高中数学单元测试——第一章　空间向量与立体几何（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元复习卷，覆盖坐标系、向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，培养空间观念与推理能力，适配单元巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间坐标系、基底判定、方向向量|基础概念辨析，如对称问题、共面向量判断| |多选题|3/18|单位向量、线面垂直、面面平行|结合长方体、正三棱柱情境，考查空间向量应用| |填空题|3/15|向量模长、夹角、异面直线所成角|设置正方形与二面角背景，强化几何直观| |解答题|5/77|线面垂直证明、空间距离、面面夹角|直三棱柱、四棱锥等模型，含存在性探究（如18题N点存在性），体现推理与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【详解】对于A，因为是空间向量的一组基底，所以向量不共面， 因此也不共面，因此可以作为一组基底，即A正确； 对于B，易知，因此向量共面，不能作为基底，即B错误； 对于C，显然，因此共面，不能作为基底，即C错误； 对于D，显然，因此共面，不能作为基底，即D错误； 故选：A 4．（本题5分）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 5．（本题5分）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】结合已知条件根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得平面的一个法向量为，再由点到平面距离向量法求解即可. 【详解】平面的方程可以化为， 则平面的一个法向量为， 且平面经过点，又， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量、平面法向量的性质，结合空间向量数量积的坐标运算逐一判断即可. 【详解】∵，， ∴，则， ∴直线l与m垂直，故A正确； ∵，， ∴，则， ∴或，故B错误； ∵，∴与不共线， ∴不成立，故C错误； ∵点， ∴，． ∵向量是平面的法向量， ∴，即，解得，故D正确． 故选：AD 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项的准确性． 【详解】如图，以中点为原点，分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，，，， 所以，，，，， 设平面的法向量为， 则即，故可取； 对于A，因为，所以与平面不平行，故A错误； 对于B，因为，则有，故B正确； 对于C，因为， 由，可得， 又平面，所以平面， 所以为平面的一个法向量， 由，可知平面平面，故C正确； 对于D，因，， 设直线与所成的角为， 则，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则________. 【答案】 【分析】由空间中两点间距离公式可解. 【详解】. 故答案为：. 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】利用数量积大于0求解，即可去除同向共线时的情况求解. 【详解】若，则， 当时，则，解得，此时，方向相同， 故的夹角为锐角时，且， 故答案为： 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为． 因为，，，， 所以， 所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，    则有，，，，由此可得，， 设异面直线与所成的角为，则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明：由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， ， 由， 所以； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）由题得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离向量求法即可求解； （2）求出两个平面的法向量，利用面面角的向量求法即可求解. 【详解】（1）因为线段是底面圆的直径，所以，所以， 以点为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则 所以，设点到直线的距离为， 则，故点到直线的距离为； （2）由（1）可知，， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设为平面的一个法向量， 则由，可取， 设平面与平面所成角为，则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 18．（本题17分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，，AB＝2，M为PC上一点，且． (1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值． (2)在棱PB上是否存在点N，使得平面BDM？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线AP与DM所成角的余弦值. （2）设，求得平面的法向量，由列方程，由此求得，即. 【详解】（1）设是的中点，连接， 由于，所以， 由于平面PAD⊥平面ABCD且交线为，平面， 所以平面， 由于平面，所以， 在菱形中，，所以三角形是等边三角形，所以， 故两两相互垂直，由此建立空间直角坐标系如下图所示， ，， ， ， 所以直线AP与DM所成角为， 则. （2）， 设平面的法向量为， 则， 故可设. 平面，设，则， 若平面，则， 解得， 所以在棱PB上是存在点N，使得平面BDM且. 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明：取中点，连接，，则， 又，所以且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. (2)1 (3)存在， 【分析】（1）如图，由平行的传递性可得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）建立如图空间直角系，利用空间向量法求解点面距即可； （3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可. 【详解】（1）略 （2）由已知得，，，， ，， 又平面，平面， 所以，建立如图空间直角系. 则，，，，，. 显然平面的法向量，， 点到平面的距离. （3）假设存在点满足题意，令，，则， 显然平面的法向量，设平面的法向量为 由，取， ， 即，解得. ，，. 记与平面所成角为， 则. 存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章　空间向量与立体几何（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若是空间向量的一组基底，则下列可作为空间向量的一组基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在三棱锥中，若，，，则（   ） A． B．1 C． D．0 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）我们给出定义：在空间直角坐标系中，若平面经过点，向量，为平面的一个法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为.已知平面的方程为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 10．（本题6分）下列命题是真命题的有    （    ） A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．平面经过三点，向量，平面的法向量，则 11．（本题6分）如图，棱长均为2的正三棱柱中，M、N分别是AB、的中点，则（   ）    A．平面 B． C．平面平面 D．直线与所成角的余弦值为 三、填空题 12．（本题5分）已知，，则________. 13．（本题5分）已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是____________． 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 17．（本题15分）如图，已知正方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上，，点是的中点. (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（本题17分）如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD＝60°，，AB＝2，M为PC上一点，且． (1)求异面直线AP与DM所成角的余弦值． (2)在棱PB上是否存在点N，使得平面BDM？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19．（本题17分）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $