1.5全称量词与存在量词讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词（∀）与存在量词（∃）的定义、命题表述形式，以及命题否定规则（全称命题否定为存在命题，存在命题否定为全称命题），并通过表格对比常见语句的否定形式，构建从概念到应用的学习支架。 该资料亮点在于知识储备条理清晰，巩固练习分基础夯实与能力提升两层设计，解题技巧总结实用。通过表格对比培养数学语言表达能力，通过命题真假判断发展推理意识，通过实例分析提升抽象能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

1.5全称量词与存在量词 第一部分【题型解读】 第二部分【知识储备】 1．全称量词与全称量词命题 (1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． (2)全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)． (3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义． 2．存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做存在量词命题． (2) 存在量词命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)． (3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义． 3．命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称量词命题的否定是存在量词命题． (2) 存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，存在量词命题的否定是全称量词命题． 4．常见的命题的否定形式有： 原语句 是 都是 > 至少有 一个 至多有 一个 对任意x∈A 使p(x)真 否定 形式 不是 不都是 ≤ 一个也 没有 至少有 两个 存在x∈A 使p(x)假 第三部分【巩固练习】 A组 基础夯实 1．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 2．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥.其中所有真命题的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．④⑤ 4．下列命题中为真命题的是（    ） A．， B．， C．， D．，是整数 5(多选题)．已知集合，，则（ ） A．， B．， C．， D．， 6(多选题)．下列说法正确的有（    ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的必要条件 C．命题“”是假命题 D．若为假命题，则为真命题 7．已知集合，且使命题“”为假命题的所构成的集合为，则______． 8．已知集合，集合，命题“，使得”，则命题p的否定为______；若p为假命题，则实数a的取值范围是______. 9．已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：． (1)若为假命题，求实数m的取值范围； (2)若p，q中一真一假，求实数m的取值范围． 10．已知集合，集合或，全集. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围. 11．已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． B组 能力提升 12(多选题)．下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 13(多选题)．若“，”是真命题，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 15．下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 16．给定命题：，都有．若命题为假命题，则实数的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 18．命题，命题若命题､一真一假，则实数的取值范围为________. 19．已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 20．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为． (1)求集合； (2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围. 21．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 第四部分【解题技巧总结】 必备技巧1： 全称量词命题与存在量词命题的判断 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些命题并没有给出全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 必备技巧2： 全称量词命题与存在量词命题的真假 （1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． （2）判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题． 必备技巧3： 对全称量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)存在量词(∃)． ②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 对存在量词命题否定的两个步骤 ①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)全称量词(∀)． ②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第五部分【参考答案】 1．D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 2．A 【分析】解法一：原命题为假，则其否定命题为真，因此写出其否定命题，结合恒成立求解即可； 解法二：先假设原命题为真，利用存在性成立求解后，再取相反面即可. 【详解】解法一：由于“，使得”是假命题， 则其否定：“，使得”是真命题，故， 又随着的增大而减小， 所以小于当时的最小值时，恒成立， 则，即． 解法二：当题中命题为真命题时，可得，使得成立， 所以大于或等于当时的最小值即可， 即，又该命题为假命题，所以． 故选：A. 3．B 【分析】对于①⑥，利用分析判断，对于②③④⑤举例判断即可. 【详解】对于①，因为时，，所以，所以①正确； 对于②，当时，，所以②错误； 对于③，，所以③正确； 对于④，，所以④错误； 对于⑤，当时，，所以⑤错误； 对于⑥，，所以⑥错误. 故选：B 4．D 【分析】举反例判断AC，根据求解范围判断B，根据整数的概念判断D. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 真假 原因 A 假 举反例，例如，但． B 假 因为对于任意实数，，所以，恒大于0. C 假 举反例，当时，，不满足． D 真 对于任意的整数，一定是整数，也一定是整数， 所以，是整数． 故选：D 5．AD 【分析】利用集合间的基本关系判定即可. 【详解】因为集合，， 所以B是A的真子集，所以，或，. 故选：AD. 6．CD 【分析】根据命题的否定的定义判断A；举例判断BC；结合命题和其的否定的真假性判断D. 【详解】对于A，全称量词命题的否定是存在量词命题， 则命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，当时，满足，但， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，当时，不成立， 因此命题“”是假命题，故C正确； 对于D，由命题及其否定一定一真一假可知，D正确． 故选：CD. 7． 【分析】由题设可得为真命题，求得，结合及集合的交运算求集合. 【详解】由题得，且命题，0是真命题， 所以，即，则， 所以. 故答案为： 8． 【详解】若p为假命题，则其否定命题“”为真命题.当时，集合，符合；当时，因为，所以由，得对于任意恒成立，所以，则.综上，当p为假命题时，. 9．(1) (2) 【分析】（1）由题意为真命题，则有即可求解； （2）由p，q中一真一假，分真，假和假，真，两种情况分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意有：为假命题，所以为真命题， 又由方程有两个不相等的实数根， 所以， 所以实数m的取值范围为； （2）由（1）有为真命题，则， 因为p，q中一真一假， 所以当真，假时，有， 当假，真时，有， 综上所述，， 所以实数m的取值范围为. 10．(1) (2)或 【分析】（1）直接根据两个集合的交集是空集求解即可； （2）根据题意可得，进而结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意恒成立，所以， 又，则，解得， 所以实数的取值范围为 （2）若，是真命题，则有， 则或，所以或， 即实数的取值范围为或. 11．(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 12．A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 13．A 【分析】根据存在量词命题的真假求参数的取值范围.可把问题转化为求解. 【详解】因为“，”是真命题，所以，. 所以. 故选：A 14．B 【分析】先判断原命题类型，再根据特称量词命题的否定规则，将存在量词改为全称量词，并否定结论. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得命题“，”的否定是“，”. 故选：B 15．D 【分析】根据特称命题判断各个小题的真假即可判断. 【详解】因为，且，所以①是真命题； 四边形可以为梯形，所以②是真命题； 取时，，所以③是真命题． 故真命题的个数是3个． 故选：D. 16．ABC 【分析】先写出命题的否定，由题意知其为真命题.法一：根据和分类讨论，分别求出参数的范围，再合并并检验选项即可；法二：根据各选项的的值，分别检验是否符合题意即可判断. 【详解】法一：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，所以的最小值小于10. 当时，的最小值为，所以，即； 当时，的最小值为0，恒成立，即． 综上，实数的取值范围是． 选项A，B，C都在该范围内．选项D不在范围内. 故选：ABC. 法二：命题为假命题，则命题的否定“，使得成立”为真命题，将各选项代入验证即可． 对于A，当时，使得成立，故A正确； 对于B，当时，使得成立，故B正确； 对于C，当时，使得成立，故C正确； 对于D，当时，不存在使得成立，故D错误． 故选：ABC. 17．AD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 18． 【分析】根据题意，分别求得命题和为真命题时，实数的取值范围，分类讨论，即可求解. 【详解】若命题为真命题， 即方程在上有解，则满足，解得， 若命题为真命题， 即不等式在上恒成立，则满足，解得， 当命题为真命题且为假命题时，则满足； 当命题为假命题且为真命题时，则满足； 所以命题､一真一假时，可得或 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 19．(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 20．(1) (2)． 【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解. （2）由题意得，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）由题意可得方程有解， 所以，即， 解得， 所以． （2）因为是的必要条件，所以， 又因为为非空集合，且， 所以解得， 所以实数的取值范围为． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【详解】（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． （3）方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $