精品解析：2022年江西省南昌市中考数学模拟冲刺试题

2022年江西省南昌市中考模拟冲刺试题 数学 （本试题共24题，满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A（2，m）与点A′（n，﹣3）关于坐标原点对称，则实数m、n的值是（　　） A. m＝﹣3，n＝2 B. m＝3，n＝2 C. m＝﹣3，n＝﹣2 D. m＝3，n＝﹣2 4. 如图将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，两直角边与⊙O交于点B和点C，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为（ ） A. 4cm B. 3.5cm C. 2.85cm D. 3.4cm 5. 点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________． 8. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 9. 如图，的弦，圆心O到的距离为3，则的半径为 _____． 10. 如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AC，AB的中点，动点P在射线EF上，∠CBP的平分线交CF于点Q，当CQ＝3QF时，BP﹣FP＝_____． 11. 如图，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形的对角线交点O旋转，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形的边、的交点．若，，，则的长为_____． 12. 如图，已知点，，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为______． 三．解答题（共6小题，满分30分） 13. 解一元二次方程：． 14. 如图，已知ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与EDC重合．若∠A=33°，则旋转角的度数． 15. 如图，在中，是上的点，且，.求证：. 16. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于横坐标为1的点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如图，已知是正比例函数图像在第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，与反比例函数图像交于点，如果，求点的坐标． 17. 如图，请按照下列要求画图： （1）如图，为等边三角形，以边为直径的圆，与另两边，，分别交于点，，你仅用无刻度的直尺在下图中做出的边上的高； （2）如图，已知的顶点，，，坐标分别是，，. ①作出关于轴对称的图形； ②将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出. 18. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 19. 健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． （1）求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ （2）预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 20. 如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC． （1）证明BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积． 21. 如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根杆CD竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过杆的顶端C刚好看到塔顶A，若小明的眼睛E离地面1.5米，杆顶端C离地面2.4米，小明到杆的距离米，杆到塔底的距离米，E、C、H在同一直线上且于H，交CD于点G，求这座古塔的高度. 五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 22. 如图，直线与双曲线（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）． （1）求反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当时，x的取值范围． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 24. 在四边形中，为对角线，，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年江西省南昌市中考模拟冲刺试题 数学 （本试题共24题，满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程逐项判定即可． 【详解】解：A、含有两个未知数不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、含有两个未知数不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、不是整式方程，故此选项不符合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意；． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，故本小题错误； ②对称轴为直线x=-1，故本小题错误； ③顶点坐标为（-1，3），正确； ④∵x＞-1时，y随x的增大而增大， ∴x＞1时，y随x的增大而增大，故本小题错误； 综上所述，结论正确的个数是③共1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性． 3. 已知点A（2，m）与点A′（n，﹣3）关于坐标原点对称，则实数m、n的值是（　　） A. m＝﹣3，n＝2 B. m＝3，n＝2 C. m＝﹣3，n＝﹣2 D. m＝3，n＝﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值． 【详解】解：∵点A（2，m）与点A′（n，﹣3）关于坐标原点对称， ∴n＝﹣2，m＝3， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 4. 如图将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，两直角边与⊙O交于点B和点C，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为（ ） A. 4cm B. 3.5cm C. 2.85cm D. 3.4cm 【答案】D 【解析】 【分析】延长CA交⊙O于D，连接BC、BD，如图，利用圆周角定理得到∠CBD=90°，再证明Rt△ABC∽Rt△ADB，利用相似比计算出AD的长，然后计算出CD的长，从而得到⊙O的半径长． 【详解】解：延长CA交⊙O于D，连接BC、BD，如图， ∵CD为直径， ∴∠CBD=90°， ∵∠CAB=90°， ∴∠ACB+∠ABC=∠DCB+∠D=90°， ∴∠D=∠CBA， ∴Rt△ABC∽Rt△ADB， ∴AB：AD=AC：AB，即3：AD=5：3， ∴AD=cm， ∴CD=5+ = （cm）， ∴⊙O的半径长为3.4cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形相似，圆周角性质：90°的圆周角所对的弦是直径． 5. 点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，F为AB上一点，AF＝2，点E从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度匀速运动，同时点D由点B出发，沿BA方向以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），连接DE交CF于点G，若CG＝2FG，则t的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，则，证明，可求出，再证明，由比例线段可求出的值． 【详解】解：过点作交的延长线于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， 解得，(舍去)， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形中的动点综合题，涉及到三角形相似，熟练掌握用时间表示线段的长度以及三角形相似的应用方法是解决本题的关键. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 7. 若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：从甲、乙、丙3位同学中随机选取1人进行在线辅导功课共有3种等可能结果，其中甲被选中的只有1种可能， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 8. 已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是 _____． 【答案】17 【解析】 【分析】先得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴， 则原式 ． 9. 如图，的弦，圆心O到的距离为3，则的半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．连接，根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵弦，圆心O到的距离， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， 即的半径为 5， 故答案为：5． 10. 如图，在△ABC中，BC＝6，E，F分别是AC，AB的中点，动点P在射线EF上，∠CBP的平分线交CF于点Q，当CQ＝3QF时，BP﹣FP＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】如图延长BQ交EF于M，利用三角形的中位线定理证明EF∥BC，由△FMQ∽△CBQ，推出FM＝2，再证明PB＝PM，即可解决问题． 【详解】延长BQ交EF于M． ∵AF＝FB，AE＝EC， ∴EF∥BC， ∴△FMQ∽△CBQ， ∴FM：BC＝FQ：CQ＝1：3， ∵BC＝6， ∴FM＝2， ∵BM平分∠CBP， ∴∠CBM＝∠PBM， ∵EF∥BC， ∴∠PMB＝∠MBC， ∴∠PMB＝∠PBM， ∴PB＝PM， ∴PB﹣PF＝PM﹣PF＝FM＝2， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质定理，延长BQ交FE于点M，构造相似三角形，是解题的关键. 11. 如图，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形的对角线交点O旋转，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形的边、的交点．若，，，则的长为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点P，连接，，由对称性可得，，则可知垂直平分，所以，由勾股定理得，代换即得，设，，则，可知，结合已知条件列方程即可求解． 【详解】解：延长交于点P，连接，，如图： ∵O为矩形的对角线的交点， ∴由对称性可得，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴x， ∴，即． 12. 如图，已知点，，点在直线上，则使是直角三角形的点的个数为______． 【答案】4 【解析】 【分析】分分别为直角时三种情况分析讨论即可 【详解】解：当是直角时，过点A作垂线与直线的交点； 当是直角时，过点B作垂线与直线的交点； 当是直角时，则点C在以线段AB为直径，AB中点为圆心的圆与直线的交点上， 过点E作垂线与直线的交点为，则， ∵直线与x轴的交点， ∴ ∴点E到直线的距离 ∵ ∴以线段AB为直径，AB中点为圆心的圆与直线有2个交点，因此直线上存在两点C使； 综上所述，则使是直角三角形的点的个数为4个． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的逆定理，应用数形结合的思想分析比较简单． 三．解答题（共6小题，满分30分） 13. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得， 14. 如图，已知ABC，D是AB上一点，E是BC延长线上一点，将ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与EDC重合．若∠A=33°，则旋转角的度数． 【答案】82° 【解析】 【分析】设∠B=x，由旋转的性质可以得到∠CDE=∠B=∠CDB，由三角形的外角性质可知∠BCD=∠CDE+∠E，再由三角形内角和定理可以得到关于x的方程，求出x后即可得到旋转角∠BCD的度数． 【详解】解：设∠B=x， ∵△ABC绕点C顺时针方向旋转，恰好能与△EDC重合， ∴CB=CD，∠CDE=∠B=x，∠A=∠E=33°，∠BCD的度数等于旋转角的度数， ∴∠BCD=∠CDE+∠E=x+33°， 在△BCD中，∵CB=CD， ∴∠CDB=x， ∴x+x+33°+x=180°，解得x=49°， ∴旋转角的度数为49°+33°=82°． 故答案为82°． 【点睛】本题考查三角形旋转的性质、三角形的外角性质和内角和定理的综合应用，利用方程思想灵活运用有关知识求解是解题关键． 15. 如图，在中，是上的点，且，.求证：. 【答案】详见解析. 【解析】 【分析】是公共角，由AB=AC可得，再证即可. 【详解】 证明：，， 又 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确地找出两组角分别相等是解决问题的关键. 16. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于横坐标为1的点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如图，已知是正比例函数图像在第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，与反比例函数图像交于点，如果，求点的坐标． 【答案】（1） （2）D(2，1) 【解析】 【分析】（1）把x=1代入y=2x求出A的坐标，把A的坐标代入求出k即可； （2）过A作AE⊥BC于E，求出CE=2，根据等腰三角形的性质求出CE=BE=2，得出B点的纵坐标为4，代入y=2x求出B点的坐标，即可得出D点的横坐标，进而即可求得纵坐标． 【小问1详解】 把x＝1代入y＝2x得：y＝2， ∴A的坐标为（1，2）， 把A的坐标代入得：k＝1×2＝2， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 过A作AE⊥BC于E， ∵BC⊥x轴， ∴AE∥x轴， ∵A（1，2）， ∴CE＝2， ∵AC＝AB，AE⊥BC， ∴CE＝BE＝2， ∴B点的纵坐标为4， 把y＝4代入y＝2x得：4＝2x，解得x＝2， 即B点的坐标为（2，4）， ∵D点的横坐标为2， 把x＝2代入得，y＝1， ∴D（2，1）． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，能求出各个点的坐标是解此题的关键． 17. 如图，请按照下列要求画图： （1）如图，为等边三角形，以边为直径的圆，与另两边，，分别交于点，，你仅用无刻度的直尺在下图中做出的边上的高； （2）如图，已知的顶点，，，坐标分别是，，. ①作出关于轴对称的图形； ②将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出. 【答案】（1）如图所示，即为所求；见解析；（2）①如图所示，即为所求；见解析；②如图所示，即为所求. 见解析； 【解析】 【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）①分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可;②分别作出A，B、C的对应点A2， 、C2即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）①如图所示，即为所求； ②如图所示，即为所求. 【点睛】本题考查作图-基本作图、旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 18. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到A小区的概率是多少； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率． 【答案】（1）甲组抽到A小区的概率是；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是， 故答案为． （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， ∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为． 【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图. 四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分） 19. 健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020年有会员200人，其中男、女会员人数之比为． （1）求该健身俱乐部2020年男、女会员各有多少名？ （2）预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k人和（）人递增，这样到2022年该俱乐部男、女人数之比将变为． ①求k的值； ②2020年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000元和900元，若每个男会员的年会费每年增加300元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到2020年全体男会员年会费总量的．问2022年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相等？ 【答案】（1）男会员160人，女会员40人 （2）①；②相等 【解析】 【分析】（1）根据男、女会员人数之比为和总人数，列出方程求解即可； （2）①根据男、女会员人数之比为，列出分式方程求解即可；②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y，根据增长率可列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该健身俱乐部2020年有女会员x人，则有男会员4x人． 依据题意，得， 解得，， ， 答：该健身俱乐部2020年有男会员160人，女会员40人． 【小问2详解】 解：①依据题意得：， 解得：， 经检验是所列方程的根， 故； ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ，（不合题意，舍去）， 2022年女会员每人年会费：（元）， 2022年男会员每人年会费：（元）． ∴2022年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等． 20. 如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC． （1）证明BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为5，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD＋∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线； （2）连接OD，分别求出等边△DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BDE=90º， ∴∠EBD+∠E=90º， ∵∠DBC=∠DAB，∠DAB=∠E， ∴∠EBD+∠DBC=90º， 即OB⊥BC， 又∵点B在⊙O 上，且OB为⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线； （2）解：连接OD， ∵∠BOD=2∠A=60º，OB=OD， ∴△BOD是边长为5的等边三角形， ∴S△BOD＝， ∵S扇形DOB＝， ∴S阴影＝S扇形DOB−S△BOD＝． 【点睛】本题考查了圆的性质、切线的判定、扇形面积的计算等知识，解题的关键是掌握切线的判定及扇形面积计算的方法． 21. 如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根杆CD竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过杆的顶端C刚好看到塔顶A，若小明的眼睛E离地面1.5米，杆顶端C离地面2.4米，小明到杆的距离米，杆到塔底的距离米，E、C、H在同一直线上且于H，交CD于点G，求这座古塔的高度. 【答案】古塔的高度是 【解析】 【分析】根据题意即可求出和，再证出，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵小明、杆、古塔均与地面垂直，， ∴四边形均为矩形， ∴ ， ∵小明眼睛离地面，杆顶端离地面， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 即， 解得：， ∴， 答：古塔的高度是． 【点睛】此题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解决此题的关键． 五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分） 22. 如图，直线与双曲线（k为常数，k≠0）交于A，D两点，与x轴、y轴分别交于B，C两点，点A的坐标为（m，2）． （1）求反比例函数的解析式． （2）结合图象直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）当时，x＜-2或0＜x＜1 【解析】 【分析】（1）将点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,即可求出m，从而得出点A的坐标，然后将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论； （2）结合图象即可得出结论． 【详解】解：（1）点A的坐标为（m，2）代入一次函数解析式中,得 2=m＋1 解得：m=1 ∴点A的坐标为（1，2） 将点A的坐标代入反比例函数解析式中，得 解得：k=2 ∴反比例函数的解析式为； （2）联立 解得：或（此时符合点A的坐标，故舍去） ∴点D的坐标为（-2，-1） 由函数图象可知：在点D的右侧和y轴与点A之间，一次函数图象在反比例函数图象下方 ∴当时，x＜-2或0＜x＜1． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式和利用图象和函数值的大小关系，求自变量的取值范围是解题关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，过A点的直线与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知点D的横坐标为4，点P为直线l上方的抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，连接． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②求的最大值，并求出当最大时点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②最大值，此时 【解析】 【分析】（1）A，D两点既在直线上又在抛物线上，先通过直线方程求出A，D两点坐标，再代入抛物线方程即可． （2）①根据为直角三角形进行分类讨论，依据不同情况时具有的几何特征找出等量关系列方程求解． ②利用隐含的角度关系，得出，将所求的目标进行转化，将双变量化为单变量再通过函数求出最值． 【小问1详解】 解：∵A点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， ∵D点在直线l上， ∴令，代入得， ∴， 又∵点A，点D在抛物线上， 则有，解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 由题设， ①∵点A，点C为直线与坐标轴的两交点， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴当为直角三角形时有两种情况，或， 1）当时，， ∵轴，即， ∴为等腰直角三角形， 则有， ∴，解得或（舍）， ∴， 2）当时，点P与点B重合，即此时点P在x轴上 ， ∴令，解得或（舍）， ∴， 综上为直角三角形时，点P坐标为或． ②∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即，此时符合有． 六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分） 24. 在四边形中，为对角线，，． （1）如图1，求证：平分； （2）如图2，点G在上，点F在上，连接、，交于点E，，且，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点K，，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，作于E，延长线于F， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分； （2）证明：如图，连接， ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ； （3）4 【解析】 【分析】（1）如图，作于E，延长线于F，证明，再进一步证明即可； （2）如图，连接，证明，，进一步可得，可得； （3）过点K作于M，于N，证明，可得，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点K作于M，于N． 由（2）知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴3， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $