18.5 分式方程 同步练习2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，覆盖分式方程从概念到实际问题的完整知识链，强化数学模型意识与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|分式方程定义、解法|单选题2（定义判断）、11题（概念填空）、16题（解方程），夯实基础运算| |能力提升|增根、解的情况|单选题4、5（增根求值）、填空题12、13（解的范围），培养推理意识| |综合应用|实际问题建模|单选题1（《九章算术》改编）、18题（新能源车费用比较），体现数学与现实联系|

18.5 分式方程 同步练习2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 4．关于的方程有增根，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 5．若解分式方程会产生增根，那么的值是（    ） A．或 B．或2 C．1或2 D．1或 6．熊猫绿道起于都江堰市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10km．甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步．已知甲每小时徒步km，乙每小时徒步km，他们各自走到绿道终点，甲所用的时间比乙多半小时，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 7．初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．在运动会到来之际，八年级（3）班计划学生自制30个运动会入场表演道具，现因时间紧迫，将制作道具任务委托给商家，已知商家的制作速度是学生的倍，商家制作完这批道具比学生自制少用5小时，则学生每小时制作道具的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 9．如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（    ） A． B． C． D． 10．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．分母中含有___________，叫做___________． 12．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为_______． 13．已知关于的分式方程有增根，则的值为___________． 14．甲、乙两地之间的高速公路全长200km，比原来国道的长度少了20km，高速公路通车后，某长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多45km，从甲地到乙地的行驶时间是原来的．设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为，则可得方程___________． 15．某商店计划在今年的元旦购进若干件A，B两种纪念品．若花费480元购进的A种纪念品的数量比花费480元购进的B种纪念品的数量少10个，已知每件A种纪念品价格比每件B种纪念品价格多4元．求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元．设购买一件B种纪念品需x元，则可列方程______． 三、解答题 16．解下列方程： (1) (2) 17．已知代数式． (1)先化简，再求当时，代数式的值； (2)原代数式的值能等于1吗？若能求出此时的值；若不能，请说明理由． 18．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 19．有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A D D A D D C A 1．【答案】A 【知识点】列分式方程、分式方程的经济问题 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 2．【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念是解题的关键． 根据分母含有未知数的方程是分式方程，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解：A、是分式方程，故本选项不符合题意； B、不是分式方程，故本选项符合题意； C、是分式方程，故本选项不符合题意； D、是分式方程，故本选项不符合题意； 故选：B 3．【答案】A 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 4．【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程增根问题．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，将分式方程转化为整式方程解得，根据分式方程的增根是去分母后得到的整式方程的根，且使原方程分母为零，得到，即可求出m的值． 【详解】解：， 将方程两边同乘，去分母得：， 解得：， 关于的方程有增根， ， ， ， 解得：， 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程增根问题，增根是使原方程分母为零的根，即 或 ；通过解方程并代入这些值，求出； 【详解】解：∵ 原方程：，且 ， ∴ 公分母为 ； 两边乘 得： ， 即 ， 整理得：； 增根为 或 ，代入方程： 当 时：，解得 ； 当 时：，即 ，解得 ； 故选：D 6．【答案】A 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据“时间=路程÷速度”分别表示出甲、乙走完全程的时间，再根据甲所用时间比乙多半小时的关系列方程，解题需要注意单位统一． 【详解】解：∵总路程为，甲的速度为，乙的速度为， ∴甲走完全程的时间为小时，乙走完全程的时间为小时， ∵甲所用的时间比乙多半小时，半小时为小时， ∴， ∴选A． 7．【答案】D 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键． 根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可． 【详解】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元， 由题意得，． 故选：D． 8．【答案】D 【知识点】分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：学生自制30个运动会入场表演道具所用时间商家制作30个运动会入场表演道具所用时间小时，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设学生每小时制作道具个，则商家每小时制作道具个，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 故选：D． 9．【答案】C 【知识点】分式方程的其它实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 即的电阻值是． 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键． 设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可． 【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的， ∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为， ∵工程全部完成，总工程量为1， ∴可得方程 ， 移项整理得 ，与选项A一致． 故选：A． 11．【答案】 未知数的方程 分式方程 【知识点】分式方程的定义 【分析】本题考查分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程，熟记分式方程的定义直接填空即可得到得到答案． 【详解】解：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程， 故答案为：未知数的方程，分式方程． 12．【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 先把原方程化为整式方程，解方程得到，根据方程的解为正数且分母不为0列式求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， ∵原方程的解是正数，且分母不为0，即， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 13．【答案】或 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解： ， 当，即或时，分式方程有增根， 当时，，解得； 当时，，解得； 故m的值是或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键． 14．【答案】 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据时间关系列出分式方程． 先求出原来国道的长度以及长途汽车在高速公路上的速度，再根据“从甲地到乙地的行驶时间是原来的”这一关系列出方程． 【详解】解：已知高速公路全长，比原来国道的长度少了，所以原来国道的长度为， 设长途汽车在原来国道上行驶的速度为，因为高速公路通车后，长途汽车每小时行驶的路程比在原来国道上多，所以在高速公路上的速度为， 根据时间路程速度，原来在国道上行驶的时间为小时，在高速公路上行驶的时间为小时， 又因为从甲地到乙地在高速公路上的行驶时间是原来在国道上的， 所以可列方程． 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】分式方程的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用设购买一件种纪念品需元，则购买一件种纪念品需元，根据数量总价单价，结合花花费480元购进的A种纪念品的数量比花费480元购进的B种纪念品的数量少10个，即可得出关于的分式方程． 【详解】解：设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需元． 依题意，得 故答案为：． 16．【答案】(1) (2) 【知识点】解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，是解题的关键． （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 17．【答案】(1)， (2) 不能， 理由如下： 当时， 解得， 当时，代数式A没有意义， ∴原代数式A的值不能等于1． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、平方差公式分解因式、分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式的化简，分式无意义的条件，解分式方程，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质化简后，将代入计算即可； （2）令化简后的式子等于1，求出x的值，代入原代数式检验即可． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）略 18．【答案】(1)元；元 (2)燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元 (3)超过3000 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、列代数式、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查代数式表示，分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据最大燃料储备时所用总费用除以其续航里程，以及充满电时所用总费用除以其续航里程，列式表示即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，建立方程求解，进而算出这两款车的每千米行驶费用，即可解题； （3）设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，结合“年费用年行驶费用年其他费用”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 故答案为：元，元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元， ， 解得， 经检验，使得， 是该方程的解， 燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； （3）解：设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过3000千米时，买新能源车的年费用更低． 19．【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【知识点】分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元一次） 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $