1.2 数轴、相反数与绝对值讲义2026-2027学年湘教版数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“数轴、相反数与绝对值”核心知识点，以数轴三要素为基础支架，衔接相反数的几何意义（原点两侧等距）和绝对值的代数意义（非负性化简），构建从工具到概念再到应用的连贯知识脉络。 资料设计突出几何直观与代数推理结合，通过四步画法规范数轴学习，用“距离”诠释绝对值培养抽象能力，易错点总结与分层练习（基础到拓展）助力课中教学效率提升，课后学生可借例题解析与练习巩固知识，弥补盲点，强化数学思维与应用意识。

第一章 有理数 · 1.2 数轴、相反数与绝对值 湘教版七年级上册 · 第一章 有理数 1.2 数轴、相反数与绝对值讲义 学习目标 1. 掌握数轴的三要素，能正确画出数轴。 1. 会用数轴上的点表示有理数，能读出数轴上点表示的数。 1. 理解相反数的概念，会求一个数的相反数，会化简多重符号。 1. 理解绝对值的概念，掌握绝对值的代数意义和几何意义。 1. 会求一个数的绝对值，能利用绝对值比较负数的大小。 一、数轴 1. 数轴的定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 → 三要素缺一不可！原点确定位置，正方向确定增减，单位长度确定距离。 2. 数轴的画法（四步） 1. 画一条直线（通常水平放置）。 1. 取一点 O 作为原点，表示数 0。 1. 规定正方向（通常向右），标上箭头。 1. 选取适当的长度为单位长度，从原点向右依次标 1, 2, 3…；向左依次标 −1, −2, −3…。 ▶ 标准数轴示意图（三要素：原点、正方向、单位长度） 3. 数轴上的点与有理数的关系 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示。 1. 正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，0 在原点。 1. 数轴上的点不一定都表示有理数（如 π 是无理数，也可在数轴上表示）。 4. 数轴上两点间的距离 数轴上表示数 a 的点与表示数 b 的点之间的距离 = |a − b|。 例如：数轴上表示 3 和 −2 的两点间距离 = |3 − (−2)| = 5。 【例1】 画出数轴，并在数轴上表示出 −3、0、2.5、−1.5 这几个数。 【分析】先画数轴（三要素齐全），再确定各数在原点左侧还是右侧，以及距离原点的单位长度。 【解答】画法：① 画直线，取原点 O，向右为正方向；② 选单位长度；③ 在原点左侧 3 个单位标 −3，左侧 1.5 个单位标 −1.5；原点标 0；右侧 2.5 个单位标 2.5。 【例2】 (1) 在数轴上，表示 −1 和 3 的两点间的距离是多少？ (2) 在数轴上，到表示 −2 的点的距离为 3 的点表示的数是多少？ 【分析】距离 = |a − b|；到某点距离为定值的点通常有两个（左右各一个）。 【解答】(1) 距离 = |3 − (−1)| = |4| = 4。 (2) 设该点表示的数为 x，则 |x − (−2)| = 3，即 |x + 2| = 3。 解得 x + 2 = 3 或 x + 2 = −3，即 x = 1 或 x = −5。 答：该点表示的数为 1 或 −5。 二、相反数 1. 相反数的定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 1. 例如：3 和 −3 互为相反数；a 的相反数是 −a。 1. 0 的相反数是 0。 1. 相反数是成对出现的，不能单独存在。 2. 相反数的几何意义 在数轴上，互为相反数的两个数（0 除外）位于原点两侧，且到原点的距离相等。 上图中，−3 和 3 关于原点对称，到原点的距离都是 3 个单位长度。 3. 相反数的性质 1. 若 a 与 b 互为相反数，则 a + b = 0。 1. 若 a + b = 0，则 a 与 b 互为相反数。 1. 求一个数的相反数：在这个数前面加上“−”号即可。 1. 多重符号化简规律：“+”号个数不影响结果；“−”号个数为偶数时结果为正，为奇数时结果为负。 【例3】 化简下列各数的符号： (1) −(+7) (2) +(−5) (3) −(−3.1) (4) −[+(−2)] 【分析】正号可忽略；负号看个数，奇负偶正。 【解答】(1) −(+7) = −7 (2) +(−5) = −5 (3) −(−3.1) = +3.1 = 3.1 (4) −[+(−2)] = −(−2) = +2 = 2 【例4】 (1) 若 a = −4，求 −a 的值。 (2) 若 −a = 5，求 a 的值。 (3) 2x + 1 是 −9 的相反数，求 x 的值。 【分析】a 的相反数是 −a；若已知 −a 的值，则 a 是其相反数。利用方程思想求解。 【解答】(1) −a = −(−4) = 4 (2) −a = 5 → a = −5 (3) −9 的相反数是 9，故 2x + 1 = 9，解得 x = 4。 三、绝对值 1. 绝对值的定义 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。 2. 绝对值的几何意义 |a| 表示数 a 到原点的距离。距离是非负的，所以 |a| ≥ 0。 3. 绝对值的代数意义（必考！） 当 a > 0 时，|a| = a（正数绝对值是它本身） 当 a < 0 时，|a| = −a（负数绝对值是它的相反数） 当 a = 0 时，|a| = 0（0 的绝对值是 0） 4. 绝对值的重要性质 1. 非负性：|a| ≥ 0，即任何数的绝对值都是非负数。 1. 互为相反数的两个数绝对值相等：|a| = |−a|。 1. 绝对值等于 a（a > 0）的数有两个，它们互为相反数：±a。 1. 几个非负数之和为 0，则每个数都为 0。即若 |a| + |b| = 0，则 a = 0 且 b = 0。 【例5】 求下列各数的绝对值： (1) |+6| (2) |−3.5| (3) |0| (4) |+(−8)| 【分析】正数绝对值是本身，负数绝对值是其相反数，0 的绝对值是 0。 【解答】(1) |+6| = 6 (2) |−3.5| = 3.5 (3) |0| = 0 (4) |+(−8)| = |−8| = 8 【例6】 已知 |x| = 7，求 x 的值。 【分析】绝对值等于一个正数（非 0）的数有两个，它们互为相反数。 【解答】|x| = 7，说明 x 到原点的距离为 7。 在数轴上，到原点距离为 7 的点有两个：7 和 −7。 ∴ x = 7 或 x = −7（即 x = ±7）。 【例7】 若 |a − 3| + |b + 2| = 0，求 a + b 的值。 【分析】利用绝对值的非负性：两个非负数之和为 0，则每个都为 0。 【解答】|a − 3| ≥ 0，|b + 2| ≥ 0，而它们的和为 0。 ∴ |a − 3| = 0 且 |b + 2| = 0。 ∴ a − 3 = 0 → a = 3；b + 2 = 0 → b = −2。 ∴ a + b = 3 + (−2) = 1。 四、五大易错点（务必牢记） 易错点 1：画数轴时三要素不全 反例：只画了直线没标原点 ✖；有原点但没标正方向 ✖；单位长度不一致 ✖。 → 三要素缺一不可，单位长度必须统一！ 易错点 2：误认为带“−”号的数都是负数 反例：−(−5) = +5，结果是正数！ → 判断正负要看化简后的值，不能只看表面符号。 易错点 3：绝对值化简时漏掉负号 错误：|−3| = −3 ✖ 正确：|−3| = 3 ✔ → 绝对值永远非负！先判断正负，再“对号入座”。 易错点 4：若 |a| = −a，则 a 一定是负数？ 错误！当 a = 0 时，|0| = 0 = −0 也成立。 → 正确结论：若 |a| = −a，则 a ≤ 0（a 是非正数）。 易错点 5：数轴上原点两侧的数一定互为相反数？ 错误！必须同时满足“原点两侧”且“到原点距离相等”。 反例：−2 和 5 在原点两侧，但距离不等，不互为相反数。 五、课堂练习（共 7 题） A 组 · 基础巩固 (1) 下列数轴画法中，正确的是______（填序号）。 A. 有原点和单位长度，无正方向 B. 有正方向和单位长度，无原点 C. 有原点和正方向，单位长度不一致 D. 有原点、正方向、单位长度且一致 (2) 在数轴上距 2.5 有 3.5 个单位长度的点所表示的数是______。 (3) 写出下列各数的相反数：−4、+5、−1.5、0、+2025。 B 组 · 能力提升 (4) 化简：−(+10.1) = ______；+[−(−10)] = ______；−{−[−(−6)]} = ______。 (5) 若 a 与 −3 互为相反数，则 a + 4 = ______。 (6) 若 |m| = 4，且 m < 0，则 m = ______。 (7) 如果 |−a| = −a，则 a 一定是（ ） A. 非正数 B. 负数 C. 非负数 D. 正数 【参考答案】 (1) D (2) −1 或 6 (3) 4、−5、1.5、0、−2025 (4) −10.1；10；−6（3 个负号，奇数次取反） (5) 7（a = 3，a + 4 = 7） (6) −4 (7) A（|a| = −a → a ≤ 0，a 是非正数） 六、拓展提升 【例拓 1】 （数轴动点）已知数轴上点 A 和点 B 分别表示互为相反数的两个数 a、b（a < b），并且 A、B 两点间的距离是 6，求 a、b 的值。 【分析】a、b 互为相反数 → |a| = |b|。A、B 距离为 6 → |a| + |b| = 6。结合 a < b 确定符号。 【解答】由 a、b 互为相反数知 |a| = |b|。 又 A、B 两点距离为 6，即 |a| + |b| = 6。 ∴ |a| = |b| = 3。 因为 a < b 且 a、b 互为相反数，所以 a = −3，b = 3。 【例拓 2】 （绝对值方程）若 |x| + 5 = |x − 5|，求 x 的取值范围。 【分析】分情况讨论：|x| 在 x≥0 时为 x，x<0 时为 −x；|x−5| 在 x≥5 时为 x−5，x<5 时为 5−x。分三段讨论。 【解答】当 x < 0 时：|x| = −x，|x − 5| = 5 − x。 等式左边 = −x + 5，右边 = 5 − x，恒成立。 当 0 ≤ x < 5 时：|x| = x，左边 = x + 5 > 5，右边 = 5 − x < 5，不成立。 当 x ≥ 5 时：左边 = x + 5，右边 = x − 5，x+5 ≠ x−5，不成立。 ∴ 当 |x| + 5 = |x − 5| 时，x < 0。 七、课堂小结 知识点 核心内容 注意事项 数轴 三要素：原点、正方向、单位长度 缺一不可；单位长度必须统一 数轴与有理数 任何有理数都可用数轴上一个点表示 数轴上点不都表示有理数 相反数 只有符号不同的两个数 0 的相反数是 0；成对出现 相反数性质 a + b = 0 ↔ a、b 互为相反数 几何上关于原点对称 绝对值定义 |a| 表示 a 到原点的距离 |a| ≥ 0（非负性） 绝对值化简 正数=a；负数=−a；0=0 先判正负，再对号入座 绝对值方程 |x|=a(a>0) → x=±a 两个解互为相反数 口诀：数轴三要素要记全，原点方向单位长；相反数，符号反，距离原点一样远；绝对值，距离算，非负性质是关键。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $