2025-2026学年人教版八年级上册数学专项练习 -一元一次不等式组和分式方程的双含参问题

一元一次不等式组与分式方程的双含参问题 按不等式组分类（含不等式组的判断思路） 目录 【题型一】无解类（大于大的,小于小的） 1 【题型二】有解类（大于小的小于大的） 7 【题型三】指定解集类（同大取大，同小取小） 15 【题型四】有且仅有几个整数解类 25 【题型五】有且仅有几个奇偶数解类 32 【题型六】至少有几个整数解类 38 【题型七】有解且至多几个整数解类 44 【题型一】无解类（大于大的,小于小的） ①范围：大于大的,小于小的；不等式组的两个不等号一定相反. ②取等：若不等式组两个均有等号则参数范围上不取等；若两个均为空心或 一实一空则都可取等. 1．如果关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解分式方程、一元一次不等式组，熟练掌握分式方程和不等式组的解法是解题关键．先根据分式方程的解的情况可得且，再解一元一次不等式组可得，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴且， 解得且， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组无解， ∴， 综上，且， 所以符合条件的所有整数的和为， 故答案为：3． 2．从，，，1，3这5个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．不等式组中两不等式整理后，由不等式组无解确定出的范围，进而舍去不合题意的值，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出满足题意的值，求出之和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： 不等式组的解集为， 由不等式组无解，得到，即，，，， 分式方程去分母得：， 解得：， 又则舍去， 又分式方程的解为整数，则舍去， ∴或， 所有满足条件的的值之和是， 故答案为：． 3．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程、解一元一次不等式组．首先根据不等式组无解求得a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数，得出a为整数，为正整数，然后确定出符合条件的所有整数a，即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 分式方程去分母，得， ∴， ∵分式方程的解为正整数， ∴a为整数，且，即， ∵， ∴，， ∴所有满足条件的整数a的值的和为：． 故答案为：． 4．若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于x的方程的解为负数， ∴且， ∴且； 解，得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为2，3，4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是， 故答案为：9． 5．关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】20 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求解二元一次不等式组无解可得，再解分式方程得，且，求得． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， 方程的两边同时乘， 得，， 整理得，， ∵方程有正整数解， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴所有a的和为， 故答案为：20． 6．若关于的不等式组无解，且关于的方程的解为正整数，则符合题意的所有整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，以及解分式方程，由不等式组无解确定取值范围，由方程的解是正整数，并结合取值范围，确定整数的取值，即可解题． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 关于的不等式组无解， ， 解得； 解得， ，解得，即， 方程的解为正整数，， 或， 则符合题意的所有整数的积为． 7．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数、由分式方程解的情况求参数，先解不等式组，再由不等式组解集情况得到；再解分式方程，由分式方程解的情况得到，，且为偶数；从而得到所有满足条件的整数的值，求和即可得到答案． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得； 由②得； 关于的不等式组无解， ，解得； 关于的分式方程， 去分母得， 解得， 关于的分式方程的解为非负整数， ，，且是整数， 解得，，且为偶数； 综上所述，，，且为偶数， 可取，则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 8．如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及明确不等式组解集的取法是解题的关键．分别解分式方程和不等式组，从而得出的范围，从而得整数的取值，进而得所有满足条件的整数的值之和． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵整数a使关于的一元一次不等式组无解， ∴，即：， ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为负整数，且， ∴且且 为奇数， ∴的值可以为，，1， 故所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先根据不等式组的解的情况得出的取值范围，再根据分式方程的解为负整数解进一步得出的值，即可得出答案，熟练掌握它们的解的情况是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 由， ， ∴． ∵关于的分式方程有负整数解， ∴为负整数，且， ∵为整数， ∴或或或，且， ∴或或或， 又∵， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 10．已知使得关于的方程有正整数解，且满足关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了带有参数的不等式组和分式方程的解法，正确理解不等式组无解和分式方程有正整数解是解决问题的关键，还要注意分母不为0的隐含条件．解不等式组可得，由不等式组无解可得，解分式方程得，由分式方程有正整数解可得且为奇数．从而求出符合条件的的值即可求得答案． 【详解】解：， 解不等式①得：． 解不等式②得：． 不等式组无解． ． 解关于的分式方程得：． ，解得， 关于的分式方程有正整数解． ，即且为奇数． 且为奇数． ，1，3，5，7． 符合条件的的值的和为． 故答案为：15 【题型二】有解类（大于小的小于大的） ①范围：同大取大，同小取小，大于小的小于大的则表至为有解。但在这类问题中不等式组解出来的不等号一般是反向的，所以范围可用大于小的小于大的判断； ②取等：与无解情况完全相反。当不等式组两个均为实心时则参数范围取等，反之两空心和一实一空心则不取等. 11．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】4 【分析】主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程，根据分式方程的解为正数解，求出且，根据关于y的不等式组有解，得出，从而可得符合题意的整数的值有，，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解分式方程得：， 分式方程的解为正数解， 且， 解不等式组得， 关于y的不等式组有解， ， 解得：， 符合题意的整数的值有，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 12．若关于x的分式方程的解为正数，且关于y的一元一次不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集求未知数、分式方程的解的情况求未知数，先求得一元一次不等式组的解集为，进而得，即，再求得分式方程的解为，根据分式方程解的情况得，且，求得且，进而可得符合条件的所有整数a分别为、0、2，最后求和即可． 【详解】解：， 解得， ∴的解集为， ∵有解， ∴， ， ， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， ∴，且， ∴且， 综上所述，且， ∴符合条件的所有整数a分别为、0、2， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：1． 13．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，先解不等式组，根据其有解得出；解分式方程求出，由解为正数解得出的范围，从而得出答案． 【详解】解：解关于的不等式组得， ， 不等式组有解， ， ， 关于的分式方程得， ， ， ， 有正数解，则 ， ， ，，，，，， 会产生增根， ， 故满足条件的整数的和为：， 故答案为：． 14．若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ， ， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为：， ∴满足条件的整数a的值的和为：， 故答案为： 15．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】17 【分析】本题考查了有不等组解的情况求参数取值范围，解分式方程等，由不等式组解的情况得，解分式方程得，由去除不符合条件的值，求出的取值范围，即可求解；会由不等组解的情况求参数取值范围，并对含参数分式方程进行验根时是解题的关键． 【详解】解：不等式组可化为 ， 不等式组有解， ， 解得：， 解分式方程得：， 分式方程的解为非负数， ， 解得：， ， ， ， 是整数， 取、、、、、、、、、， ． 故答案为：． 16．若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，利用给出的不等式组，可得的范围，进而得出的范围，再利用分式方程的解的特征，得到的取值范围，再求出符合条件的所有整数，然后相加即可得出答案，解题的关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 【详解】解：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组有解， ∴，解得， 由，解得：， ∵关于的分式方程有非负数解， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围为且， ∴所有整数为，，，， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 17．关于x的一元一次不等式组有解，关于y的分式方程有负整数解，则满足条件的所有整数a的个数是 ． 【答案】1 【分析】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法是解题的关键；由关于x的一元一次不等式组有解，求得，由关于y的分式方程有负整数解，可得，，再结合a的取值范围求解即可； 【详解】解：解不等式组得，解分式方程得， ∵不等式组有解， ∴， ∴， ∵分式方程有负整数解， ∴是负整数， ∴， ∴，， ∵， ， ∴满足条件的所有整数a的个数是1个， 故答案为：1； 18．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程解的情况求参数，先解不等式组得到，再解分式方程得到，由分式方程的解是非负整数得到且为整数，且，据此求出符合题意的a的所有值，再求和即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ∴； 去分母得：， 移项，合并同类项得， 解得， ∵分式方程的解为非负整数， ∴，且为整数，且 ∴且为整数，且， ∴或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 19．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握相关方程的解法是解题的关键． 先求出不等式组的解集，根据有解，确定出的范围，再由分式方程解为非负数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 由， ， ∵关于的分式方程非负整数解， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴且， ∴满足条件的值为：，，， ∴整数的值之和为， 故答案为：． 20．若关于x的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，根据分式方程的非负整数解、增根的定义以及一元一次不等式组解集、整数解的个数确定的取值范围，进而得到的取值，求出所以整数的和即可，理解分式方程解的定义，增根的意义，一元一次不等式组整数解是正确解答的关键． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 关于的分式方程的解为非负整数， ，且为整数， 即且为奇数， 又分式方程的增根是， 当时，即，解得， ， 不等式的解集为， 不等式的解集为， 又关于的不等式组有解， ， 即， 综上所述，且为奇数，且， 或或或或， 所以符合条件整数的和为． 故答案为：． 21．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式和分式方程的知识，解题的关键是先求解出一元一次不等式的解集，求出，然后求出分式方程的解，根据关于分式方程有非负整数解，则且，确定的取值，即可． 【详解】解：令， 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∵一元一次不等式组有解， ∴， 解得：， ， 去分母得：， ， ， ∵关于分式方程有非负整数解， ∴且， ∴且， ∴且， ∵为非负整数，为整数， ∴可以取，，， ∴符合条件的所有整数的值的和为：． 故答案为：． 22．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】7 【分析】本题考查分式方程的解、一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．由关于的一元一次不等式组有解可得，再由分式方程求解可得为非负整数，考虑时是增根，则可求整数的值为，，1，3，7，其和为7． 【详解】解：不等式组的解为， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 方程的两边同时乘以，得 ， 解得：， 解为非负整数， 、、、、、， ， ， 整数的值为，，1，3，7，其和为7． 故答案为：7． 【题型三】指定解集类（同大取大，同小取小） ①范围：不等式组的两个不等号一定同向，则可用同大取大，同小取小来判断参数范围； ②取等：若不等式组两个均为空心或均为实心时，则含参范围要取等；若不等式组两个为一实一空心时，当指定解集为空心的那一个，则要取等；当指定解集为实心那一个，参数范围不取等. 23．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】20 【分析】本题考查根据不等式组的解集，分式方程的解求参数，先求出不等式组的解集和分式方程的解，根据解集和解的情况，求出的值，再求和即可． 【详解】解：解，得， ∵不等式组得解集为， ∴， ∴， 解，得， ∵分式方程的解为正数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴符合条件的整数的和为； 故答案为：20． 24．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，通过解一元一次不等式组得到，解分式方程得到，根据解为负整数且，找出满足条件的整数并求和即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， ∴； 去分母得，解得， ∵关于的分式方程的解为负整数， ∴是负整数，且 ∴是小于0的偶数，且， ∴a是小于0的奇数，且， 又∵， ∴a的值可以为， ∴所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 25．若关于的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为整数．则所有符合条件的的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，根据分式方程有解，且解为整数可得所有符合条件的的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴， ， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵这个分式方程有解， ∴，即， ∴， 又∵这个分式方程的解为整数， ∴所有符合条件的的值为， ∴所有符合条件的的值之和为， 故答案为：． 26．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解分式方程，由一元一次不等式组的解集为 ，可求出 ；解分式方程得 ，根据分式方程的解为负整数且 ，即可得出整数 的值，再求它们的和． 【详解】解不等式组： 第一个不等式 ，两边乘 2 得 ，即 ，解得 ， 第二个不等式 ，解得 ， ∵ 不等式组的解集为 ， ∴ ， 解得 ； 解分式方程 ： 两边乘 （）得 ，即 ，整理得 ，故 ， ∵ 分式方程的解为负整数且 ， ∴ 且 为负整数，且 ， 结合 且 为整数，得 或 ， 所有满足条件的整数 的值之和为 ， 故答案为： ． 27．若数a使关于x的一元一次不等式组的解集为，且使关于y的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 分式方程去分母得：，即， 由y为负整数，得到， 当时，，原分式方程无解， ∴或 之和为， 故答案为：． 28．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数． 先解分式方程得到，根据分式方程的解为正数结合分式方程不能有增根求出且；再解不等式组，根据不等式组的解集为得到，由此确定满足题意的所有满足条件的整数a，再求出对应的和即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， ∵分式方程的解为正数，且， ∴， ∴且； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 综上所述，且， ∴所有满足题意的整数a的值为3，4，6，7， ∴所有满足条件的整数a的和为， 故答案为：． 29．关于 的不等式组 的解集为，且关于 的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解分式方程，先根据不等式组的解集确定m的范围，再解分式方程可得m的另一个范围，进而得出m的取值范围，确定整数解，即可得出答案．解题的关键是熟练掌握求不等式组解集和解分式方程的方法和步骤． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：； ∵不等式组的解集为：， ∴， 解得． ， 解得，且， ∴，， 解得，且， ∴，且， ∴m的值为，0，2，3， 则． 故答案为：4． 30．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，根据一元一次不等式组和分式方程解的情况求参数，解题的关键在于找出所有符合条件的数．先解一元一次不等式组得到的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解找出符合条件的值，最后求和，即可解题． 【详解】解： ， ， 又关于x的一元一次不等式组的解集为， ， 解得； ， 关于y的分式方程的解为非负整数，且，即， 符合条件的所有整数a为，， 符合条件的所有整数a的和为； 故答案为：． 31．已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 32．若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集求参数的取值范围，根据分式方程解的情况求参数．先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程解的情况求出的取值范围，即可求出整数的值，进而求解． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：； 关于的分式方程， 去分母，得， 整理，得， 即，且，， 即， 故， 当时，， ∴， ∵分式方程的解为整数解， 即是整数， 故是整数，且， 当时，此时（舍去）， 当时，此时，则，， 当时，此时（舍去）， 当时，此时，则，， 综上，的值为、， 故满足条件整数的和为． 故答案为：． 33．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解．熟练掌握了一元一次不等式组的解法以及分式方程的解法是解题的关键． 首先分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据已知解集确定的取值范围，再求解凡是方程，根据方程的解为正数确定的另一取值范围，最后找出满足两个条件的所有整数a并求和． 【详解】解： 两边同时乘以6得： 解得：， ， 解得：， 因为一元一次不等式组的解集为， 所以，解得：； 通分得到： 解得：， 因为分式方程的解为整数，所以且， 解得：且， 所以满足条件的整数为：，，2，3，4，5， 它们的和为：， 故答案为：． 34．关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解．先解不等式组得出，再根据不等式组的解集为，得出，解得．再解分式方程得，根据分式方程的解为正整数，确定出符合题意的a值，进而得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 解分式方程， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为0，4，6，8， ∴满足条件的整数a的值之和为：． 故答案为：18． 35．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解，解关于x的不等式组，然后根据不等式组的解集，确定a的取值范围，解分式方程并根据分式方程解的情况，结合a为正整数，取所有符合题意的正整数a，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：, ∵该不等式组的解集为 ∴， 解得，； 分式方程去分母，得：， 解得：， ∵分式方程的解为正整数，且， ∴，且， ∴，且， ∴，且， ∴满足条件的正整数a可以取4，6，10 其和为， 故答案为：20． 36．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解关于的分式方程， 得， 分式方程的解为正整数， 且， 且， ， 或或， 所有满足条件的整数的值有：，，， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【题型四】有且仅有几个整数解类 ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，则含参解的部分一定夹在末端整数和后一位整数之间，即范围一定在两个连续整数之间(有两端范围). ②取等：若含参不等式为实心，则在未端整数上取等；若含参不等式为空心则在末端后一位整数上取等. 37．已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值之积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据分式方程的整数解确定的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是： 不等式组有且仅有2个整数解， ， ； ， ， ， 当时，原分式方程无解， 当时，即时，， ， ， 解得：，即 分式方程有正整数解，即有正整数解， ∴或或或， 解得：或（舍去）或或， ∵， 或， ∴满足条件的整数的值之积为． 故答案为：． 38．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有且仅有2个整数解， ∴， ∴； 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴是整数，且， ∴或或或， ∴或或或或或或， ∴符合题意的a的值有0，1，4， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：5． 39．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解关于x的不等式组，再根据不等式组有且仅有3个整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后解分式方程，根据分式方程有非负整数解，列出关于a的不等式，求出a的取值范围，从而求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ， 不等式组有且仅有3个整数解， ， ， ， ， 有非负整数解， 且， 解得：且， 或， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：， 故答案为：． 40．若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，注意分式方程可能产生增根的情形是解题的关键．解不等式组求得m的取值范围，解分式方程，利用方程的解为非负整数求得m值，再将m值相加即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为：， ∵关于x的不等式组有且仅有三个非负整数解， ∴， ∴， 关于x的分式方程的解为：， ∵分式方程有可能产生增根1， ∴， ∴， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴，且， ∴且， ∴， ∵为非负整数， ∴， ∴满足条件的所有整数m的和为0． 故答案为：0． 41．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，确定m的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负数，可得且，进而得到且，问题随之得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解， 不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1， ∴， 解得：， 解方程，得， 关于的分式方程的解为的解为非负数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数m的值之和是， 故答案为：． 42．若关于的分式方程的解为非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握解分式方程，解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程的解为整数求出a的范围，然后解不等式组，最后根据不等式组有且只有四个整数解，确定a的值，即可解答． 【详解】解：由方程得， ． 因为此分式方程的解为非负整数， 所以且， 解得且． 解不等式组得， ． 因为此不等式组有且仅有3个整数解， 所以， 解得， 所以且， 则符合条件的所有整数的和是：． 故答案为：7． 43．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】4 【分析】本题考查解不等式组和解分式方程，先解不等式组，解得取的整数，再解分式方程，根据分式方程的解，确定的取值范围，最后综合两个的取值范围，即可解题． 【详解】解： 整理得， 不等式组有且仅有4个整数解， ，整理得， 又， ， ， 整理得， 关于的分式方程有非负整数解， 有，解得，即，故， ，整理得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：4． 44．从、、、、2、3这六个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于y的分式方程的解为整数，且使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，那么这六个数中满足所有条件的a的值之积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式组．先求出不等式组的解集，根据解的情况得到关于a的不等式组，确定出符合条件的a的值；再解分式方程，根据解的情况再次筛选符合条件的a的值，最后求积即可． 【详解】解： 解不等式得， 解不等式得， 该不等式组的解集为：， 该不等式组有且仅有四个整数解， ， ， 、、、、2符合题意； ， 去分母，得， 即， 解得且， 该分式方程的解为整数， 、、2符合题意； 综上符合题意的数有、、2， 这六个数中满足所有条件的a的值之积为， 故答案为：4． 45．若数使关于的不等式组，有且仅有5个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，根据不等式组的有且仅有5个整数解确定的范围，根据分式方程的解为整数，确定的值，进而即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且仅有5个整数解， ∴ 解得 解 解得， 且y为整数，又 满足条件的所有的值之和是 故答案为：． 46．若关于x的一元一次不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】20 【分析】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握求一元一次不等式组的解以及解分式方程的步骤，是解题的关键；不等式组整理后，根据已知解集确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出的值，求出之和即可． 【详解】解：原不等式组的解集为：； ∵有且仅有6个整数解； ∴； 即：； ∴整数为：； ∵关于的分式方程； ∴整理得：； ∵有整数解且； ∴满足条件的整数的值为：； ∴所有满足条件的整数的值之和是； 故答案为：． 【题型五】有且仅有几个奇偶数解类 ①范围：先通过明确不等式找出是哪几个奇数/偶数，若是奇数问题则范围一定夹在末端奇数和后一位奇数之间；若是偶数问题则范围一定夹在末端偶数和后一位偶数之间. 即一定在两个连续奇/偶数之间. ②取等：若含参不等式为实心，则在末端奇/偶数上取等；若为空心，则在未端下一位奇数/偶数上取等. 47．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，且使得关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程．熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键． 解一元一次不等上组，以及不等式组有且仅有2个奇数解，可得，可求；即整数的值为0，1，2；解分式方程得，分式方程的增根为，当时，可求，则，进而可得符合条件的值为0，1，然后求和即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，， ， ， 解得，， ∵关于的不等式组有且仅有2个奇数解， ∴， 解得，； ∴整数的值为0，1，2； ， ， 解得，， ∵分式方程的增根为， ∴当时，，即， ∴， 综上所述，符合条件的值为0，1，和为， 故答案为：1． 48．若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出值，最后求出同时满足已知条件的的值，求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ， 关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解， 这两个奇数解为1和3， ， ， ， ， 方程两边同时乘得：， ， 关于的分式方程的解是整数， 或或或或或，且，即， 又， 或2或4或或或， 满足条件的所有整数的值之和为：， 故答案为：． 49．若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，从而可得为整数，且，即，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有且仅有1个奇数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴为整数，且，即， ∴所有满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：10． 50．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解分式方程得到，利用分式方程的解为非负整数和得到，，从而得到结果． 【详解】解：解不等式 得 解得 一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， 解得， 解 解得， 关于的分式方程的解为非负整数， 为非负整数，且 则 又 解得，， 整数的值之和为：． 故答案为：． 51．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有个偶数解，求出的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解为非负数，求出的值，最后求出同时满足已知条件的的值，求出它们的和即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， 关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为， ， ， 的整数值为6，7，8，9，10，11 解方程， 方程两边同时乘得：， ， ， ∵关于y的分式方程的解为非负数， ，即且即， 且， 综上，m的取值为， ∴符合题意的m的值为8，9，10， 则所有满足条件的整数m的值之和是； 故答案为：27. 52．若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，解不等式组和分式方程得出关于的范围及的值，根据不等式组有且仅有三个奇数解和分式方程的解为正整数得出的范围，继而可得整数的值． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组有且仅有三个奇数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程：， 得：， ∵分式方程的解为正整数，且， ∴，且，是偶数， 解得：且，是奇数， ∴且，是奇数， ∴或， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 故答案为：． 53．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 故答案为：． 54．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰有个偶数解，确定出的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数的值，求出这些整数的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键． 【详解】解：不等式组整理得， 解得：， ∵不等式组恰有个偶数解， ∴， 解得：， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴且， 解得：且， ∴且， ∴满足条件的整数的值有，,，，， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：． 55．若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【答案】9 【分析】本题考查解一元一次方程组、解分式方程，理解一元一次不等式组的解和分式方程的解是解答的关键．先求得每个一元一次不等式的解集，再根据不等式组的解集得到a的不等式，进而可求得a的取值范围；再解分式方程，再根据分式方程的解，以及a的取值条件可得到a的取值，进而求和即可解答． 【详解】解：解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∵原不等式组有解且仅有两个奇数解， ∴这两个奇数解为，， ∴， 解得：， 原分式方程去分母得：， 解得：， ∵原分式方程的解为非负整数，∴且为整数，解得且为奇数， ∴，即且a为整数， ∴或3或5， 则， 故答案为：9． 【题型六】至少有几个整数解类 ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，再把含参部分与未端整数进行比较，确定范围(只有一端范围). ②取等：若含参不等式为实心，则要取等；若为空心，则不取等. 56．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 57．若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及其整数解，解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解题关键． 先解分式方程，根据其解的情况得的不等式，再解不等式组，根据解的情况得到关于的不等式，进而求出的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：分式方程， 解得， 该分式方程的解为非负数， ，且， 解得：且， 解不等式组，得， 该不等式组至少有两个正整数解， ， 解得：， 且， 整数为，，， 所有整数的和为． 故答案为：． 58．若关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 59．关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解和一元一次不等式组的整数解．由题意分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组的解中至少包含三个整数”，得到关于a的不等式组，解之，解分式方程，结合“该分式方程的解是不小于的整数”，得到a的值进而即可得到答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵该不等式组的解中至少包含三个整数， ∴该不等式组至少有整数解5，6，7， 则有，解得， 解分式方程得： 且， ∵该分式方程的解是不小于的整数， ∴，则a的值为3的倍数，且， ∴，且， ∵， ∴，且a为3的倍数，， 则整数a的值为或或， 即满足条件的所有整数a的值之和为． 故答案为：． 60．如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，由分式方程解的情况求参数的取值范围，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，根据解的情况可得，再求出分式方程的解，根据分式方程解的情况可得且，进而得到的取值范围，即可求出符合条件的所有整数的值，最后相加即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解分式方程，得， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴且， ∴符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 61．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，由分式方程的解求参数，有理数的加法运算，先求出不等式组的解集，再解分式方程得到，进而根据分式方程的解为非负整数，可得，为整数，即得，即可得，再根据分式方程有意义的条件可得，即得得到符合条件的整数的值，据此即可求解，由不等式组和分式方程求出整数的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵不等式组至少有个整数解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程的解为非负整数， ∴且为整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴或或或或， 又∵， ∴， ∴， 综上，符合条件的整数的值为，，，， ∴符合条件的整数的值之和为， 故答案为：． 62．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组和分式方程．先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和． 【详解】解： 解得，， 解得，， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， 又∵不等式组至少有个整数解， ∴， 解得， 由分式方程两边都乘得，， 整理得，， 当时，方程的解为，且 ， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或， ∴或或或或 ∵， ∴（不合题意，舍去）， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 63．若关于x的一元一次不等式组至少有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，分式方程的解，先求出一元一次不等式组的解，得到，根据一元一次不等式组有个奇数解，得到，又根据分式方程的解是正整数，可得到整数的值，相加即可求解，由分式方程的解确定出的值是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得，， ∵一元一次不等式组至少有个奇数解， ∴， 解得， 由分式方程得，， ∵分式方程的解正整数， ∴，且为小于的偶数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为， 故答案为：． 64．如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、分式方程的解，有一定难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况． 解分式方程可得，求出为1，3，6，由不等式组至少有两个偶数解可求出的范围，则满足条件的整数有两个，再求和即可． 【详解】解：解方程得，， 方程有正整数解，， 整数，3，6， 解不等式组得， 关于的不等式组至少有两个偶数解， ， ， ∴或3， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：4． 【题型七】有解且至多几个整数解类 （1）至多几个整数解： ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，再直接把含参部分与末端整数的后一位整数进行比较，确定范围(只有一端范围)； ②取等：若含参不等式为实心则范围不取等；若含参不等式为空心则范围要取等. （2） 有解且至多几个整数解： ①范围：结合有解类型和至多几个整数解类型，即范围夹在“明确解”和末端整数的后一位整数之间(有两端范围). ②取等：按上述两种类型的取等方法分别判断： 若不等式组均为实心，则明确的不等式值那一端要取等，后一位整数那端不取等； 若不等式组均为空心，则明确的不等式值那一端不取等，后一位整数那端要取等； 若明确不等式为实心、含参不等式为空心，则明确的不等式值那一端不取等，后一位整数那端要取等； 若明确不等式为空心、含参不等式为实心，则两端都不取等； 65．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 【答案】13 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或， ∵， ∴ ∵为整数，且， ∴，， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：13． 66．若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 67．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出，，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或 ∵为整数，且，， ∴ ∴， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 68．已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题关键． 解关于的不等式组，得，根据不等式组有解且至多有个整数解，得，再解关于的分式方程得，根据分式方程的解为整数且分母不为可得符合条件的的值，再求和即可． 【详解】解： 由①解得：， 由②解得：， ． 关于x的不等式组有解且至多有个整数解， ， 当时，解得：， 当时，解得：， ， 关于的分式方程， 化简，得：， 关于的分式方程的解为整数，且， ， 或， 所有满足条件的整数的值之和． 故答案为：． 69．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】解不等式组得，由此可求；解分式方程得：，可求且，即可求解． 【详解】解：不等式组有整数解， 解不等式组得， 有整数解至多有个整数解， ， 解得： 解分式方程得：， ， ， ， 解得：， 解为非负数， ， 解得：且， 且， 是整数， 为或， ， 故答案：． 【点睛】本题考查含参数的一元一次不等式组的整数解问题，含参数的分式方程问题，理解不等式组的解集意义和分式方程的解，掌握解法是解题的关键． 70．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 71．若关于的一元一次不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组和不等式组的解，解分式方程和分式方程的解，熟练掌握含参不等式组和含参分式方程的解法是解题的关键．先解出不等式组，再利用不等式组有解且至多有个整数解，得出关于的不等式；解分式方程，利用分式方程的解为整数得出的范围，注意增根，最后综合得出整数的值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵不等式组有解且至多有个整数解， ∴， 解得：； 分式方程， 解得：， ∵分式方程有整数解， ∴为整数，且， ∴为奇数，且， 综上所述，，且为奇数，且， ∴整数为或或或或，和为， 故答案为：． 72．若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】20 【分析】先计算出不等式组的解集，再根据解的情况判断出；然后计算分式方程的解，再结合其解为非负整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组至多有两个偶数解， ∴， 解得， ， 解得且， ∵该方程解为非负整数， ∴，13， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了含参不等式组和分式方程，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解是解题的关键． 73．若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，再根据解集的情况得出，解得，然后解分式方程得，根据分式方程的解的情况，确定符合条件的值，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组至多有两个偶数解， ∴，解得：， 解分式方程， ， ， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且， ∴的值为或 符合条件的整数的值的和为， 故答案为：． 74．若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题的关键．先解不等式组得，根据关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，得出，求出的范围，再解分式方程得，根据关于y的分式方程的解为整数，得出是6的倍数，且，再结合的范围求出符合条件的所有整数a的值，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 不等式组的解集为， 又关于x的不等式组有解且至多2个奇数解， ， 解得：， ， 去分母得，， 解得：， 关于y的分式方程的解为整数， 是整数且， 是6的倍数，且， 又，a是整数， ， 符合条件的所有整数a的和为． 故答案为：60． 75．若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多4个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 76．若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，关键是根据不等式组的解集的情况求参数的范围．根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组和分式方程，根据不等式组的解集的情况和分式方程的解的情况，求出所有整数的值，求和即可． 【详解】解，得：， 不等式组有解且至多5个偶数解， ，解得：， 解，得：， 分式方程的解为整数， 为整数，且， 整数的值可以为：，，，，，0，3， ， 符合条件的所有整数为，，0，3，它们的和为； 故答案为：． 77．若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多5个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元一次不等式组与分式方程的双含参问题 按不等式组分类（含不等式组的判断思路） 目 录 【题型一】无解类（大于大的,小于小的） 1 【题型二】有解类（大于小的小于大的） 4 【题型三】指定解集类（同大取大，同小取小） 7 【题型四】有且仅有几个整数解类 10 【题型五】有且仅有几个奇偶数解类 12 【题型六】至少有几个整数解类 14 【题型七】有解且至多几个整数解类 16 【题型一】无解类（大于大的,小于小的） ①范围：大于大的,小于小的；不等式组的两个不等号一定相反. ②取等：若不等式组两个均有等号则参数范围上不取等；若两个均为空心或 一实一空则都可取等. 1．如果关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数m的和为 ． 2．从，，，1，3这5个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是 ． 3．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ． 4．若整数使关于的分式方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 5．关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 6．若关于的不等式组无解，且关于的方程的解为正整数，则符合题意的所有整数的积为 ． 7．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 8．如果关于y的分式方程的解为负整数，且关于y的一元一次不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 9．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ． 10．已知使得关于的方程有正整数解，且满足关于的不等式组无解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【题型二】有解类（大于小的小于大的） ①范围：同大取大，同小取小，大于小的小于大的则表至为有解。但在这类问题中不等式组解出来的不等号一般是反向的，所以范围可用大于小的小于大的判断； ②取等：与无解情况完全相反。当不等式组两个均为实心时则参数范围取等，反之两空心和一实一空心则不取等. 11．若数a使得关于x的分式方程有正数解，且使得关于y的不等式组有解，那么符合条件的所有整数a的和为 ． 12．若关于x的分式方程的解为正数，且关于y的一元一次不等式组有解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 13．若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为 ． 14． 若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 15． 若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 16． 若关于的不等式组有解，关于的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 17． 关于x的一元一次不等式组有解，关于y的分式方程有负整数解，则满足条件的所有整数a的个数是 ． 18． 若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 19． 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 20． 若关于x的分式方程的解为非负整数，且关于y的不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 21． 若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值的和为 ． 22．若关于x的一元一次不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【题型三】指定解集类（同大取大，同小取小） ①范围：不等式组的两个不等号一定同向，则可用同大取大，同小取小来判断参数范围； ②取等：若不等式组两个均为空心或均为实心时，则含参范围要取等；若不等式组两个为一实一空心时，当指定解集为空心的那一个，则要取等；当指定解集为实心那一个，参数范围不取等. 23．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 24．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 25．若关于的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为整数．则所有符合条件的的值之和为 ． 26．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 27．若数a使关于x的一元一次不等式组的解集为，且使关于y的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 ． 28．关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为 ． 29．关于 的不等式组 的解集为，且关于 的分式方程 的解为正数，则所有满足条件的整数m的值之和为 ． 30．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 31．已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 32．若关于的不等式组的解集为，关于的分式方程有整数解，则满足条件整数的和为 ． 33．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 34．关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 35．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 36．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【题型四】有且仅有几个整数解类 ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，则含参解的部分一定夹在末端整数和后一位整数之间，即范围一定在两个连续整数之间(有两端范围). ②取等：若含参不等式为实心，则在未端整数上取等；若含参不等式为空心则在末端后一位整数上取等. 37．已知关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，且使关于的分式方程有正整数解，则满足条件的整数的值之积为 ． 38．若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ． 39．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 40．若关于y的不等式组有且仅有三个非负整数解，且关于x的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数m的和为 ． 41．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 42．若关于的分式方程的解为非负整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 43．若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 44．从、、、、2、3这六个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于y的分式方程的解为整数，且使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，那么这六个数中满足所有条件的a的值之积为 ． 45．若数使关于的不等式组，有且仅有5个整数解，且使关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有的值之和是 ． 46．若关于x的一元一次不等式组有且仅有6个整数解，且使关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【题型五】有且仅有几个奇偶数解类 ①范围：先通过明确不等式找出是哪几个奇数/偶数，若是奇数问题则范围一定夹在末端奇数和后一位奇数之间；若是偶数问题则范围一定夹在末端偶数和后一位偶数之间. 即一定在两个连续奇/偶数之间. ②取等：若含参不等式为实心，则在末端奇/偶数上取等；若为空心，则在未端下一位奇数/偶数上取等. 47．若整数使得关于的不等式组，有且仅有2个奇数解，且使得关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 48．若关于的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 49．若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 50．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 51．若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的分式方程解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 52．若实数使关于的不等式组有且仅有三个奇数解，且使关于的分式方程的解为正整数．则所有满足条件的整数的值之和 ． 53．若关于x的分式方程的解为整数，关于y的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数m的值之和是 ． 54．若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 55．若关于x的不等式组有解且仅有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数a的值的和为 ． 【题型六】至少有几个整数解类 ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，再把含参部分与未端整数进行比较，确定范围(只有一端范围). ②取等：若含参不等式为实心，则要取等；若为空心，则不取等. 56．若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 57．若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 58．若关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 59．关于x的不等式组的解中至少包含三个整数，且关于y的分式方程的解是不小于的整数，则满足条件的所有整数a的值的和是 ． 60．如果关于的不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数的和是 ． 61．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的整数的值之和为 ． 62．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 63．若关于x的一元一次不等式组至少有两个奇数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 64．如果关于的方程有正整数解，且关于y的不等式组至少有两个偶数解，则满足条件的所有整数的和是 ． 【题型七】有解且至多几个整数解类 （1）至多几个整数解： ①范围：先通过明确的不等式找出是哪几个整数解，再直接把含参部分与末端整数的后一位整数进行比较，确定范围(只有一端范围)； ②取等：若含参不等式为实心则范围不取等；若含参不等式为空心则范围要取等. （2） 有解且至多几个整数解： ①范围：结合有解类型和至多几个整数解类型，即范围夹在“明确解”和末端整数的后一位整数之间(有两端范围). ②取等：按上述两种类型的取等方法分别判断： 若不等式组均为实心，则明确的不等式值那一端要取等，后一位整数那端不取等； 若不等式组均为空心，则明确的不等式值那一端不取等，后一位整数那端要取等； 若明确不等式为实心、含参不等式为空心，则明确的不等式值那一端不取等，后一位整数那端要取等； 若明确不等式为空心、含参不等式为实心，则两端都不取等； 65．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 66．若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 67．关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 68．已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 69．若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ． 70．已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ． 71．若关于的一元一次不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 72．若关于的不等式组有解且至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 73．若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 74．若关于x的不等式组有解且至多2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 75． 若关于的不等式组有解且至多4个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 76．若关于x的一元一次不等式组 有解且至多5个偶数解，且关于y的分式方程 的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为 ． 77．若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $