2.2　培优课　活用基本不等式求最值 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦基本不等式求最值，通过基础巩固、技巧提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|基本不等式直接应用|单选形式，聚焦“一正二定三相等”条件判断| |中档层（6-8题）|常数代换、变形技巧|含多选，强化等号成立条件分析（如第7题）| |提升层（9-13题）|综合应用与实际转化|填空+解答，需整体代换（如第13题）及模型构建|

培优课　活用基本不等式求最值 1.已知a＞0，b＞0，＋＝，则2a＋b的最小值为（　　） A.24 B.30 C.45 D.54 2.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 3.若x＞1，则y＝的最小值为（　　） A.8 B.2 C.6 D.12 4.已知a＞b＞c，则与的大小关系是（　　） A.＞ B.≥ C.≤ D.不确定 5.若正数x，y满足x＋4y－xy＝0，则的最大值为（　　） A. B. C.1 D. 6.若0＜a＜，则＋的最小值为（　　） A.3＋2 B.3－2 C.4 D.4 7.（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，对于代数式（1＋）（1＋），下列说法正确的是（　　） A.最小值为9 B.最大值为9 C.当a＝b＝时取得最小值 D.当a＝b＝时取得最大值 8.（多选）已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　） A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2 9.已知正数x，y满足x＋2y＝2，则＋的最小值为　　　　. 10.若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），则＋的最小值为　　　　. 11.已知x，y＞0，则＋的最大值为　　　　. 12.已知a＞0，b＞0，若a＋3b＝1，求a2＋9b2＋7ab的最大值. 13.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝2，求的最小值. 培优课　活用基本不等式求最值 1.D　由已知，可得6（＋）＝1，∴2a＋b＝6（＋）（2a＋b）＝6（5＋＋）≥6×（5＋4）＝54，当且仅当＝，即a＝b＝18时，等号成立.故选D. 2.D　因为x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x，所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立.所以3x＋y的最小值是4. 3.A　令t＝x－1＞0，∴x＝t＋1，∴y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当t＝，即t＝3，x＝4时，等号成立，∴ymin＝8.故选A. 4.C　因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以＝≥，当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.故选C. 5.A　∵正数x，y满足x＋4y－xy＝0，∴y＝＞0，解得x＞4，∴＝＝＝≤＝，当且仅当x－4＝，即x＝6时，等号成立，∴的最大值为.故选A. 6.A　因为0＜a＜，所以1－2a＞0，所以＋＝（＋）[2a＋（1－2a）]＝2＋＋＋1≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，所以＋的最小值为3＋2.故选A. 7.AC　原式＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋，因为ab≤（）2＝，所以≥4.所以原式＝1＋≥9，当且仅当a＝b＝时，等号成立.所以当a＝b＝时取得最小值9.故选A、C. 8.BC　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，故A错误；＋＝（＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2，＋＞0，∴（＋）2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最大值为，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C. 9.　解析：由于x＋2y＝2，所以＋＝（x＋2y）·（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，所以＋的最小值为. 10.8　解析：∵实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），∴x＝，∴0＜＜，解得y＞3.又＝y＋3，则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4，x＝时，等号成立.∴＋的最小值为8. 11.　解析：设则因此＋＝＋＝－＋－＝－（＋），因为＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝2b时等号成立，所以＋≤－＝，当且仅当y＝2x时等号成立. 12.解：∵a＞0，b＞0，a＋3b＝1， ∴a2＋9b2＋7ab＝（a＋3b）2＋ab＝1＋·a·3b， ∵a·3b≤＝，当且仅当a＝3b，即a＝，b＝时，等号成立， ∴a2＋9b2＋7ab≤1＋×＝， ∴a2＋9b2＋7ab的最大值是. 13.解：因为x＋y＝2， 所以＝＝＝（＋）. 因为＋＝（x＋y）（＋）＝（10＋＋）≥（10＋2）＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立， 所以（＋）≥4， 即≥4，故的最小值是4. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $