暑假预习：利用基本不等式求和或积的最值、由基本不等式比较大小、利用基本不等式证明不等式专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式三大应用场景，通过分层例题构建从求最值到证明的逻辑链条，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求和或积的最值|8题（4例+4变式）|正实数条件下和定积最大/积定和最小|从基本公式直接应用到条件变式| |比较大小|6题（3例+3变式）|大小关系判断、充要条件分析|结合逻辑推理深化公式理解| |证明不等式|6题（3例+3变式）|直接证明与条件最值综合|提升综合应用与表达能力|

暑假预习：利用基本不等式求和或积的最值、由基本不等式比较大小、利用基本不等式证明不等式专项训练 暑假预习：利用基本不等式求和或积的最值、由基本不等式比较大小、利用基本不等式证明不等式专项训练 考点目录 利用基本不等式求和或积的最值 由基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式 考点一 利用基本不等式求和或积的最值 例1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 例3．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 例4．（25-26高一上·广东惠州·期中）若，则函数的最小值为_____. 变式1．（24-25高三上·贵州·阶段检测）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 变式2．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 变式4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 考点二 由基本不等式比较大小 例1．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 例2．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．（25-26高一下·广东深圳·月考）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 变式1．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 考点三 利用基本不等式证明不等式 例1．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 例2．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 例3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 变式1．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 变式2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 变式3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：利用基本不等式求和或积的最值、由基本不等式比较大小、利用基本不等式证明不等式专项训练 暑假预习：利用基本不等式求和或积的最值、由基本不等式比较大小、利用基本不等式证明不等式专项训练 考点目录 利用基本不等式求和或积的最值 由基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式 考点一 利用基本不等式求和或积的最值 例1．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 例2．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）若正实数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】直接根据基本不等式的变形不等式可得. 【详解】因为正实数满足，由基本不等式， 当且仅当时等号成立，将代入得. 所以时，的最大值为4. 故选：B 例3．（25-26高一下·云南普洱·期末）已知，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式对正项和放缩，验证等号成立条件即可求得最小值. 【详解】已知，因此，， 根据基本不等式可得： 当且仅当，即时等号成立， 因此的最小值为. 例4．（25-26高一上·广东惠州·期中）若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 变式1．（24-25高三上·贵州·阶段检测）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可得到不等式，解出即可. 【详解】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 变式2．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 变式3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）已知实数，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】将变形为，利用基本不等式求解范围得到最小值. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 变式4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______． 【答案】0 【详解】已知，则， ， ， ， 设，则，， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为0． 考点二 由基本不等式比较大小 例1．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 例2．（25-26高一上·新疆和田·期末）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】取特殊值判断充分性，利用基本不等式及不等式的性质判断必要性即可得解. 【详解】取，满足，此时，即推不出； 因为，，所以，即， 所以是的必要不充分条件， 故选：B 例3．（25-26高一下·广东深圳·月考）设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 变式1．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 变式2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 变式3．（24-25高一上·上海奉贤·月考）若、、、、、是正实数，且，，则有________．（比较大小） 【答案】≤ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 考点三 利用基本不等式证明不等式 例1．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（1）已知，，证明：； （2）已知，，且，求的最小值. 【答案】（1）证明：因为，，所以，当且仅当时，等号成立. 从而，当且仅当时，等号成立. （2） 【分析】（1）结合基本不等式证明即可. （2）根据基本不等式及求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 例2．（25-26高一上·新疆·期末）对任意实数，.求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用换元法及基本不等式证明即可. 【详解】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 例3．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由基本不等式得，化简即可证明； （2），展开再由基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 变式1．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2） ． 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 变式2．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 变式3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $