专题研究 直线和圆的位置关系求距离的最值问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题研究 直线和圆的位置关系求距离的最值问题(学生版） 解题通法： 1.过圆内一定点的直线所形成的弦中最长的为直径,最短的为与该条直径垂直的弦,此时定点恰为最短弦的中点,命题时往往给出定点或含参数的初直线(挖掘定点),进而求解最短弦长或其所在直线的方程. 2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,利用求函数值域的方法求得结果. 微专题训练： 一、单选题 1．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 2．设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 3．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 4．已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 5．已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 8．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题 9．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 10．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 11．已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 三、填空题 12．已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 13．圆上的点到直线的最大距离是 ． 14．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 四、解答题 15．已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 16．已知两点，动点到点的距离是它到点的距离的倍. (1)设动点的轨迹为曲线，求的标准方程； (2)设直线，若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题研究 直线和圆的位置关系求距离的最值问题(解析版） 解题通法： 1.过圆内一定点的直线所形成的弦中最长的为直径,最短的为与该条直径垂直的弦,此时定点恰为最短弦的中点,命题时往往给出定点或含参数的初直线(挖掘定点),进而求解最短弦长或其所在直线的方程. 2.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(或最值)问题,解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式,利用求函数值域的方法求得结果. 微专题训练： 一、单选题 1．已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径， 则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为． 故选：C 2．设圆的一条切线与x轴､y轴分别交于点A､B，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】设圆的切线方程为，由题意可得，利用基本不等式推出，即得，即可得答案. 【详解】设圆的切线方程为，即，且， 由题意知圆的圆心到直线的距离等于2， 故，即得，而， 当且仅当时等号成立，故， 即得，解得， 故，当时取等号， 即的最小值为4， 故选：A 3．圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程确定圆心和半径，再根据直线方程，利用点到直线的距离公式，计算出圆心到直线的距离d，根据的大小关系，得出直线和圆不相交，从而得出距离的最小值为. 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 4．已知是直线上的任意一点，若过点作圆的两条切线，切点分别记为A,B，则弦长AB的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离可得，由于，所以与互补，从而得弦长AB最小得情况，即可得所求. 【详解】圆心到直线的距离为， 在直角三角形OAP中，， 所以，由于， 所以可得，则， 因为，所以与互补， 所以当时，弦长AB最小，此时，弦长. 故选：C. 5．已知直线（其中为常数），圆，则直线被圆截得的弦长最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线经过定点已经圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于. 故选：C. 6．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心为，半径为，利用勾股定理求出的值，利用圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 7．点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 8．已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短， 且， 所以最短弦长为 故选：C 二、多选题 9．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 10．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（    ） A．点的轨迹方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．点到圆上的点的最大距离为 D．若到直线的距离为的点至少有3个，则 【答案】ACD 【分析】选项A根据距离比化简可得；选项B转化为圆心的直线的距离减半径可判断； 选项C转化为两圆圆心距加两个半径可得；选项D转化为圆心到直线的距离小于或等于可得. 【详解】设点坐标为，由题意可得， 化简可得，故A正确； 在圆上，其圆心坐标为，半径为， 故点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减半径，即为 ，故B错误； 点到圆上的点的最大距离为到的距离加两个半径，即为 ，故C正确； 若到直线的距离为的点至少有3个， 设圆心到直线的距离为，则， 即，可得，故D正确， 故选：ACD 11．已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【分析】根据题意，确定圆心坐标与半径，结合直线与圆的位置关系逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C,D正确； 故选：BCD 三、填空题 12．已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 13．圆上的点到直线的最大距离是 ． 【答案】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 14．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先确定圆的圆心和半径，由点到直线距离公式求出圆心到直线距离，结合得取得最小值时取得最小值和的最小值为即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 因为，所以当取得最小值时，取得最小值， 而的最小值为，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的方程，代入点的坐标建立方程组，可得答案. （2）由题意可得直线过顶点，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 16．已知两点，动点到点的距离是它到点的距离的倍. (1)设动点的轨迹为曲线，求的标准方程； (2)设直线，若直线与曲线交于两点，当最小时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件得到方程，化简后得到答案； （2）求出直线过定点，当与直线垂直时，最小，根据垂直关系得到斜率，从而求出直线方程. 【详解】（1）由题意得， 化简得，即为动点的轨迹方程； （2）由直线，即， 可令， 解得，则直线过定点， 设的圆心为， 当与直线垂直时，最小，此时， 即，得， 直线的方程为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $