1.3集合的运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的运算核心知识点，系统梳理并集、交集、全集、补集的定义（自然、符号、图形语言）与性质，通过知识储备搭建概念框架，结合解题技巧总结形成从基础到应用的学习支架。 资料以表格对比、分层练习（基础夯实与能力提升）为特色，融入Venn图、数轴等直观工具，助力学生用数学眼光观察现实问题（如票房统计），用数学思维推理运算规律，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

1.3集合的运算 第一部分【题型解读】 第二部分【知识储备】 1．并集和交集的定义 定义 并集 交集 自然 语言 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B 符号 语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形 语言 [知识点拨]　(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同． 2．并集和交集的性质 并集 交集 简单 性质 A∪A＝A； A∪∅＝A A∩A＝A； A∩∅＝∅ 常用 结论 A∪B＝B∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)； A∪B＝B⇔A⊆B A∩B＝B∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B； A∩B＝B⇔B⊆A 3．全集 文字 语言 一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 4.补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 [知识点拨]　(1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示． 第三部分【巩固练习】 A组 基础夯实 1．已知全集为，则（    ） A． B． C． D． 2．设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 3．已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 4．已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 5．设全集或，则（ ） A． B． C． D． 6（多选题）．设，若，则实数的取值可以是 （    ） A．0 B． C．1 D．3 7（多选题）．对于集合，我们把集合且叫做集合与集合的差集，记作．已知集合．则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知集合，，则_____． 9．已知集合或，集合，则___________． 10．已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 11．设是小于9的正整数，．求： (1) (2) (3) (4) (5) 12．已知集合， (1)在，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答.问题：当集合满足 时，求t的取值范围. (2)若，求t的取值范围. B组 能力提升 13．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 14．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 15．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 16．已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 17（多选题）．已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 18（多选题）．已知集合是全集的子集，则下列结论一定成立的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 19．已知全集，则__________. 20．设全集，集合，则下图中的阴影部分表示的集合是______________．    21．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 22．已知集合，集合. (1)若集合B为单元素集合，求实数a的值； (2)若AB=A，求实数a的取值范围. 第四部分【解题技巧总结】 必备技巧1： 并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 必备技巧2： 交集运算的注意点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法． (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 方法技巧3： 求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合． 必备技巧4： 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 试卷第1页，共3页 第五部分【参考答案】 1．A 【分析】由子集和补集定义结合交集定义即可分析求解. 【详解】因为全集为， 所以对任意有，则， 则. 故选：A 2．B 【分析】利用补集概念得到，对照求出，得到答案. 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 3．C 【分析】解不等式化简集合A，根据可得，结合选项分析判断. 【详解】因为集合，， 若，则， 结合选项可知：ABD错误，C正确； 故选：C. 4．C 【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性. 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 5．A 【详解】由题意， 故. 6．ABC 【分析】根据题意，求得，且， 分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解. 【详解】由集合，因为，所以， 当时，即方程无实根，可得； 当时，可得， 若，解得，此时，满足； 若，解得，此时，满足， 综上可得，实数的值可以是或或. 故选：ABC. 7．ABD 【分析】根据差集定义计算可得AB正确，结合并集运算以及差集混合运算法则，可得C错误，D正确. 【详解】依题意可得且， 当时，可得，即A正确； 同时，所以B正确； 结合A选项可得，即C错误； 易知，又， 所以，即D正确. 故选：ABD 8． 【分析】根据交集的概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故答案为： 9． 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为或，， 则或, 故答案为： 10．(1)，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【详解】（1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 11．(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）由题设，，则； （2）由，则； （3）由， 所以； （4）由， 所以； （5）由题设， 所以. 12．(1) (2)或. 【分析】（1）将问题转化为，即可对讨论求解， （2）对分空集和非空集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】（1）若选，则, 若②，则， 若选③，则， 因此不论选哪一个条件，都需要满足， 接下来求解， 若时，则，解得， 若时，则，解得， 综上可得， （2）当时， 若时，则，解得， 若时，或，解得， 综上可得或. 13．A 【分析】根据可知无解，再据此求解即可． 【详解】联立可得， 若方程组无解，则，所以． 故选：A． 14．D 【分析】根据交集的运算结合集合元素的互异性求出的值，可得出集合，再利用并集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，，则或， 若，则，集合中的元素不满足互异性，不符合题意， 所以，解得，故，因此. 故选：D. 15．D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 16．C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 17．ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 18．ACD 【分析】根据集合的子集，补集，交集，并集的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，则，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 19． 【分析】由交、并、补集的定义求解即可. 【详解】 ，所以. 故答案为： 20． 【分析】先分析出图中的阴影部分表示的集合，再求出集合，从而求出图中阴影部分的集合． 【详解】图中的阴影部分表示的集合为且， 又，， 图中的阴影部分表示的集合且． 故答案为：． 21．(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 22．(1)-3 (2) 【分析】（1），根据B仅有一个元素，由求解； （2）由得到，分和有一个元素求解. 【详解】（1）仅有一个元素， ， （2），， 当时，，符合题意； 当有一个元素时，，符合题意； 当时，无解. ∴综上，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $