2.1.2 等式性质与不等式性质教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦等式性质与不等式性质，通过回顾上节课实数大小关系基本事实，以等式性质为学习支架，从“自身特性”和“运算不变性”梳理其思想方法，引导学生类比猜想不等式性质，衔接前后知识脉络。 特色在于以数学思维培养为核心，通过任务驱动（梳理-猜想-证明-应用）引导学生经历逻辑推理过程，如证明不等式性质1时依据实数基本事实推导，用数轴图形语言辅助理解性质3，提升学生抽象能力与推理意识，为教师提供清晰类比教学路径，助力学生构建代数性质研究框架。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 2.1.2 等式性质与不等式性质 设计时间 授课时间 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 教材分析 等式的性质与不等式的性质都是“式的性质”，反映了“式的大小关系”的本质属性，具有相似性，但等号没有方向性而不等号有方向性，因此它们又有很大的差异.等式的性质从自身特性来看，包括“对称性”和“传递性”，均体现实数序的特征；从运算角度来看，相等关系在加法、乘法运算中保持不变性，这是运算中的不变性.不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含相同的数学思想方法，也包含自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种，都是实数序关系的数学表达，前者是不相等的两个实数大小关系的两种不同的等价表达形式，后者体现三个不相等的实数之间大小关系的内在联系；借助实数大小关系的基本事实和实数的其他一些基本事实，不等关系在代数运算中具有不变性和规律性，但不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式性质的差异.同时在不等式基本性质基础上，通过代数的运算、变形、特殊化或推广等方式获得一些常见性质，这些性质都是解决不等式问题的好工具.当然在探究性质的过程中，关注共性规律的时候也需注意差异性，这对发展学生逻辑推理等素养大有帮助. 通过上述分析可以看到，等式性质与不等式性质的根源都在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现代数性质的“引路人”，也是不等式性质中蕴含的基本思想和方法，在代数研究中具有基础地位，是学生发展数学运算和逻辑推理的重要载体，对促进学生思维发展和素养提升都至关重要. 学情分析 本单元知识是高中数学的预备知识，在初中阶段学生通过从特殊到一般的方式学习了等式和不等式的某些性质，积累了一定的“式的性质”的研究经验，为本单元学习奠定了一定基础，但初中把注意力放在具体运算上，并没有进行严格的推理证明，对公理化体系以及蕴含的数学思想方法也缺乏必要的关注.本单元的内容主要是帮助学生构建“研究一个数学对象”的路径，着力点是在公理化体系下的实数序关系，不仅抽象而且逻辑性强，学生会存在较大困惑. 1.等式的基本性质学生是熟知的，但学生不知道从哪些角度去梳理，归纳其中蕴含的数学思想则更难、教学时应给学生指明梳理的方向，先从整体上把握几个式子的结构特点，再进行分类梳理，并提示“运算是代数学的根本”，在学生进行分类以后，性质2表示传递性学生很容易清楚，性质1表示对称性需引导，但都是自身的特征．对于性质3、性质4、性质5不妨先让学生通过自然语言描述，突出“加、减、乘、除”四个字，通过问题将学生引导到其共性就是运算，再归纳出“运算中的不变性”. 2.学生类比等式的基本性质及其蕴含的数学思想方法探索并证明不等式基本性质存在一定的困难．性质1和性质2学生认为显然成立，性质3和性质4在初中都已学习了解过（初中是建立在从特殊到一般进行归纳的基础上获得这些性质的），这些性质为什么是成立的，该如何去证明，学生不知所措.教学时要通过问题引导学生回到实数的性质、实数大小关系的基本事实上去，不断修正学生的证明思路，形成合理的逻辑顺序. 3.由于学生缺乏代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难.教学时要加强证明思路的分析，以问题串的形式引导学生建立条件与结论的联系，当然这个过程需要教师的典型示范、学生多练习和师生一起纠正典型错误等方式逐步帮助学生掌握证明不等式的一般思路和方法. 单元教学目标 1.能解释实际问题情境中蕴含的不等关系，并能用数学符号语言描述，获得不等式的概念． 2.能归纳出两个实数大小关系基本事实中蕴含的数学思想，知道将两式的大小比较转化为它们的差与0的大小比较的方法是研究大小关系的最基本方法，体会运算在解决代数问题中的关键作用，并能用基本事实比较大小和证明不等式的基本性质. 3.在回顾和梳理等式基本性质的基础上，能归纳出等式性质蕴含的数学思想方法，即相等关系自身的特性、等式在运算中的不变性. 4.能通过类比等式基本性质猜想不等式的基本性质并能证明；能通过比较分析，说出不等式基本性质与等式基本性质的共性与差异. 5.能从不等式的基本性质出发，通过变形、运算等方式推导出一些常用的不等式性质，并能利用这些性质证明简单的不等式. 单元教学重点 难点 1.教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和简单应用；梳理等式基本性质，归纳其蕴含的思想方法；类比等式性质，探索和证明不等式的性质，感悟等式与不等式的共性与差异. 2.教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；理解实数大小关系的基本事实中蕴含的数学思想方法；梳理、归纳出等式基本性质中蕴含的思想方法；从“自身特性”“运算不变性”两方面探究不等式的基本性质并证明；利用不等式性质证明一些简单的命题. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，相等关系与不等关系； 第2课时，等式性质与不等式性质． 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性）并类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质。 拓展性目标：★★ 通过任务二，能证明猜想并体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题. 课时学习重难点 教学重点：不等式基本性质的发现过程及性质的证明． 教学难点：证明不等式的基本性质，发现不等式的常用性质． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 上节课我们学习了利用等式和不等式描述现实问题中的相等关系和不等关系，掌握了两个实数大小关系的基本事实，并且知道与解方程要用等式的性质一样，解不等式需要用不等式的性质. 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发. 2、 预习课本：(通过阅读课本，思考问题的答案) 阅读课本40页回答问题，回顾等式的性质 问题：预习课本，结合初中所学内容，回顾等式的性质有哪些？ 答：等式有下面的基本性质: 性质1 如果 =b，那么 b=; 性质2 如果 =b，b=c，那么 =c ; 性质3 如果 =b，那么 c=b c ; 性质4 如果 =b，那么 c=bc ; 性质5 如果 =b，c≠0，那么 = . 预习评估：（学生能说出研究不等式性质的思路). 问题：你能用自然语言依次描述等式的性质吗？ 答：学生进行自然语言描述.例如，等式两边加上同一个数或是等式成立，等等. 三、目标一： 梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性），并类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质。 任务一：梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性） 问题：（1）等式性质1、3、4、5有什么共同特点？ （2）根据前面的分析，你能归纳一下发现等式性质的方法吗？ 答： （1）在已知条件上进行加减乘除的运算. 学生在教师的引导下找共性.加、减、乘、除是它们的区别，但也是它们的共性（运算）.教师总结：这些性质反映的本质就是等式在运算中保持的不变性. （2）等式性质的研究要从“自身特性”（性质2）和“运算中的不变性”（性质1、3、4、5）两方面入手，这两方面反映了式的大小关系的本质属性，因此以上性质就是等式的基本性质，同时指出研究数学对象的路径：先研究数学对象自身的特性，再研究其他特性. 评估一：类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质。 问题：等式的基本性质反映在“相等关系自身的特性”和“运算中的不变性”，不等式基本性质的研究我们也可以从这两个方面入手，你能类比“相等关系自身的特性”猜想出“不等关系自身的特性”吗？ 答：学生会得到以下猜想： 1.如果>b，那么b<; 2.如果>b，b>c，那么>c.等 四、目标二： 能证明猜想并体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性. 任务二： 例.（1）证明猜想1：“如果>b，那么b<”； （2）证明猜想2：“如果>b，b>c，那么>c”. 分析：（1）要证明“如果>b，那么，其本质是比较两个数的大小，我们有什么工具和方法？ 证明：（1）>b 可得 -b>0 , ① 于是 -(-b)<0 , ② 即-+b<0, ③ 于是b<. ④ 注意：这个过程一定要让学生指出每一步的依据.如：①是由两个实数大小关系的基本事实得出的，②是正数的相反数是负数这个基本事实，而不是不等式两边同时乘以一个负数不等式方向改变（因为这个性质还没证明，不能用，否则就出现循环论证的错误）.同时，教师要引导学生回顾常见的实数性质，例如： （1）两个实数大小关系的基本事实； （2）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数； （3）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； （4）两个正数的和是正数，两个负数的和是负数； （5）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数；等等. （2） 由两个实数大小关系的基本事实知, 评估二：会根据具体情况选择合适的表示方法 练习：你能以“运算中的不变性”为指导，猜想不等式的性质吗？用符号语言与文字语言表述出来，并证明。 答：（1）猜想3：如果 >b，那么 +c>b+c ; 猜想4：如果>b，那么 -c>b-c ; 猜想5：如果 >b，那么 c>bc ; 猜想6：如果 >b，c≠0，那么 . （2）①猜想3、4，文字语言：不等式的两边都加上（减去）同一个实数，所得不等式与原不等式同向. 分析：因为减去一个数等于加上这个数的相反数，所以在实数范围内，减法可以化归为加法；同样，因为除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以在实数范围内，除法可以化归为乘法.因此，我们只要研究加法和乘法. 证明：如图2.1-5，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变.用不等式的语言表示，就是上述性质3.（猜想4同理） ②猜想5、6，文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向;不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向. 分析：教师提问猜想5是否正确？学生举反例发现该猜想存在问题，教师引导，师生共析如下：c-bc=(-b)c，由于-b>0 ,(-b)c 的正负由 c 的正负决定，因此需分类讨论.（猜想6同理） 修改猜想5：如果 >b，c>0，那么 c>bc ； 如果 >b，c=0，那么 c=bc=0(好理解可省)； 如果 >b，c<0，那么 c<bc . 证明：>b-b>0 总结不等式的性质： 性质1 如果>b，那么b<; 如果 b<，那么 >b.即>bb<. 性质2 如果>b，>c，那么 >c.即 >b，>c>c . 性质3 如果>b，那么 +c>b+c . 性质4 如果 >b，c>0，那么 c>bc ;如果 >b，c<0，那么 c<bc . 五、目标三： 能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题. 任务三：能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质． （小组讨论）思考:在不等式性质3，4中，不等式两边所加，乘的数是相等的.如果两边分别加上，乘以不相等的两个数，这两个数需要满足什么条件，可以得出什么结论？用符号语言与文字语言表述出来，并证明。 答： （1）猜想7：如果 >b，c>d，那么 +c>b+d ; 猜想8：如果>b，c>d，那么 c>bd . （2）①猜想7，文字语言：同向不等式相加，不等式方向不变. 分析：如果两边所加的两个数的大小没确定，会导致最后不等号也无法确定.若所加的两个数的大小确定，并且同向相加，结论很好理解。 证明：由a>b和性质3，得a+c>b+c， 由c>d和性质3，得b+c>b+d， 再根据性质2，即得a+c>b+d. ②猜想8， 分析：教师提问猜想8是否正确？学生举反例发现该猜想存在问题，教师引导，师生共析如下：如果仅要求>b，c>d，c与bd的符号不确定，因此需分类讨论，经过不断尝试交流，找到其中容易确定的一种情况， 修改猜想8：如果>b>0，c>d>0，那么 c>bd .文字语言：正数同向不等式相乘，不等式方向不变. 证明：由a>b，c>0和性质4，得ac>bc， 由c>d，b>0和性质4，得bc>bd， 再根据性质2，即得ac>bd. 总结不等式的性质： 性质5 如果 >b，c>d，那么 +c>b+d . 性质6 如果>b>0，c>d>0，那么 c>bd . 问题：如果将性质6特殊化，即“=c>0 ，b=d>0"，你会获得什么结论？推广到n个不等式，会有什么结论？ 答：2>b2 ；n>bn 总结不等式的性质： 性质7 如果>b>0，那么n>bn（n∈N，n≥2） . 评估三： 例2. 已知 >b>0，c<0，求证： . 分析：要证明 ，因为 c<0，所以可以先证明 ，利用已知>b>0和性质4，即可证明 . 证明：因为 >b>0，所以 b>0，>0. 于是 · > · , 由c<0， 得 . 学生回顾、作答.初中阶段是从特殊到一般研究不等式的一些性质的，在学生头脑中不成体系且不能给予证明，回答的情况会比较零散。 通过阅读课本，回答问题，教会学生通过阅读和预习解决和研究问题。 先让学生思考、回答，教师再作归纳总结. 学生自主思考后回答. 教师先引导学生思考获得证明方法（作差比较），再让学生证明并将结果进行展示交流. 学生独立完成，再进行展示交流.在交流过程中注意不同的证明方法和书写表达 学生尝试写出猜想，自主思考教师引导分析，得出证明思路与过程. 猜想3,4也可以用法二：作差法 教师引导学生总结性质，板书在黑板上。 学生尝试写出猜想，自主思考再小组讨论，全班展示. 教师引导学生总结性质并提问，得到性质7，在黑板上板书(共7条性质)。 学生独立思考.所加的两个数的大小不等，情况较多，学生会有点乱，教师进行追问. 从单元整体入手有助于学生从整体上认识本节课的内容，明确类比等式性质研究不等式性质的具体路径. 以问题串的形式引导学生梳理等式的基本性质，探索其蕴含的数学思想方法，帮助学生领会研究代数性质的方法，为研究不等式的基本性质提供类比对象和方法. 学生自主猜想、表达，从而让学生更清楚类比的不仅是形式，更是解决问题的思路和方法. 性质1的证明是本节课的一个难点，不管是从证明方法、书写表达还是逻辑推理等方面都对其他性质的证明有示范作用. 有了性质1的证明经验，学生能够独立完成猜想（2）的证明．通过性质2的学习，学生进一步体验数学逻辑推理的简洁性和逻辑性，也为后面性质的证明做好铺垫. 用符号语言、自然语言、图形语言等多种形式表达不等式的性质，帮助学生理解不等式性质的本质. 不等式的性质比较丰富，由于不等号具有方向性，学生运用起来比较容易出错，因此先提出相对开放的问题，使学生体会怎样去发现问题，怎样去获得新的不等式，再通过迫问进一步限制不等式条件，明确思考方向，从而获得不等式的常用性质5 学生经历常用性质的探究过程，积累获得不等式性质的活动经验，提高对数学基本思想的认识. 提高学生分析问题、总结问题的能力 课堂小结 1.等式的性质 2.不等式的性质 3.利用不等式性质证明一些简单不等式的思路 学生作业 1.基础性作业：教科书第42页，练习第2题； 答案：2.(１) >　 (２) <　 (３) <　 (４) < . 2. 提升性作业：教科书第42~43页习题2.1第5、6、8、9、11题． 答案：5.∵ ２<<３ ∴ ４<２<６, 又∵ －２<ｂ<－１ ∴ ２<２＋ｂ<５. ６.证明:　∵ ｃ<ｂ,ｂ< ∴ｃ－ｂ<０ ,ｂ－<０ ∴(ｃ－ｂ) ＋(ｂ－) <０ ∴ｃ－<０ ∴ ｃ<. 8. Ｂ 9. 证明:设周长为 则圆的半径为 ,正方形的边长为 , ∴ Ｓ圆 ＝π( )２＝ , Ｓ正方形 ＝ ( )２＝. ∵ > ∴ 圆的面积更大. 原因:自来水管的横截面是圆形的,可以最大面积地使水通过,减少阻力. 11.证法一:假设 ≤. 由性质７知,()２≤()２, 即≤ｂ,这与已知>ｂ矛盾,故假设不正确,从而>. 证法二:因为>ｂ>０,所以－＝ >０,故>. 3.拓展性作业:教科书第58页复习参考题2第8题． 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $