1). 取区间(0.75,1)的中点x3=0.875, f(0.875)≈0.34>0, ∴f(0.75)·f(0.875)<0,即x0∈(0.75,0.875). 取区间(0.75,0.875)的中点x4=0.812 5, f(0.812 5)=0.073>0, ∴f(0.75)·f(0.812 5)<0,即x0∈(0.75,0.812 5). ∵|0.812 5-0.75|<0.1, ∴f(x)的零点的近似值可取为0.75. 16．已知函数f(x)＝ln x＋2x－6. (1)证明：f(x)有且只有一个零点； (2)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于. 解：(1)证明：易知f(x)＝ln x＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)至多有一个零点， 由于f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0， ∴f(2)·f(3)<0， ∴f(x)在(2，3)内有一个零点， ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点． (2)由(1)知f(2)<0，f(3)>0， 取x1＝＝， 则f()＝ln ＋5－6＝ln －1<0， ∴f()·f(3)<0，∴f(x)的零点x0∈(，3). 取x2＝＝， 则f()＝ln ＋2×－6＝ln －>0， ∴f()·f()<0， ∴x0∈(，). ∵＝≤，∴满足题意的区间为(，). 本资料分享自千人教师QQ群323031380 期待你的加入与分享 学科网（北京）股份有限公司 $