基本不等式求最值专项练习-2026年暑假复习高一升高二数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值，通过分层题型构建从基础应用到多元变量的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4（选择1-3,12）|判断正误/直接应用|概念生成：“一正二定三相等”条件辨析| |条件最值|8（选择4-5,8-11,填空14-16）|和积定值求最值|原理推导：配凑/常数代换法的应用拓展| |恒成立与参数|3（选择6-7,解答18(2)）|不等式恒成立求范围|模型构建：最值与参数的逻辑关联| |多元变量|5（选择8,9,13,解答19-20）|三元变量/综合应用|思维进阶：变量转化与条件整合|

基本不等式求最值练习题 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 【答案】B 【详解】因为，，，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为25. 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】因为，，当且仅当取等号，故A错误； 当时，满足，但是，B选项错误； 利用乘1法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确 3．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合对勾函数性质判断①；结合基本不等式判断②③④. 【详解】①化简得：，令， 函数在时单调递增，因此最小值为， 等号取不到（等号成立条件不满足），①错误. ②展开得：，由基本不等式， 因此原式，等号成立条件为，因此最小值为9，②正确. ③已知，则，令，则， 由基本不等式，得，③正确. ④，要证，等价于证明：， 整理得，当且仅当时等号成立，④正确. 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 5．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再由乘1法和基本不等式可得最小值，由二次不等式的解法可得所求范围． 【详解】正实数满足，所以， 由恒成立，可得， ， 当且仅当时上式取等号， 则，解得， 故实数的取值范围是， 故选：B. 8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将代入后剩下关于的二元等式，经齐次化处理后使用基本不等式在时最大值时，将代入原式可得，代入，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取"=")， ，此时. ， ，当且仅当时取得"="，满足题意. 的最大值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：对含有多元变量的函数求最值时通常要减少变量的个数，减少变量的个数方法有:①代入消元，把其中一个变量用其它变量表示后代入消元;②对齐次式可通过构造比值消元. 9．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，则 【答案】CD 【分析】取值计算判断AB；C选项，通过拼凑，用“1的整体代换”结合均值不等式即可求最值；D选项，通过对进行平方，结合与均值不等式即可进行证明. 【详解】对于A：令，此时，不满足，故A错误； 对于B：令，满足，，而，此时，不满足，故B错误； 对于C：由，得，又，，所以，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 此时取到最小值为，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即，故D正确. 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 【答案】ABC 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为， 所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知， 所以最小值为，D错误． 12．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．正实数，满足，则有最小值为5 B．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最小值是2 【答案】AC 【分析】由结合基本不等式计算即可判断A；将已知命题转化为“”为真命题，分类讨论，结合判别式符号列不等式求解可判断B；由基本不等式计算可判断C；令，由对勾函数性质计算可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 对于B，因为命题“”是假命题，所以此命题的否定为真命题， 即命题“”是真命题. 当时，不等式转化为恒成立，则满足题意； 当时，则有，解得. 综上，实数的取值范围为，故B错误； 对于C，由，得，所以， 所以，即，得， 所以的最大值为，故C正确； 对于D，，令，则， 所以在上单调递增，所以，故D错误. 故选：AC 13．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对A，利用基本不等式求解；对B，由题可得，利用二次函数单调性求解判断；对C，举反例说明；对D，将原式变形，利用基本不等式求解. 【详解】对于A，由，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，，得， 则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：AD. 14．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 【答案】3 【详解】由已知条件可得， ，当且仅当时取得最小值3． 15．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，且，则的最小值为____. 【答案】 【分析】由题意有，令，利用基本不等式得，利用的单调性即可求解. 【详解】由题意有：，令， 因为，所以， 所以，易知函数在上单调递增， 所以，所以的最小值为. 故答案为：. 16．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知正实数、满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据正实数、满足，得到，求出，变形得到，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为正实数、满足，所以， 解得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)7 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）对所求进行配凑变形可得，利用基本不等式，即可得答案. （3）对所求进行变形可得，利用基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）由得， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为5 （3）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为7 18．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知正数 (1)， ①求的最大值； ②求的最小值； ③的最大值； (2)若恒成立，求的取值范围 【答案】(1)①；②；③2 (2) 【分析】（1）①利用基本不等式求解即可；②由，用乘以构造基本不等式即可；③将的最大值转化求的最大值，根据基本不等式和已知条件即可求解； （2）根据已知条件将问题转化为求，变形得，令化简，转化为二次方程有解问题求出最小值分析即可. 【详解】（1）①因为，有基本不等式得： ， 即 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为； ②由， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是； ③由，则， 所以 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以有最大值为2. （2）因为，所以 所以恒成立等价于： ， 由， 令，所以有， 令， 因为关于的一元二次方程有正实数解， 所以即： ，解得：或（舍去）， 当时，有， 即时，有最小值，即， 所以，所以的取值范围为：. 19．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 20．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)求在时的最小值． 【答案】(1)12； (2)6； (3)． 【分析】（1）（2）（3）根据题设前提条件，应用基本不等式求积、和及分式型目标式的最值. 【详解】（1）， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值为12． （2），则 即，解得或（舍）， 当且仅当且，即时等号成立， 的最小值为6． （3）， 令，则， 所以，化为， 而，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本不等式求最值练习题 1．（25-26高二下·河北沧州·期末）若，，，则的最小值为（   ） A．26 B．25 C．19 D．13 2．（25-26高二下·北京·期末）已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津南开·期末）下列说法中正确的个数是（     ） ①的最小值为2 ②的最小值为9 ③已知，则 ④设，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 5．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 6．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 7．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的最大值为（   ） A．2 B． C．1 D． 9．（25-26高二下·安徽六安·期末）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 10．（25-26高二下·吉林长春·期末）（多选）已知，，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，则 11．（25-26高二下·安徽合肥·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 12．（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）下列命题中是真命题的有（    ） A．正实数，满足，则有最小值为5 B．命题“，”是假命题，则实数a的取值范围为 C．若，则的最大值为 D．的最小值是2 13．（25-26高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知，，且，则（    ） A．xy的最大值为1 B．的最大值为6 C．的最小值为 D．的最小值为 14．（2026高三·全国·专题练习）设，，为正实数，满足，则的最小值是________． 15．（25-26高三上·安徽阜阳·阶段检测）已知，且，则的最小值为____. 16．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知正实数、满足，则的最小值为______. 17．（25-26高一上·新疆喀什·阶段检测）求最值 (1)已知正实数满足，求的最小值． (2)已知，求的最小值． (3)已知，求的最小值． 18．（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知正数 (1)， ①求的最大值； ②求的最小值； ③的最大值； (2)若恒成立，求的取值范围 19．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 20．（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）利用基本不等式求以下最值： (1)若，求的最大值； (2)已知，且，求的最小值； (3)求在时的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $