第1章 集合与常用逻辑用语 章末归纳提升-（配套教参）【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第一章集合与常用逻辑用语 (3)命题的否定：Hx∈R,x不是方程x2-3.x十2 由g为真命题，即x2+2a.x十2-a=0有实根， =0的根.因为x=1时，12-3×1十2=0，即x=1 得△=4a2-4(2-a)≥0， 为方程的根，所以命题的否定为假命题 即a≥1或a≤-2.② (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂 对①②求交集，可得{aa≤-2或a=1}. 直.命题的否定为真命题. 综上，所求实数a的取值范围为{aa≤一2或a=1}. 11.命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤ 13.已知函数f(x)=x2-2x十5. 0”,其中a、b是常数. (1)是否存在实数m使不等式m十f(x)>0对任 (1)写出命题p的否定； 意x∈R恒成立，并说明理由. (2)当a、b满足什么条件时，命题p的否定为真？ (2)若存在一个实数x,使不等式m一f(xo)>0 解：(1)命题力的否定：对任意实数x,有x一a≤0 且x-b>0. 成立，求实数m的取值范围. (2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组 解：(1)不等式m十f(x)>0可化为m>-f(x), 一a≤0的解集不为空集，通过画数轴（图略） 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,要使m> {x-b>0 -(.x-1)2-4对于任意x∈R恒成立，只需m> 可看出，a、b应满足的条件是b<a. 一4即可，故存在实数m使不等式m十f(x)>0 能力提升 对于任意x∈R恒成立，此时需m>一4. ·》 (2)不等式m一f(.xo)>0可化为m>f(xo).若存 12.已知命题：“H1≤x<2,x2-a≥0”，命题q:“了x 在一个实数x。,使不等式m>f(xo)成立，只需m ∈R,x2十2ax十2-a=0”,若命题力，g都是真命 题，求实数a的取值范围 >f(x)m,又f(x)=(x-1)2+4,则f(x)mm=4, 解：由力为真命题，a≤x2对V1≤x≤2恒成立， 所以m>4. 得a≤1；① 所以所求实数m的取值范围是{mm>4}. 章未归纳提升 对应学生用书P31 [网络构建] 元素与集合关系 属于∈，不属于 确定性 集合的含义 集合中元素的特性 互异性 列举法 集合的表示 描述法 无序性 图示法 子集 ACB 集合 集合间的 包含 基本关系 真子集—AB 相等 A=B 并集 AUB={x|x∈A,或x∈B} 集合的运算 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 补集 uA={x|x∈U,且xA} 充要条件 判定定理 常 充分条件与 必要条件 性质定理 用逻 必要条件 充要条件 数学定义 全称量词 用语 全称量词与 全称量词 全称量词命题 命题和存 存在量词 存在量词一 存在量词命题 在量词命 题的否定 ·39· 数学·必修第一册 [归纳提升] 题型 集合的基本概念 [例2](1)已知集合A={x|x2-3x十2=0，x∈R}, 与集合中的元素有关的问题的求解策略 B={x0<x<5,x∈N},则满足条件A二C二B的 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是 集合C的个数为 () 其它集合 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)看这些元素满足什么限制条件， (2)设A={1,4,2x},若B={1,x2},若B二A,则x (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素 的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性 (3)已知集合A={x-2≤x≤7}，B={xm十1< [例1](1)设集合A=(1,2,4},集合B={xx= x<2m一1}，若B二A,则实数m的取值范围是 a十b,a∈A,b∈A},则集合B中元素的个数是 ( ) [解析](1)用列举法表示集合A,B,根据集合关 A.4 B.5 C.6 D.7 系求出集合C的个数.由x2-3x十2=0得x=1或 (2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-yx∈ x=2,A=1,2}.由题意知B=(1,2,3,4},∴.满 A,y∈A}中元素的个数是 足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，1,2,4}，{1,2,3， A.1 B.3 C.5 D.9 4},共4个. [解析](1).a∈A,b∈A,x=a+b,所以x=2, (2)由B二A,则x2=4或x2=2x.当x2=4时，x= 3,4,5,6,8,.B中有6个元素，故选C. 士2，但x=2时，2x=4,这与集合元素的互异性相 (2)当x=0,y=0时，x一y=0;当x=0,y=1时，x 矛盾；当x2=2x时，x=0或x=2(舍)， -y=-1;当x=0,y=2时，x-y=-2；当x=1, 综上所述，x=一2或x=0. y=0时，x-y=1;当x=1,y=1时，x-y=0;当x (3)当B=0时，有m十1≥2m-1,则m≤2. =1,y=2时，x-y=一1；当x=2,y=0时，x-y 当B≠心时，若B三A,如图. =2;当x=2,y=1时，x-y=1；当x=2,y=2时， -2m+10 2m-1 7x x一y=0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有 fm+1≥-2， 0,-1,-2,1,2,共5个. 则{2m-1≤7， 解得2<m≤4. [答案](1)C(2)C m+1<2m-1, ◇[变式训练] 1.(1)设集合A={x|x2-3x+2=0},则满足AUB 综上，m的取值范围为{mm≤4}. [答案](1)D(2)0或-2(3){mlm≤4} ={0,1,2}的集合B的个数是 ) ◇[变式训练] A.1 B.3 C.4 D.6 2.已知集合A={2,3},B={xmx-6=0},若B二A,则 (2)已知集合M=(1,m十2，m2+4},且5∈M,则m 实数m等于 的值为 A.3 B.2 解析：(1)C(2)3或1[(1)易知A={1,2},又A C.2或3 D.0或2或3 UB=(0,1,2},所以集合B可以是：{0}，{0,1}， 解析：D[当m=0时，方程m.x一6=0无解，B= {0,2},{0,1,2} (2)当m+2=5时，m=3,M={1,5,13),符合 ⑦，满足B二A;当m≠0时，B={6,因为B二A, 题意； 当m2十4=5时，m=1或m=-1,若m=1,则M= 所以6=2或6=3，解得m=3或m=2.] m {1,3,5},符合题意；若m=-1,则m十2=1，不满 题型】 集合的基本运算 足元素的互异性，故m=3或1.] 集合的基本运算是指集合间的交、并、补这三种常 题型 集合的基本关系 见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考 集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断 虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系 两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代 通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用维 表元素 恩图法，运算时特别注意对心的讨论，不要遗漏. ·40· 第一章集合与常用逻辑用语 [例3](1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m (2)Vx∈R,4x2>2.x-1+3.x2; =0}.若A∩B={1},则B= ( ) (3)3x∈{-2，-1,0,1,2}，x-2<2; A.1,-3》 B.{1,0} (4)Ha,b∈R,方程a.x十b=0恰有一解. C.{1,3} D.1,5} [解](1)该命题是全称量词命题，是真命题.该命 (2)已知集合A={x2≤x<7},B={x|3<x< 题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的 10},C={xx<a}. 真子集。 ①求AUB,(CRA)∩B; ②若A∩C≠心，求a的取值范围. (2)该命题是全称量词命题，是假命题. [解析](1)由A∩B={1}得1∈B, 因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1 所以m=3,B={1,3}. =(x-1)2≥0， [答案]C 所以当x=1时，4x2=2.x-1十3.x2. (2)[解]①因为A={x|2≤x<7},B={x3<x 该命题的否定：了x∈R,4x2≤2x-1+3.x2. <10}, (3)该命题是存在量词命题，是真命题. 所以AUB={x2≤x<10}. 因为当x=1时，x-2=1<2, 因为A={x2≤x<7}, 该命题的否定：Vx∈{-2，-1,0,1,2}， 所以CRA={xx<2,或x≥7}， 则(CRA)∩B={x7≤x<10}. |x-2|≥2. ②因为A={x|2≤x<7},C={xlx<a},且A∩C (4)该命题是全称量词命题，是假命题.当a≠0时， ≠0，所以a>2, 方程a.x十b=0才恰有一解.该命题的否定：了a,b 所以a的取值范围是{aa>2}. ∈R,方程ax十b=0无解或至少有两解. ⊙[变式训练] ⊙[变式训练] 3.(1)已知集合A={1,2,3,4},B={yy=3x-2,x 4.(1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的 ∈A},则A∩B= 否定是 A.1} B.{4} A.任意一个有理数，它的平方是有理数 C.{1,3 D.{1,4} B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 (2)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4}, 集合B={2,4,则(CA)UB= C.存在一个有理数，它的平方是有理数 A.{2,4,5} B.{1,3,4} D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 C.{1,2,4} D.{2,3,4,5} (2)(多选题)在下列命题中，真命题有 解析：(1)D[由题意得，B=(1,4,7,10}, A.]x∈R,x2+x+3=0 所以A∩B={1,4}.] (2)A[由题意知CuA={2,5},所以(CA)UB= BVx∈Q,号2+分x+1是有理数 {2,4,5},故选A.] C.3x,y∈Z,使3x-2y=10 题型四全称量词命题与存在量词命题 D.Hx∈R,x2>|x 已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上 解析：(1)B[量词“存在”否定后为“任意”，结论 是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清 “它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理 参数，恰当选取主元，合理确定解题思路.解决此类 数”.故选B.] 问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关 数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数 2B[A中，+r+3=(+号)+>0， 的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的 A是假命题：B中，xEQ,日2+2x十1一定是有 限制. [例4幻判断下列命题是全称量词命题还是存在量词 理数，故B是真命题；C中，x=4,y=1时，3.x一2y 命题，判断真假，并写出它们的否定： =10成立，故C是真命题；对于D,当x=0时，左 (1)空集是任何一个非空集合的真子集； 边=右边=0，故D为假命题.门 ·41· 数学·必修第一册 题型五】 充分条件写必要系件 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求； 充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非 常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其 专≠8时-”4-甘长 特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条 件、必要条件、充要条件的判断. 然上，实数m的取位范因是{加m≥} 选③：B∩(CRA)=0,又CRA={aa≥-1}， [例5]若a,b都是实数，试从①ab=0;②a十b=0: 则当B=0时，3m≥m十2→m≥1，满足要求； ③a(a2+b)=0;④ab>0中选出满足下列条件的 式子，用序号填空： 当B≠心时，3Cm十2：解得m<-3. {m+2≤-1， (1)使a,b都为0的必要条件是 综上，实数m的取值范围是{mm≤-3或m>1》 (2)使a,b都不为0的充分条件是 (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是 题型六】 集合的实际应用 [解析]①ab=0台a=0或b=0,即a,b至少有一 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言 个为0： 表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养， ②a十b=0台a,b互为相反数，则a,b可能均为0， 主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检 也可能为一正数一负数； 验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现 ③a(a2十b2)=0台a=0,b为任意实数； 在集合的实际应用问题中. 。或∫a<0, a>0, [例6]某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探 ④ab>0台 即a,b同为正数或同为 b>01b<0, 究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数 负数 学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13同时参 综上可知：(1)使a,b都为0的必要条件是①②③； 加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学 (2)使a,b都不为0的充分条件是④； 小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是①. 人. [答案](1)①②③(2)④(3)① [解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成 ◇[变式训练] 的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组 5.已知命题p:3x∈R,a.x2+2x-1=0为假命题，设 的有x人，由题意可得如图所示的Venn图. 实数a的取值集合为A,集合B={x3m<x<m十 B 2},若 ,求实数m的取值范围 在①“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件；②“x∈ 26-69a5-40 ⑧大 B”是“x∈CRA”的充分条件；③B∩(CRA)=心这 三个条件中任选一个，补充到本题的横线处，并按 (13-4-x) 照你的选择求解问题. 由全班共36名同学可得(26一6-x)十6十(15一4 注：若选择多个条件分别解答，按第一解答计分 -6)+4+(13-4-x)+x=36, 解：由命题p为假命题，可知7：Vx∈R,ax2十 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 2x-1≠0为真命题. [答案]8 当a=0时，Vx∈R,2.x-1≠0显然不成立； ⊙[变式训练] 当a≠0时，只需△=4+4a<0→a<-1. 6.2026年文汇高中学生运动会，某班62名学生中有 综上，A={aa<-1}. 半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参 选①：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件， 加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和 则B车A. 径赛都参加的学生人数为 () 当B=心时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： A.7 B.8C.10 D.12 当B≠②时，3m<m+2, 1m+2≤-1， 解得m≤一3. 解析：B[由题可得参加比赛的学生共有31人，因 为card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩ 综上，实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1}. B),所以田赛和径赛都参加的学生人数为16十23 选②：“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件，则B三 CRA,且CRA={aa≥-1. -31=8.故选B.] ·42·