2.1.2 等式性质与不等式性质教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

科  目

数学

年  级

高一

主备教师

课  型

新授课

课时数

1

授课教师

设计主题

2.1.2 等式性质与不等式性质

设计时间

授课时间

课标要求

梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

教材分析

等式的性质与不等式的性质都是“式的性质”，反映了“式的大小关系”的本质属性，具有相似性，但等号没有方向性而不等号有方向性，因此它们又有很大的差异.等式的性质从自身特性来看，包括“对称性”和“传递性”，均体现实数序的特征；从运算角度来看，相等关系在加法、乘法运算中保持不变性，这是运算中的不变性.不等式的基本性质与等式的基本性质蕴含相同的数学思想方法，也包含自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种，都是实数序关系的数学表达，前者是不相等的两个实数大小关系的两种不同的等价表达形式，后者体现三个不相等的实数之间大小关系的内在联系；借助实数大小关系的基本事实和实数的其他一些基本事实，不等关系在代数运算中具有不变性和规律性，但不等式对于乘法运算失去了“保号性”，这也是不等式性质与等式性质的差异.同时在不等式基本性质基础上，通过代数的运算、变形、特殊化或推广等方式获得一些常见性质，这些性质都是解决不等式问题的好工具.当然在探究性质的过程中，关注共性规律的时候也需注意差异性，这对发展学生逻辑推理等素养大有帮助.

通过上述分析可以看到，等式性质与不等式性质的根源都在于运算，“运算中的不变性、规律性”是发现代数性质的“引路人”，也是不等式性质中蕴含的基本思想和方法，在代数研究中具有基础地位，是学生发展数学运算和逻辑推理的重要载体，对促进学生思维发展和素养提升都至关重要.

学情分析

本单元知识是高中数学的预备知识，在初中阶段学生通过从特殊到一般的方式

学习了等式和不等式的某些性质，积累了一定的“式的性质”的研究经验，为本单元学习奠定了一定基础，但初中把注意力放在具体运算上，并没有进行严格的推理证明，对公理化体系以及蕴含的数学思想方法也缺乏必要的关注.本单元的内容主要是帮助学生构建“研究一个数学对象”的路径，着力点是在公理化体系下的实数序关系，不仅抽象而且逻辑性强，学生会存在较大困惑.

1.等式的基本性质学生是熟知的，但学生不知道从哪些角度去梳理，归纳其中蕴含的数学思想则更难、教学时应给学生指明梳理的方向，先从整体上把握几个式子的结构特点，再进行分类梳理，并提示“运算是代数学的根本”，在学生进行分类以后，性质2表示传递性学生很容易清楚，性质1表示对称性需引导，但都是自身的特征．对于性质3、性质4、性质5不妨先让学生通过自然语言描述，突出“加、减、乘、除”四个字，通过问题将学生引导到其共性就是运算，再归纳出“运算中的不变性”.

2.学生类比等式的基本性质及其蕴含的数学思想方法探索并证明不等式基本性质存在一定的困难．性质1和性质2学生认为显然成立，性质3和性质4在初中都已学习了解过（初中是建立在从特殊到一般进行归纳的基础上获得这些性质的），这些性质为什么是成立的，该如何去证明，学生不知所措.教学时要通过问题引导学生回到实数的性质、实数大小关系的基本事实上去，不断修正学生的证明思路，形成合理的逻辑顺序.

3.由于学生缺乏代数证明的经验，对于正确地运用不等式的性质对不等式进行恰当的等价变形会感到困难.教学时要加强证明思路的分析，以问题串的形式引导学生建立条件与结论的联系，当然这个过程需要教师的典型示范、学生多练习和师生一起纠正典型错误等方式逐步帮助学生掌握证明不等式的一般思路和方法.

单元教学目标

1.能解释实际问题情境中蕴含的不等关系，并能用数学符号语言描述，获得不等式的概念．

2.能归纳出两个实数大小关系基本事实中蕴含的数学思想，知道将两式的大小比较转化为它们的差与0的大小比较的方法是研究大小关系的最基本方法，体会运算在解决代数问题中的关键作用，并能用基本事实比较大小和证明不等式的基本性质.

3.在回顾和梳理等式基本性质的基础上，能归纳出等式性质蕴含的数学思想方法，即相等关系自身的特性、等式在运算中的不变性.

4.能通过类比等式基本性质猜想不等式的基本性质并能证明；能通过比较分析，说出不等式基本性质与等式基本性质的共性与差异.

5.能从不等式的基本性质出发，通过变形、运算等方式推导出一些常用的不等式性质，并能利用这些性质证明简单的不等式.

单元教学重点

难点

1.教学重点：两个实数大小关系的基本事实的理解和简单应用；梳理等式基本性质，归纳其蕴含的思想方法；类比等式性质，探索和证明不等式的性质，感悟等式与不等式的共性与差异.

2.教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式；理解实数大小关系的基本事实中蕴含的数学思想方法；梳理、归纳出等式基本性质中蕴含的思想方法；从“自身特性”“运算不变性”两方面探究不等式的基本性质并证明；利用不等式性质证明一些简单的命题.

单元课时分配

本单元分2课时：

第1课时，相等关系与不等关系；

第2课时，等式性质与不等式性质．

第二课时

课时学习目标

基础性目标：★

通过任务一，梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性）并类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质。

拓展性目标：★★

通过任务二，能证明猜想并体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性.

挑战性目标: ★★★

通过任务三，能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题.

课时学习重难点

教学重点：不等式基本性质的发现过程及性质的证明．

教学难点：证明不等式的基本性质，发现不等式的常用性质．

课时学习评价

教学过程

教师活动

学生活动

教学效果