1.3 集合的基本运算讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 §1.3 集合的基本运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解并集、交集、补集的概念，掌握并、交、补运算符号 (重点) 2. 能够借助 Venn 图、数轴求解集合运算，建立数形结合思想 (重点) 3. 掌握全集与补集定义，熟练处理含补集的综合运算 (重难点) 4. 会利用集合运算求解含参数范围问题，规避端点取值易错点 (难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 并集 💡知识梳理 1. 定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集. 2. 符号语言： 3. 图形语言：阴影部分为 4. 常用性质 ；；； . 🎯例题1-1 （1）设，，求. 【答案】 【详解】由并集定义可知： （2）设集合，集合，求. 【答案】 【详解】由并集定义可知： 🎯例题1-2已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为，所以， 因为，， 所以，解得， 所以，实数的取值范围是 🎯例题1-3已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【详解】因为集合，， 若，则，结合选项可知：ABD错误，C正确. 🎯跟练1-1 （1）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 因为， 所以 （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，，所以. 🎯跟练1-2已知集合，．若，则实数的取值范围是 __． 【答案】 【详解】根据题意，因为集合，， 且，则， 当时，，即，符合题意， 当时，，得， 综上，的取值范围为. 🎯跟练1-3 集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. PART 2 交集 💡知识梳理 1. 定义：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集. 2. 符号语言： 3. 图形语言：阴影部分为 4. 常用性质 ；；； . 🎯例题2-1（1）设，，求. 【答案】 【详解】， （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由交集定义知：. （3），，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】联立，解得，故， 🎯例题2-2已知 ，集合，集合，若，则（    ） A． B． C．或1 D． 【答案】D 【详解】因为，故可得且，或且； 解得或； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意，舍去； 综上所述，. 🎯例题2-3 已知集合，，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 🎯例题2-4 已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 🎯跟练2-1（1）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 （2）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，，所以集合． （3）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】，或，则. （4）已知集合则=________． 【答案】 【详解】由题意可得，解方程可得，故． 🎯跟练2-2 已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 🎯跟练2-3 已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 🎯跟练2-4（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上. PART 3 全集与补集 💡知识梳理 1. 全集：一般地，如果一个集合包含我们研究问题中涉及的所有元素，记作. 2. 符号语言：若，则为全集. 3. 图形语言： 4. 补集定义：对于集合，由全集中所有不属于的元素组成集合，叫作相对于全集的补集. 5. 符号语言： 6. 符号语言：阴影部分为 7. 核心性质 ；；. 🎯例题3-1（1）设全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以， （2）已知全集，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：因为全集，， 所以或. 🎯例题3-2 设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 【答案】A 【详解】由全集，，得， 即1，4是方程的两个根，于是，解得， 所以m的值等于4. 🎯跟练3-1（1）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. （2）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 🎯跟练3-2 已知，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由，可得，则，解得， 综上，的取值范围为 PART 4 交集、并集、补集混合运算 💡知识梳理 1. 进行集合运算时，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于且属于； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集. 2. 解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； 3. 当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式形式表示的集合），则可运用数轴求解. 🎯例题4-1（1）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. （2）已知集合，，求，，，. 【答案】或，或，或，或或. 【详解】由，， 则，， 或，或， 所以或，或， 或，或或. 🎯例题4-2 设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】图中阴影部分表示 ，，则 或， 因为 所以 ， 🎯例题4-3 已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 🎯跟练4-1（1）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. （2）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 【答案】(1)或；或;(2) 【详解】（1）由题意可得，或 且或，则或 （2）根据题意，且，则可得 则 🎯跟练4-2已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故A正确； 选项B：因为集合 是集合 的真子集，所以 ，故B正确； 选项C:  因为集合 是集合 的真子集，所以集合 在全集 中的补集与集合 的交集非空， 例如 ,而,则，故C错误； 选项D：由图知，集合是集合的真子集，则是的真子集，而,故，即D正确. 🎯跟练4-3 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. PART 5 德摩根律与容斥原理 💡知识梳理 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用Card表示有限集合元素的个数，即Card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 🎯例题5-1 （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，画出韦恩图如图． 对于选项A，结合韦恩图可知，当时A错误； 对于选项B，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，，即，故B正确； 对于选项C，由德摩根公式可知，故C正确； 对于选项D，由德摩根公式可知，， 结合韦恩图可知，当时，D错误． 故选：BC． 🎯例题5-2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示， 依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 🎯跟练5-1下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是_____________.     (1)若= ，则； (2)若，则或; (3)若，则 ; (4)若= ，则 . 【答案】（1）（3）（4） 【详解】(1)对，因为，而，所以=U；(2)错， ，集合A，B不一定要为空集，只需两个集合无公共元素即可; （3）对，因为 ，而，所以 ； （4）对， ，即集合A,B均无元素，可得 ， 综上（1）（3）（4）对，故答案为（1）（3）（4）. 🎯跟练5-2某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． 【答案】4 【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，、，同时参加数学和物理小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为，如图所示： 由图可知：，解得， 所以同时参加数学和化学小组有人. LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1. 若集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 当，时，可取0，，； 当，时，可取1，0，； 当，时，可取2，1，0， 所以，所以. 2. 定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【详解】由题意得：，所以. 3. 已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， ∵，∴， ①当时，，符合题意， ②当时，，， 则有或，解得：或， 综上所述，实数a的所有可能的取值组成的集合为 4. 设全集，集合，，则_______ 【答案】 【详解】因为集合，，故， 又因为全集，所以. 5. 已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，， 所以或或或或或或， 所以, 因为、、、满足， 所以 ， 所以中元素的个数为. 6. （多选）下列选项正确的是（    ） A．若集合有个子集，则 B．若集合，则 C．若集合，，若，则的取值范围是 D．若集合，，则 【答案】BD 【详解】对于A选项，若集合有个子集，则关于的方程只有一个实数解. 当时，则有，解得，合乎题意， 当时，则，解得. 因此，若集合有个子集，则或，A错； 对于B选项，若集合，则，即，故，B对； 对于C选项，集合，，且，则，C错； 对于D选项，因为集合， ， 所以，集合是所有偶数构成的集合，集合是所有奇数构成的集合，故，D对. 7. 设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 8. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）不存在实数使. 【详解】（1）①当时，由，得，满足题意； ②当时，如图所示，   且与不能同时取等号，解得． 综上可得，的取值范围是：． （2）当时，如图所示，    此时，，即， ∴不存在，即不存在实数使． 教 学 反 思 思不足 · 谋优化 本节课学生容易混淆交集 “且”、并集 “或” 逻辑含义，数轴运算时常出错端点等号.部分学生不会灵活转化这类等价条件.后续增加数形结合训练，强化文字条件与集合关系的转化，规范数轴画图解题步骤. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章 集合与常用逻辑用语 §1.3 集合的基本运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解并集、交集、补集的概念，掌握并、交、补运算符号 (重点) 2. 能够借助 Venn 图、数轴求解集合运算，建立数形结合思想 (重点) 3. 掌握全集与补集定义，熟练处理含补集的综合运算 (重难点) 4. 会利用集合运算求解含参数范围问题，规避端点取值易错点 (难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 并集 💡知识梳理 1. 定义：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集. 2. 符号语言： 3. 图形语言：阴影部分为 4. 常用性质 ；；； . 🎯例题1-1 （1）设，，求. （2）设集合，集合，求. 🎯例题1-2已知集合，，若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 🎯例题1-3已知集合，，若，则实数的值可以为（   ） A． B．0 C． D．5 🎯跟练1-1 （1）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 🎯跟练1-2已知集合，．若，则实数的取值范围是 __． 🎯跟练1-3 集合或.若，求的取值范围； PART 2 交集 💡知识梳理 1. 定义：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集. 2. 符号语言： 3. 图形语言：阴影部分为 4. 常用性质 ；；； . 🎯例题2-1（1）设，，求. （2）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． （3），，则（   ） A． B． C． D． 🎯例题2-2已知 ，集合，集合，若，则（    ） A． B． C．或1 D． 🎯例题2-3 已知集合，，求实数的取值范围． 🎯例题2-4 已知，或，若，则实数的取值范围是______. 🎯跟练2-1（1）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． （2）若集合，，则（    ） A． B． C． D． （3）若集合，或，则集合等于（    ） A．或 B． C． D． 🎯跟练2-2 已知集合，，若，则实数__________． 🎯跟练2-3 已知集合，若，求实数t的取值范围. 🎯跟练2-4（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 PART 3 全集与补集 💡知识梳理 1. 全集：一般地，如果一个集合包含我们研究问题中涉及的所有元素，记作. 2. 符号语言：若，则为全集. 3. 图形语言： 4. 补集定义：对于集合，由全集中所有不属于的元素组成集合，叫作相对于全集的补集. 5. 符号语言： 6. 符号语言：阴影部分为 7. 核心性质 ；；. 🎯例题3-1（1）设全集，，则（    ） A． B． C． D． （2）已知全集，，则（    ） A． B．或 C． D．或 🎯例题3-2 设全集，且，若，则m的值等于（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．不存在 🎯跟练3-1（1）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． （2）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 🎯跟练3-2 已知，若，则的取值范围为__________. PART 4 交集、并集、补集混合运算 💡知识梳理 1. 进行集合运算时，可按照如下口诀进行： 交集元素仔细找，属于且属于； 并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一； 全集是大范围，去掉中元素，剩余元素成补集. 2. 解决集合的混合运算问题时，一般先算括号内的部分； 3. 当集合是用列举法表示时（如数集），可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合用描述法表示时（如不等式形式表示的集合），则可运用数轴求解. 🎯例题4-1（1）若全集，，，则集合等于（    ） A． B． C． D． （2）已知集合，，求，，，. 🎯例题4-2 设全集，则图中阴影部分对应的集合是（    ） A． B． C． D． 🎯例题4-3 已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 🎯跟练4-1（1）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． （2）已知集合，或． (1)若全集，求、； (2)若全集，求； 🎯跟练4-2已知集合U是全集，集合M，N的关系如图所示，则（    ） A． B． C． D． 🎯跟练4-3 集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． PART 5 德摩根律与容斥原理 💡知识梳理 1. 德摩根定律：设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2. 容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补.如果用Card表示有限集合元素的个数，即Card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 🎯例题5-1 （多选）设、、是全集的三个非空子集，且，则下面结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 🎯例题5-2 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 🎯跟练5-1下列命题之中，U为全集时，下列说法正确的是_____________.     (1)若= ，则；(2)若，则或; (3)若，则 ; (4)若= ，则 . 🎯跟练5-2某班有40名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为，，，同时参加数学和化学小组的有人，同时参加物理和化学小组的有人，则同时参加数学和物理小组的人数为 _______． LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1. 若集合，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 2. 定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 3. 已知集合，，若，则实数a的所有可能取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 4. 设全集，集合，，则_______ 5. 已知集合，则中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6. （多选）下列选项正确的是（    ） A．若集合有个子集，则 B．若集合，则 C．若集合，，若，则的取值范围是 D．若集合，，则 7. 设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 8. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 教 学 反 思 思不足 · 谋优化 本节课学生容易混淆交集 “且”、并集 “或” 逻辑含义，数轴运算时常出错端点等号.部分学生不会灵活转化这类等价条件.后续增加数形结合训练，强化文字条件与集合关系的转化，规范数轴画图解题步骤. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $