第一章空间向量与立体几何单元检测-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习卷，全面覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算，题型多样，梯度分明，适配数学眼光、思维与语言核心素养，助力单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|空间直角坐标系中点面距离、向量模、对称点坐标等|基础概念辨析，强化空间观念| |多选题|3|向量夹角、投影向量、共面向量等|易错点辨析，培养推理意识| |填空题|3|四点共面条件、单位向量模、线面垂直的向量关系|聚焦核心公式应用，提升运算能力| |解答题|5|面面垂直证明、点面距离、异面直线夹角、面面夹角等|综合应用空间向量解决立体几何问题，体现模型观念与创新意识|

高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B C D B D B AC BCD 题号 11 答案 BC 1．B 【详解】因为，则点到平面的距离为． 2．B 【分析】根据向量的模长公式计算模长． 【详解】由可得， 则， 因为为空间两两垂直的单位向量，故， 则． 3．B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 4．C 【详解】点关于轴对称的点的坐标为． 5．D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 6．B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 7．D 【详解】因为点，，所以线段的中点， 点关于平面对称的点的坐标为. 8．B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 9．AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 11．BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 12． 【分析】整理可得，结合四点共面的结论列式求解即可. 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 13． 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 14． 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 16． 【分析】建立空间直角坐标系，求出相应点坐标及相关向量坐标，利用向量夹角余弦公式求解； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 17．(1)由平面 平面， ，得 平面，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系： 设， 则， 故，， 共面. (2) 【分析】(1)以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系,设,通过向量法可证得，即共面; (2)分别求出平面 与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，故， 设平面 的法向量为， 由， 得，取，可得； ， 设平面的法向量为， 由， 得，取 ，所以， ， 设平面 与平面夹角为 , 即平面 与平面夹角的余弦值. 18．(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 19．(1)3 (2) (3)1 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【详解】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修一第一章空间向量与立体几何 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 8．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 二、多选题 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 三、填空题 12．已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 13．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 14．空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 四、解答题 15．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 16．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 17．如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． (1)求证：，，，四点共面； (2)设，求平面与平面夹角的余弦值． 18．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 19．已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $