第27章反比例函数 章节复习题集 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心考点，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖概念辨析、图像性质及几何综合应用，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|约5题|点在函数图像上的判断、k值求解|从反比例函数定义出发，建立点坐标与k值的关联| |图像性质|约4题|象限分布、增减性分析、函数值范围|通过k值符号推导图像位置及增减规律，培养推理意识| |几何综合|约6题|与三角形/四边形结合的动态问题、面积计算|整合几何直观与函数性质，构建数与形的转化逻辑|

A 作 于 ， 于 ， 1. 如图，边长为的等边三角形位于平面直角坐标系第一象限中，落在轴正半轴上，是 边上的动点（不与端点、重合），作于点，若、都在双曲线 上，则的值为（ ）． A. B. C. D. ∵ 是等边三角形，边长为 ， ∴ ， ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 设 ， ， 10 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， 将 、 的坐标代入 ，则 ，得 或 （舍去）， 经检验， 故选 ． 时方程组有意义． 【知识点】反比例函数与三角形的相似 2. 点在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）． A. B. C. D. D 将点 代入 ，得 ∴ ∴函数解析式为 选项： 选项： 代入解析式 代入，得 ，故 选项不符合题意． ，故 不符合题意． 选项： 选项：故选 ． 代入，得 代入，得 ，故 不符合题意． ，故 符合题意． 【知识点】点在反比例函数图象上 3. 已知反比例函数 的图象经过点，则此反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限 C ∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选 ． 【知识点】反比例函数系数与图象关系 4. 已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ）． A. B. C. D. D ∵点 ； 、 ； 、 都在反比例函数 的图象上， ∴ ∵ ∴ 故选 ， ， ． 【知识点】反比例函数增减性 5. 已知反比例函数 （为常数），当时，随的增大而减小，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. D 由于 时， 随 增大而减小，则 ， 解得： ． 故选 ． 【知识点】反比例函数增减性 6. 已知在反比例函数上有两个点，，若，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. D 图象如图所示， y x O 由图可知， ． 【知识点】反比例函数增减性 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【思想】数形结合思想 【能力】运算能力 7. 已知反比例函数 ，当时，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. D ∵反比例函数 ， ， ∴在每一象限内 随 的增大而减小， 当 当 ∴ 时， 时， ． ， ， 【知识点】反比例函数增减性 y O x 8. 若点，，在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. D ∴ 根据反比例函数图象上的点的坐标特征可得： ， ， ， ． 【知识点】反比例函数增减性 1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线 同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ． 过点 直线 与 y 作 交于点 轴于点 ，过 作 轴于点 ， ，如图所示， O x ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ，， ∴ ≌， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， 解得 或 （舍去）． 2. 已知反比例函数 ，若，则的取值范围为 ．【知识点】反比例函数与三角形的全等 或 当 由图可知， 时， ， 或 ． 【知识点】反比例函数系数与图象关系 3. 给出下列函数：①；② ；③；④，上述函数中符合条件“当 时，函数值随自变量增大而减小”的是 ． ①② ①中 ∵ ∴ ， ，由一次函数性质可知， 在 时， 随 的增大而减小，符合题意； ②中 ∵ ∴ ③中 ， 且 在 在第一象限， 时， 随 增大而减小，符合题意； ， ∵二次函数 ， ∴在对称轴 轴右侧， 随 增大而增大． ∴ ④中 ∵ ∴ 在 ， 时， 随 增大而增大，不符合题意； 在 ，由一次函数性质可知， 时， 随 增大而增大，不符合题意． 故选①②． 【能力】运算能力 【知识点】反比例函数增减性 【知识点】一次函数的图象特征与性质 【知识点】一次函数的增减性 【知识点】正比例函数图象与性质 4. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上，矩形的面积为．把矩形沿翻折，使点与点重合，点落在第三象限的点处，作 轴于，过点的反比例函数 图象恰好过的中点．则 ，线段的长为： ．; 连接 与 交于点 ，过点 作 轴，垂足为 ，如图所示， ∵矩形 沿 翻折，点 与点 重合， ∴ ， ． ∵四边形 是矩形， ∴ ， ． ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ≌ ． ∴ ． ∴点 是 的中点． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴ ， ∵ 矩形 ， ∴ ． ∴ ． ∵点 是 的中点， ∴点 与点 重合． ∴ ． ∵点 在反比例函数 上， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ∵ ∴ ∴ ． ， ． ． 由轴对称的性质可得： ． ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形 ∴ ， ． ． ． ． ， 是矩形． ． 故答案为： ； ． 【知识点】反比例函数与四边形综合 5. 已知反比例函数 ( 为常数，）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值为 ． （答案不唯一） ∵反比例函数 的图象位于第二、第四象限， ． ∴ 【知识点】反比例函数系数与图象关系 6. 如图，菱形的对角线与轴平行，点、的坐标分别为、，点、在函数的图象上，则的值为 ． ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 过点 作 ， 轴于点 ，且四边形 ， 矩形 ， 为菱形， 矩形 ， ， ． 【知识点】反比例函数与四边形综合 7. 平行四边形中，对角线交于点，双曲线 经过，两点，若平行四边形的面积为，则 ．y x O 则 分别过点 、 作 ， 、 垂直于 轴于 、 ， ∵ 、 在双曲线上， ∴三角形 ∵四边形 ∴ ∵ ∴ 与三角形 的面积相等， 是平行四边形， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴设 ∴ ， ， ， ， ，∵平行四边形的面积 ， ， ，即 ． 故答案为： ． y x O 【知识点】反比例函数与四边形综合 8. 点是双曲线 上一点，点在轴上，，，若，则 ．过点 向 轴引垂线，垂足为 ， 在 在 ∴ 中， 中， ， ．∴ ， ， ，∴ ， ． 【知识点】反比例函数与三角形综合 1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，交轴于点，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点，连接，且． （ 1 ）求该反比例函数 的解析式和直线的解析式． （ 2 ）若将直线向下平移 个单位，与轴的交点为，交反比例函数图象于点，连接， ，求的面积． （ 1 ） （ 2 ） ， ． ． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ，即 ∴ 设直线则 ， ，即：反比例函数解析式为 ， ， ， ∴ ， ∴直线 （ 2 ）连接 解析式： ， ． 如上图， 由题可知， ∴ ， ， ， 又∵ ∴ ∴ ， ， ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 2. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且． （ 1 ）求一次函数、反比例函数的解析式． （ 2 ）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标．如果不存在，说明理由． （ 1 ）一次函数解析式为 ，反比例解析式为 ． （ 2 ）反比例函数图象上存在点 ，使四边形 为菱形，此时 坐标为 ． （ 1 ）∵ ， ， ， ∴ ∴ 将 为 的中点，即 ， ， ， 与 代入 得： ， 解得： ， ， ∴一次函数解析式为 ， 将 代入反比例解析式得： ，即反比例解析式为 ． （ 2 ）存在点 ，使四边形 理由如下： 为菱形． ∵点 ∴ ∴由 为线段 的中点， ， 和 是菱形的两条边， 可得 如图，过点 作 ， ， 轴，交 于点 ，交反比例函数图象于点 ，分别连接 、 ∴ ∴ ∴ ，且 ， ， ， 与 互相垂直平分，即四边形 为菱形， ∴存在满足条件的点 ，其坐标为 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 3. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限内，，，的面积为，反比例函数 的图象经过点． （ 1 ）求的值． （ 2 ）已知点坐标为，过点作直线的垂线，点，关于直线的对称点分别为， ，若线段与反比例函数 的图象有公共点，直接写出的取值范围． （ 1 ） ． （ 2 ） 或 ． （ 1 ）∵ ， ， ∴设点 的坐标为 ，则 ， ∵ 的面积为 ， ∴ ， 解得： （负值舍去）， ∴点 的坐标为 ， 代入反比例函数 中，得 ． （ 2 ）∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ 轴， ∴ 、 、 三点共线，且点 在直线 上， ∴ 、 ． 当 在反比例函数图象上时，有 ，解得： ， ． 当 在反比例函数图象上时，有 ，解得： ， ， 若线段 与反比例函数 的图象有公共点， 的取值范围是： 或 ． 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 【知识点】反比例函数与方程、不等式 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【知识点】坐标系中的对称-点关于特殊直线对称 【能力】运算能力 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数 的图象交于点 ． y x O （ 1 ）求，的值． （ 2 ）将直线沿轴向上平移个单位后，与轴交于点，与函数 的图象交于点．当时，求线段的长．1 若，结合函数图象，直接写出的取值范围．2 （ 1 ） （ 2 ）1 2 ； ． ． ． （ 1 ）将点 ， ∴ ， 故答案为： ； （ 2 ）1 ∵直线 ∴当 时， 的坐标分别代入 ， ， ． 与 轴交于点 . 和 中，得 ， 此时直线解析式为 ， ．代入函数 中整理得， 2 解得 ∴ ∴ 故答案为： 分别过 、 （舍去）， ． ． 作 轴和 轴平行线交与点 ， y x O 由题意知：若 时， ， ， ，则 ， ， ∴ 若 ，代入 ，则 时， ，代入 ，得： ， ， ， ∴ 由图知： 故答案为： ，得： ，则 ， ， ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 $ 1. 如图，边长为的等边三角形位于平面直角坐标系第一象限中，落在轴正半轴上，是 边上的动点（不与端点、重合），作于点，若、都在双曲线 上，则的值为（ ）． A. B. C. D. 2. 点在反比例函数 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知反比例函数 的图象经过点，则此反比例函数的图象位于（ ）． A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第一、三象限 4. 已知点 ， ， 都在反比例函数 的图象上，则（ ）． A. B. C. D. 5. 已知反比例函数 （为常数），当时，随的增大而减小，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知在反比例函数上有两个点，，若，则下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知反比例函数 ，当时，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 8. 若点，，在反比例函数 的图象上，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 1. 如图，在平面直角坐标系中，经过点的双曲线 同时经过点，且点在点的左侧，点的横坐标为，，则的值为 ．y O x 2. 已知反比例函数 ，若，则的取值范围为 ． 3. 给出下列函数：①；② ；③；④，上述函数中符合条件“当 时，函数值随自变量增大而减小”的是 ． 4. 如图，在直角坐标系中，矩形的顶点在轴的负半轴上，点在轴正半轴上，矩形的面积为．把矩形沿翻折，使点与点重合，点落在第三象限的点处，作 轴于，过点的反比例函数 图象恰好过的中点．则 ，线段的长为： ． 5. 已知反比例函数 ( 为常数，）的图象位于第二、第四象限，写出一个符合条件的的值为 ． 6. 如图，菱形的对角线与轴平行，点、的坐标分别为、，点、在函数的图象上，则的值为 ． 7. 平行四边形中，对角线交于点，双曲线 经过，两点，若平行四边形的面积为，则 ．y x O 8. 点是双曲线 上一点，点在轴上，，，若，则 ． 1. 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线 与轴交于点 ，交 轴于点 ，与反比例函数 在第一象限内的图象交于点 ，连接 ，且 ． （ 1 ）求该反比例函数 的解析式和直线的解析式． （ 2 ）若将直线向下平移 个单位，与轴的交点为，交反比例函数图象于点，连接， ，求的面积． 2. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，且． （ 1 ）求一次函数、反比例函数的解析式． （ 2 ）反比例函数图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在，求出点的坐标．如果不存在，说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在第一象限内，，，的面积为，反比例函数 的图象经过点． （ 1 ）求的值． （ 2 ）已知点坐标为，过点作直线的垂线，点，关于直线的对称点分别为， ，若线段与反比例函数 的图象有公共点，直接写出的取值范围． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与函数 的图象交于点 ．y x O （ 1 ）求，的值． （ 2 ）将直线沿轴向上平移个单位后，与轴交于点，与函数 的图象交于点．当时，求线段的长．1 若，结合函数图象，直接写出的取值范围．2 $ 1. 已知反比例函数 在其各个分支上 随的增大而减小，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知函数 的图象如图所示，当 时，的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，反比例函数 的图象经过点，当 时，的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 或 4. 如图，点在函数 的图象上，过点分别作轴，轴的平行线分别交函数 的图象于点和，连接，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. 5. 1 学科网（北京）股份有限公司 如图，直线分别交轴、轴于点、，交曲线 于点，若，且 ，则的值为（ ）． B. C. D. A. 6. 已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则常数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，点，在反比例函数 的图象上，点，在反比例函数 的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为，， 与的面积之和为 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. y x O 8. 如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 ，交于点，若，， ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 1. 若一个反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也经过点（ ）． 2. 如图，曲线是由反比例函数 在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点 ， 的直线与曲线相交于点 ，，若的面积为，则 的值为 ． 3. 已知反比例函数 的图象经过点，若 ，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 4. 写出一个图象经过点，且在第一象限内函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式： ． 5. 如图，直线轴于点，且与反比例函数 （）及 （）的图象分别交于点，，连接，，已知的面积为，则 ．y A B x O P 6. 如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以 为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线 上运动，则的值为 ．y x O 7. 如图，点是反比例函数图象上的点，分别过点向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为 ．y x O 8. 如图，直线与反比例函数 的图象交于、，与轴、轴相交于、两点，过点、作轴、轴的平行线交于点，若，，则 ． 1. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点和点 ． （ 1 ）求这两个函数的表达式． （ 2 ）已知直线交轴于点，点在轴的负半轴上，若为等腰三角形，求的值． 2. 如图，边长为的正方形的顶点，在轴正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过点，交于． （ 1 ）当点的坐标为时，求和的值． （ 2 ）若点是的中点，求的长． 3. 把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换． 例如：如图，将的图象经过倒数变换后可得到 的图象．特别地，因为图象上纵坐标为的点是原点，所以该点不作变换，因此 的图象上也没有纵坐标为的点． （ 1 ）请在下面的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象． （ 2 ）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识， 猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．说理：请简要解释你其中一个猜想．1 2 （ 3 ）请画出函数 （为常数）的大致图象． 4. 如图，在中，，轴，垂足为，边所在直线分别交轴、轴于点、 ，且，反比例函数 的图象经过、两点，已知点． y x O （ 1 ）求所在直线对应的函数表达式． （ 2 ）求点的坐标． $ 1. 已知反比例函数 在其各个分支上 随的增大而减小，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. A 由题意可知 ． ， ∴ 【能力】运算能力 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【知识点】反比例函数增减性 2. 已知函数 的图象如图所示，当 时，的取值范围是（ ）. A. B. C. 或 D. 或 C 由图象可知 或 . 【知识点】反比例函数与方程、不等式 3. 如图，反比例函数 的图象经过点 ，当 时，的取值范围是（ ）． 10 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 或 D 在第一象限纵坐标小于 的函数图象所对的自变量取值为 ， 在第三象限纵坐标小于 的函数图象所对的自变量取值为 ， 所以 选项是正确的． 【知识点】反比例函数与方程、不等式 4. 如图，点在函数 的图象上，过点分别作轴，轴的平行线分别交函数 的图象于点和，连接，，则的面积为（ ）． A. B. C. D. C 设 ， ∴ ， ， ∴ ∴ ∴ ， ， ， ． 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 5. 如图，直线分别交轴、轴于点、，交曲线 于点，若，且 ，则的值为（ ）． B. C. D. A. A 连接 ，作 轴于点 ，则 ， ∴ ， ∵ ，且 ， ∴ ， 解得 ∵ ∴ ， ， ， ， ∴ 故选 ， ． 【知识点】反比例函数与三角形的相似 6. 已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则常数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. B ∵反比例函数 的图象的一支位于第一象限， ∴ ∴ ． 故选 ． 【知识点】反比例函数系数与图象关系 7. 如图，点，在反比例函数 的图象上，点，在反比例函数 的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为，， 与的面积之和为 ，则 的值为（ ）． A. B. C. D. y x O B ∵点 ， 在反比例函数 的图象上，点 ， 的横坐标分别为 ， ， ∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∵ ∴点 ∵点 ∴点 轴， ， 的横坐标分别为 ， ， ， 在反比例函数 的坐标为 ，点 的坐标为 的图象上， ， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：故选 ． ， ， 与 ， 的面积之和为 ， ， ， ． 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 8. 如图，矩形的顶点，在轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 ，交于点，若，， ，则的值为（ ）． A. B. C. D. A ∵ ， ∴设 则 ∵ ∴ ∵ ∴点 ， ， ，点 坐标为 ， ， ， ， ， ∵反比例函数 的图象经过点 ， ， ∴ ， 解得： 或 （舍），则 ． 【知识点】反比例函数与四边形综合 1. 若一个反比例函数的图象经过点 ，则该反比例函数图象也经过点（ ）． 设反比例函数解析式为 ， 将 当 ∴ 代入，得 时， ． ， ， 【知识点】点在反比例函数图象上 2. 如图，曲线是由反比例函数 在第一象限内的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的，过点 ， 的直线与曲线相交于点 ，，若的面积为，则 的值为 ． ∵ ， ， ∴ 将则 绕点 ， 顺时针旋转 ， 点旋转到 ， 点旋转到 ， ， ，则： 且与 ， 交于 ， 两点， 设 ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 3. 已知反比例函数 的图象经过点，若 ，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. C ∵ 经过点 ， ∴ ∴当故选 ，解得： ， 时， 的取值范围为 ． ． 【能力】运算能力 【方法】图象法 【知识点】反比例函数增减性 【思想】函数思想 4. 写出一个图象经过点，且在第一象限内函数值随着自变量的值增大而减小的函数表达式： ． （答案不唯一） 若为反比例，则 若为一次函数 ， ， 过 ，则 ，又 即可． 【能力】抽象概括能力 【知识点】反比例函数增减性 【知识点】一次函数的图象特征与性质 【知识点】一次函数的增减性 【思想】函数思想 5. 如图，直线轴于点，且与反比例函数 （）及 （）的图象分别交于点，，连接，，已知的面积为，则 ．y A B x O P ∵反比例函数 （ ）及 （ ）的图象均在第一象限内， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ， 轴， ． ， ． ， ． 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 6. 如图，点是双曲线在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点，以 为底作等腰，且，点在第一象限，随着点的运动，点的位置也不断变化，但点始终在双曲线 上运动，则的值为 ． y x O 作 轴于 ， 轴于 ，连接 ，如图， ∵ 过原点， ∴点 与 关于原点对称， ∴ ， ∵ 为等腰三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， 即 ， 而 ， ∴ ． 【知识点】反比例函数与三角形的相似 7. 如图，点是反比例函数图象上的点，分别过点向横轴、纵轴作垂线段，与坐标轴恰好围成一个正方形，再以正方形的一组对边为直径作两个半圆，其余部分涂上阴影，则阴影部分的面积为 ． y x O 点坐标为 正方形面积为： ． ， 半圆半径为： ， ∴ 则 圆 ． 阴 ． 【思想】函数思想 【思想】数形结合思想 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 【知识点】反比例函数系数与图象关系 【知识点】与圆有关的不规则图形的周长与面积计算 【方法】等面积法 【能力】运算能力 8. 如图，直线与反比例函数 的图象交于、，与轴、轴相交于、两点，过点、作轴、轴的平行线交于点，若，，则 ． ∵ 四边形 ， ， 四边形 ， ∴ 连 ， 则 四边形 四边形 ， 又∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【知识点】反比例函数的系数k的几何意义 1. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点和点 ． （ 1 ）求这两个函数的表达式． （ 2 ）已知直线交轴于点，点在轴的负半轴上，若为等腰三角形，求的值． （ 1 ） （ 2 ） ； ． 或 ． （ 1 ）∵ 在 上， ∴ ∴ ∴将 ， ， ， 、 代入 ， ， ， ∴ （ 2 ）由 ． 知，直线 ， ， ， 解析式为 ， ， ， ， ①当 是等腰三角形， 时， ， （舍）或 时， （舍）或时， （舍）， ， ②当 ， ， ③当 ， 即：满足条件的 为 或 ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 2. 如图，边长为的正方形的顶点，在轴正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过点，交于． （ 1 ）当点的坐标为时，求和的值． （ 2 ）若点是的中点，求的长． （ 1 ） （ 2 ） ， ． ． （ 1 ）由 ， ∴ 即 ∴ （ 2 ）令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， ，故 ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． 【知识点】反比例函数与四边形综合 3. 把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换． 例如：如图，将的图象经过倒数变换后可得到 的图象．特别地，因为图象上纵坐标为的点是原点，所以该点不作变换，因此 的图象上也没有纵坐标为的点． （ 1 ）请在下面的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象． （ 2 ）观察上述图象，结合学过的关于函数图象与性质的知识， 猜想：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间可能有怎样的联系？写出两个即可．说理：请简要解释你其中一个猜想．1 2 （ 3 ）请画出函数 （为常数）的大致图象． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ）1 猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间，如果存在交点，则其纵坐标为 或 ． 猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图形． 2 猜想一：因为只有 和 的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 或 ，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的点的纵坐标为或 ，即两个函数图象的交点． （ 3 ）画图见解析． （ 1 ）如图所示，即为所求． （ 2 ）1 猜想一：倒数变换得到的图象和原函数的图象之间，如果存在交点，则其纵坐标为 或 ． 猜想二：倒数变换得到的图象和原函数的图象的对称性相同，比如原函数是轴对称图形，则倒数变换的图象也是轴对称图形． 2 猜想一：因为只有 和 的倒数是其本身，所以如果原函数存在一个点的纵坐标为 或 ，那么倒数变换得到的图象上必然也存在这样对应的点的纵坐标为 或 ，即两个 函数图象的交点． （ 3 ） 【能力】运算能力 【知识点】函数的图象 【知识点】反比例函数系数与图象关系 4. 如图，在中，，轴，垂足为，边所在直线分别交轴、轴于点、 ，且，反比例函数 的图象经过、两点，已知点． y x O （ 1 ）求所在直线对应的函数表达式． （ 2 ）求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ． 故答案为： （ 2 ）过点 作 y ． 于 ， x O ∴设 ∴ ， ， ， ∴ ， ∵ 在 ∴ 上， ， 解得 ∴ （舍）， ， ， 故答案为： ． ． 【知识点】反比例函数与一次函数综合 $