精品解析：2022年江西省赣州市寻乌县中考命题大赛数学试题（十三）

2022年数学学考模拟试题 说明：1．本卷共有六大题，23小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 故的倒数是． 2. 下列是几个快递运输公司的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念和各图的特点求解即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项法则、同底数幂乘法法则、幂的乘方法则、完全平方公式分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 4. 某班组织了关于“全国两会《政府工作报告》知多少”的问卷调查后，绘制了两幅尚不完整的统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 全班共有名学生 B. 扇形统计图中“基本了解”对应扇形的圆心角是 C. 折线统计图能清楚的反映各部分的人数变化情况 D. 全班学生中 “了解很少”的人数占总人数的 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形统计图及折线统计图的相关信息逐一判断即可. 【详解】解：∵（名）， ∴全班共有名学生，A正确； ∵， ∴扇形统计图中“基本了解”对应扇形的圆心角是，B正确； ∵折线统计图能清楚的反映各部分的人数变化情况，C正确； ∵ ∴全班学生中“了解很少”的人数占总人数的，D错误. 故选：D． 5. 如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子为2.5米，小西沿着的方向行走4.5米至点F，此时影子为1米，则路灯的高度为（ ） A. 3米 B. 3.5米 C. 4.5米 D. 6米 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定△ACD∽△AMB，△NEF∽△NMB，继而根据相似三角形的性质可得，，等量代换即可求解. 【详解】解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB ∴CD∥MB ∴△ACD∽△AMB， ∴ 同理可得： 由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1 ∴ 设BF＝x，则 解得： ∴ ∴BM＝6 故选：D 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法及其对应边成比例的性质. 6. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质及判别式和根的关系是解题的关键． 根据二次项系数a判定开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数有判别式决定，由以上进行判断即可． 【详解】解：由抛物线图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，对称轴为，即，， ，故①正确； 抛物线与x轴有两个交点， ， ，故②错误； ， 点A的坐标为，代入解析式得， ∵，等式两边同时除以得，故③正确； 设，， 二次函数的图象与x轴交于A，B两点， 和是方程的两根， ， ， ，故④正确； 综上所述：正确的有①③④，共3个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 8. 2020年2月2日上午，在湖北省武汉市，为集中收治新型冠状病毒性肺炎患者的武汉火神山医院正式交付，总建筑面积达到了33900平方米．将数33900用科学记数法应表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示方法，，其中，为整数，确定科学记数法中和的值，即可解答． 【详解】解：． 9. 已知m，n是一元二次方程的两根，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的根，先将代入方程得到，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴，即，， ∴． 10. 一圆锥的侧面积为 ，底面直径为6，则该圆锥的母线长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积计算公式，先由底面直径求出底面半径，再代入公式求解母线长即可 【详解】解：由题意可知，圆锥底面直径为，因此底面半径， 设该圆锥的母线长为，将已知条件代入圆锥侧面积公式得， 等式两边约去得， 解得 11. 如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形内角和求出，再根据折叠性质得到，，利用三角形外角性质得，即可得，最后利用等角对等边得． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∵， ∴， ∴． 12. 已知是的内接三角形，且，点D是上除A，B，C之外的任意一点，直线与直线相交于点E，则当为等腰三角形时，的度数可能为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质求出和的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形，结合圆周角定理，等腰三角形性质和三角形外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， . ①如图所示，当，且在劣弧上时， ， ， ， 由三角形外角性质得； ②如图所示，当，且在劣弧上时， ， ， ， 由三角形外角性质得； ③如图所示，当，且在优弧上时， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， 由三角形外角性质得； 综上，的度数为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、求解： （1）； （2）如图，在中，，，过点C作，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再加减即可； （2）先推导出，进而证明，得到，将，代入求出，即可解答。 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解 ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 解得. 14. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 15. 已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作的中点； （2）在图2中作的三等分点． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于点，由正方形性质可得，再结合，连接，由垂直平分线的判定与性质可得，从而得到答案； （2）连接交于点，作直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，作直线交于点，由平行线分线段成比例可知点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： 点即为所求的点； 【小问2详解】 解：如图所示： 点即为所求的点． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，涉及线段的垂直平分线的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16. 中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． （1）张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； （2）试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 【答案】（1）随机；不可能； （2） 根据题意，可画出如下的树状图： 由树状图得，共有种等可能结果，其中两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的结果有种， 【解析】 【分析】（1）根据事件发生的可能性判定事件类型，利用棋子“仕”数量棋子总数，直接计算第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率； （2）通过树状图列出不放回摸棋全部等可能结果，用符合条件的结果数÷所有总结果数，求出两次都摸到“兵”的概率即可． 【小问1详解】 解：∵棋子中存在“兵”， ∴第一次摸到“兵”可能发生、也可能不发生，是随机事件； ∵枚棋子里没有“相”， ∴摸到“相”一定不会发生，是不可能事件； ∵总共有枚棋子，“仕”仅有枚， ∴第一次摸到“仕”的概率：； 【小问2详解】 解：两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率为：． 17. 如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． （1）求出的值； （2）设双曲线与交于点，求出点的坐标及所在直线的解析式． 【答案】（1） （2）点E的坐标为， 【解析】 【分析】（1）由的面积列式求解即可得出点的坐标，将点的坐标代入解析式即可求出，由的横坐标可知轴，由此可得点的坐标，进而求出； （2）过点作轴于点，则，即，设，则点的坐标为，代入反比例函数表达式即可求出，进而求出的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解．． 【小问1详解】 解：∵，点的横坐标为2， ， ∵在中，， ∴点的横坐标为， 连接，则轴，如图所示： ∵的面积为12， ，解得， ， ∵双曲线与分别经过的顶点 ， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图所示： 由（1）得轴， 则，即， 设， 则点的坐标为， ， ∴， ∵点在的图象上， ∴，解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 设所在直线的解析式为，将，代入得 解得： ∴所在直线的解析式为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表： 组别 年龄段 频数(人数) 频率 年龄为岁的志愿者人数扇形统计图 （1）请直接写出____，____； （2）志愿者的年龄的中位数落在________组； （3）若抽取的名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？ （4）一些果农、菜农自发踊跃捐助了一车的水果和蔬菜(共吨)慰问社区志愿者，助力社区疫情防控，其中定向捐助每个志愿者的水果与蔬菜之比是，且这批果蔬恰好分完，则该社区每个志愿者将分别得到多少千克的水果与蔬菜？ 【答案】（1），； （2）； （3）人； （4）千克的水果，千克的蔬菜． 【解析】 【分析】（1）根据总人数，求出组人数，根据百分比的定义求解即可； （2）根据中位数的定义判断即可； （3）求出年龄为岁的有人，可求出总人数； （4）按比例分配，分别求出每个人获得的水果质量． 【小问1详解】 ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 通过观察表格信息可知：志愿者的年龄的中位数落在组， 故答案为：； 【小问3详解】 ∵抽取的名志愿者中，年龄为岁的有(人)， ∴志愿者共有(人)， 答：该社区志愿者共有人． 【小问4详解】 吨＝千克， 每个志愿者得到的水果数量：(千克)， 每个志愿者得到的蔬菜数量：(千克)， 答：该社区每个志愿者将分别得到千克的水果和千克的蔬菜． 【点睛】此题考查了扇形统计图，频数分布表，中位数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔具包的中点，，且始终与地面平行，皮带有一定的弹性，且始终处于紧绷状态，已知． （1）当点A到地面的距离为时，求渔具包与支架的夹角的度数； （2）已知当渔具包与支架的夹角时，渔具包摆放最稳定，且，求此时皮带的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2）此时皮带的长度约为 【解析】 【分析】（1）连接，首先求出，然后解直角三角形求出，进而求解即可； （2）过点C作于点G，交于点H，由三线合一得到，解直角三角形求出，然后证明，得到，然后结合求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵点C为中点， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A到地面的距离为， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点C作于点G，交于点H， ∵，， ∴， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：此时皮带的长度约为． 20. 如图，在中，点C是直径延长线上一点，点D为圆上一点，连接．满足． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交、于点M、N，当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角等于，得出，证明，得出，即可证明结论； （2）根据角平分线的定义，证明，得出，根据勾股定理求出结果即可． 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 是圆的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：平分， ， 又， ， 即， ， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学活动课上，邱老师引导同学们进行如下探究： 如图1，在水平桌面上有一支铅笔和一块含角的直角三角板，将铅笔的一端固定在三角板的直角顶点，图2是示意图． 活动一 将铅笔绕端点顺时针旋转(铅笔起始时与三角板边重合)，与交于点．在中，，，． 数学思考 （1）如图3，过点作于，设，点到点的距离． ①用含的代数式表示：的长是________，的长是________； ②与的函数关系式是____________，自变量的取值范围是________． （2）活动二 ①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格． ②描点：根据表中数据，继续描出①中剩余的两个点． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． （3）数学思考：请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论． 【答案】（1）①，；②， （2）①9，9；②见解析；③见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据含角的直角三角形的性质可求出，利用三角函数分别求出、的长，即可得出； ②结合①中结论，利用勾股定理可得出，根据即可得出的取值范围； （2）①把，，分别代入（1）中关系式，求出值，填表即可； ②根据①中所求数值，描点即可； ③根据所给点，用平滑的曲线画出该函数的图象即可； （3）根据图象，写出两条性质即可． 【小问1详解】 解：①∵，，， ∴； ∵， ∴，，， ∴． ②∵，， ∴ ， ∵， ∴． ∴与的函数关系式是，的取值范围是． 【小问2详解】 解：①∵， ∴时，，当时，， ∴补全表格如下： ②描点如下： ③函数的图象如②中图所示． 【小问3详解】 解：性质1：时，函数有最小值，为， 性质2：当时，随的增大而减小． 22. 如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 【答案】（1）BG＝AE，（2）成立：证明见解析；（3）AF＝． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，证明△BDG≌△ADE即可得出结论； （2）连接AD，证明△BDG≌△ADE即可得出结论； （3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；根据 可知当三点共线时候去最大值，此时旋转角度为270°时，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）BG＝AE， 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC， ∴BD＝DA， 又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA； ∴△BDG≌△ADE； ∴BG＝AE； （2）成立： 证明：连接AD， ∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点， ∴AD＝BD，AD⊥BC， ∴∠ADG+∠GDB＝90°， ∵EFGD为正方形， ∴DE＝DG，且∠GDE＝90°， ∴∠ADG+∠ADE＝90°， ∴∠BDG＝∠ADE， 在△BDG和△ADE中， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴BG＝AE； （3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值； 当三点共线时，取得最大值，此时旋转角度为270°时， BG＝AE最大值为1+2＝3， 此时如图： AF＝． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，线段和最值问题，掌握以上知识是解题的关键． 六、（本大题1个小题，共12分） 23. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 【答案】(1)9；(2)点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)；(3)b＝﹣3或﹣． 【解析】 【分析】(1)求出B、C的坐标，将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解； (2)分CP＝PQ、CP＝CQ、CQ＝PQ，分别求解即可； (3)分两种情况，分别求解即可． 【详解】解：(1)直线y＝x﹣3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝﹣3， 故点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， 将点B、C的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3，则点A坐标为(1，0)，顶点P的坐标为(2，1)， 3m+n＝12﹣3＝9； (2) ①当CP＝CQ时， C点纵坐标为PQ中点的纵坐标相同为﹣3， 故此时Q点坐标为(2，﹣7)； ②当CP＝PQ时， ∵PC=， ∴点Q的坐标为(2，1﹣)或(2，1+)； ③当CQ＝PQ时， 过该中点与CP垂直的直线方程为：y＝﹣x﹣， 当x＝2时，y＝﹣，即点Q的坐标为(2，﹣)； 故：点Q的坐标为(2，1﹣2)或(2，1+2)或(2，﹣)或(2，﹣7)； (3)图象翻折后的点P对应点P′的坐标为(2，﹣1)， ①在如图所示的位置时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时C、P′、B三点共线，b＝﹣3； ②当直线y＝x+b与翻折后的图象只有一个交点时， 此时，直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点； 即：x2﹣4x+3＝x+b，△＝52﹣4(3﹣b)＝0，解得：b＝﹣． 即：b＝﹣3或﹣． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及的知识点有待定系数法求二次函数解析式，一次函数的图像与性质，勾股定理，等腰三角形的定义，二次函数的翻折变换及二次函数与一元二次方程的关系.难点在于(3)，关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度较大.本题也考查了分类讨论及数形结合的数学思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年数学学考模拟试题 说明：1．本卷共有六大题，23小题．全卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是几个快递运输公司的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某班组织了关于“全国两会《政府工作报告》知多少”的问卷调查后，绘制了两幅尚不完整的统计图，由图可知，下列说法错误的是（ ） A. 全班共有名学生 B. 扇形统计图中“基本了解”对应扇形的圆心角是 C. 折线统计图能清楚的反映各部分的人数变化情况 D. 全班学生中 “了解很少”的人数占总人数的 5. 如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子为2.5米，小西沿着的方向行走4.5米至点F，此时影子为1米，则路灯的高度为（ ） A. 3米 B. 3.5米 C. 4.5米 D. 6米 6. 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且，则下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 分解因式：3a2﹣12=___． 8. 2020年2月2日上午，在湖北省武汉市，为集中收治新型冠状病毒性肺炎患者的武汉火神山医院正式交付，总建筑面积达到了33900平方米．将数33900用科学记数法应表示为__________． 9. 已知m，n是一元二次方程的两根，则的值为________． 10. 一圆锥的侧面积为 ，底面直径为6，则该圆锥的母线长为________． 11. 如图，在中，，，将沿折叠，使点与上的点重合，若，则的长为________． 12. 已知是的内接三角形，且，点D是上除A，B，C之外的任意一点，直线与直线相交于点E，则当为等腰三角形时，的度数可能为__________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、求解： （1）； （2）如图，在中，，，过点C作，若，求的长． 14. 解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 15. 已知正方形和中，，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作的中点； （2）在图2中作的三等分点． 16. 中国象棋已有三千多年的历史，因用具简单，趣味性强，在民间广为流传．李凯和张萌利用象棋棋盘和棋子做猜字游戏，游戏开始时，李凯将四枚外表无差别，且正面分别印有“兵”、“兵”、“馬(马)”、“仕”的棋子背面朝上洗匀放在棋盘上，由张萌随机从这四枚棋子中摸出一枚并记下正面的汉字，然后再从剩下的三枚棋子中随机摸出一枚并记下正面的汉字． （1）张萌第一次摸到棋子正面的汉字为“兵”是______事件，张萌摸到棋子正面的汉字为“相”是______事件(填“不可能”、“必然”或“随机”)，张萌第一次摸到棋子正面的汉字是“仕”的概率为________； （2）试用画树状图或列表的方法表示出所有可能的结果，并求出两次摸到棋子正面的汉字都是“兵”的概率． 17. 如图，双曲线与分别经过的顶点，且的面积为12，顶点，点的横坐标为2． （1）求出的值； （2）设双曲线与交于点，求出点的坐标及所在直线的解析式． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 为做好新冠肺炎疫情防控工作，某街道办组织社区志愿者开展新冠肺炎疫情排查与宣传教育服务活动，为了了解志愿者的年龄情况，工作人员随机抽取了其中的名志愿者进行调查，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的统计图表： 组别 年龄段 频数(人数) 频率 年龄为岁的志愿者人数扇形统计图 （1）请直接写出____，____； （2）志愿者的年龄的中位数落在________组； （3）若抽取的名志愿者中年龄为岁的人数占社区志愿者总人数比例如扇形统计图所示，请估计该社区志愿者共有多少人？ （4）一些果农、菜农自发踊跃捐助了一车的水果和蔬菜(共吨)慰问社区志愿者，助力社区疫情防控，其中定向捐助每个志愿者的水果与蔬菜之比是，且这批果蔬恰好分完，则该社区每个志愿者将分别得到多少千克的水果与蔬菜？ 19. 如图1，是一款小型渔具包，其侧面可抽象成图2所示的示意图，点C是渔具包的中点，，且始终与地面平行，皮带有一定的弹性，且始终处于紧绷状态，已知． （1）当点A到地面的距离为时，求渔具包与支架的夹角的度数； （2）已知当渔具包与支架的夹角时，渔具包摆放最稳定，且，求此时皮带的长度（结果精确到）． （参考数据：，，，，，） 20. 如图，在中，点C是直径延长线上一点，点D为圆上一点，连接．满足． （1）求证：为的切线； （2）若平分，且分别交、于点M、N，当时，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 数学活动课上，邱老师引导同学们进行如下探究： 如图1，在水平桌面上有一支铅笔和一块含角的直角三角板，将铅笔的一端固定在三角板的直角顶点，图2是示意图． 活动一 将铅笔绕端点顺时针旋转(铅笔起始时与三角板边重合)，与交于点．在中，，，． 数学思考 （1）如图3，过点作于，设，点到点的距离． ①用含的代数式表示：的长是________，的长是________； ②与的函数关系式是____________，自变量的取值范围是________． （2）活动二 ①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格． ②描点：根据表中数据，继续描出①中剩余的两个点． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． （3）数学思考：请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论． 22. 如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG． （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论； （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 六、（本大题1个小题，共12分） 23. 如图，直线y＝x﹣3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求3m+n的值； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使以C，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． (3)将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M“形状的新图象，若直线y＝x+b与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $