2.2基本不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配新授课知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基本不等式概念及直接应用|单选1-5、填空10-12，如“求最小值”直接应用公式，强化运算能力| |提升层|条件变形与简单综合|单选6-9、填空13-15，如单选7恒成立问题，需“1的妙用”转化，发展推理意识| |综合层|多变量及实际情境应用|解答题16-17，如结合方程求最值，构建数学模型，体现数学语言表达现实世界的能力|

高一数学基本不等式同步训练 一、单选题：。 1.设，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 2.已知，均为正实数，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 3.某工厂生产某种产品，第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为均大于零，则(    ) A. B. C. D. 4.已知正数，满足，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 5.若均为正数，且，则的最小值等于(    ) A. B. C. D. 6.若，，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 7.若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围(    ) A. B. C. D.   8.已知，是正数，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 9．已知.不等式对于任意满足已知条件的实数恒成立，则的最大值为（　　） A．18 B．21 C．24 D．27 二、填空题： 10.若，则的最小值为           11．若，则函数的最小值为____ 12.函数的最大值是______ 13.已知实数，，且，则的最小值是_________ 14.若正数满足，则的最小值是           15.已知，均为正数，且，则的最小值为__________． 三、解答题： 16. 已知，求的最大值； 已知正实数，满足，求的最大值． 17. 设，为正实数，且． 求的值； 求的最小值． 高一数学基本不等式答案和解析 1.【答案】  【解析】解：因为， 所以，当且仅当即时取等号． 故的最小值为． 故选： 2.【答案】  【解析】因为，均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号，则的最小值为故选C． 3.【答案】  【解析】由题意得，，则，  因为，  所以，  所以，当且仅当时取等号． 4.【答案】  【解析】解：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了由基本不等式求最值或取值范围，属于基础题． 根据基本不等式“”的用法求解即可． 【解答】 解：因为均为正数，且， 所以，， 当且仅当时等号成立， 所以，的最小值等于． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：因为，所以， 因为，，所以，， 又， 又， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式的运用，考查不等式恒成立问题，属于中档题． 将不等式恒成立，转化为，利用“”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【解答】  解：由，，，且恒成立， 可得， 由， 当且仅当，上式取得等号． 则， 解得． 故选B 8.【答案】  【解析】解：因为，是正数，且， 所以， 由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为． 故选D． 9．D 【分析】先分离参数，再利用“1的妙用”求最值即可. 【详解】不等式等价于 ，当且仅当时，等号成立，所以． 故选：D. 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数最值的求法，根据基本不等式求最值的方法，考查了计算能力，属于基础题． 由，根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】 解：， ，当且仅当，即时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 11 .10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 12．5 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】易知，可得； 所以，当且仅当，即时等号成立， 故函数的最大值是5， 故答案为：5 13. 【详解】由题意得：， 当时，即时，等号成立. 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 由解出，代入中，再根据基本不等式即可得到答案． 【解答】 解：由可得，再由、为正数得， 则， 当且仅当时等号成立， 故答案为． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查基本不等式求最值，为中档题． 【解答】 解：法  带入消元 由题意得，代入目标式子消元得：   ，  因为，均为正数，所以 ，  故，当且仅当取等号，符合题意．故填写：． 法  换元显形，齐次变形常数代换 令，原题等价于，求的最小值；   ，当且仅当取等号．故填写：． 16.【答案】解：因为， 所以，当且仅当，即时等号成立，取到最大值； 由，解得， 当且仅当，时，取等号， 所以的最大值为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：由，得，即， 所以； 由得， 又，，则，，， ，，，， 所以，， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为．  【解析】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题． 由可得，即，从而可得的值； 根据题意分析可得，，则，从而即可利用及不等式求出的最小值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $