7.3 平行线的证明同步练习2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 分层清晰，从基础判定到跨学科综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与几何直观、推理能力、应用意识等核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平行线判定与性质直接应用|选择题1-5、填空题9-12，聚焦单一知识点，如“不能推出平行的条件”，夯实基础| |中档|折叠/反射情境下的综合应用|选择题6-7、填空题15，结合折叠（长方形纸片）、光反射等情境，需两步推理，培养几何直观| |综合/拔高|跨学科与动态探究|跨学科题（凸透镜成像、机器人跑步）、动态探究题（动点位置分类讨论）、实践操作题（折叠作平行线），发展推理能力与应用意识|

6.3平行线的证明 一、选择题： 1.如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1=115°，则∠2的度数为() A.75° B.90° C.100 D.115 2.如图，下列条件中不能推出AB/ICE成立的条件是() E D A∠A=∠ACE B,∠B=∠ACEC∠B=∠ECD D.∠B+∠BCE=180 3.如图，点E在BA的延长线上，AD是∠EAC的平分线，AD/1BC,∠B=38°，则∠C的度数是() B D A.16 B.30° C.38 D.76 第1页，共1页 4如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB/ICD的是() A又 X5 E A.∠2=∠4B.∠B=∠5C.∠5=∠DD.∠D+∠DAB=180° 5.如图，在下列给出的条件中，不能判定AB/1DF的是() E F D A.∠A=∠3 B.∠A+∠2=180° C.∠1=∠4D.∠A=∠1 6.(中档题)如图所示，两块平面镜的夹角∠O=0·<0<90·,两条平行光线AB和CD分别射到两块平面镜 上，根据光的反射规律，∠1=∠2，∠3=∠4，它们的反射光线BE的反向延长线与DF的反向延长线的夹角 ∠EPF=a,则8的度数是() B A. B.2 C.-90 D.180°-a 第2页，共1页 7.(中档题)如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF,若 ∠ABE=25°，则∠EFC'的度数为() A.122.5° B.130° C.135° D.140° 8.(综合题)如图，AB/ICD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=a°.则下列结论： ①∠BOE=180-aj9:②0F平分∠B0D,®∠P0E=∠BOF,@∠POB=2∠DOF,其中正确的个 数有() A A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题： 9.如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2等于一。 第3页，共1页 10.如图，一条公路MA修到湖边时，需拐弯绕湖而过。如果第一次的拐角∠A是110°，第二次的拐角∠B是140°， 第三次的拐角∠C等于_时，这时的道路CN和第一次拐弯之前的道路MA平行。 11.如图，已知BE平分∠ABC,且∠CDB=25,当∠ABC=时，AB/CD E C D A B 12.如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点P处发出的光线PA,PB经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光 线AC/IBD,若∠PAC=40°，PA⊥PB,则∠PBD的度数为一。 B 第4页，共1页 13.(跨学科情境题)如图是凸透镜成像原理图，已知物AB和像DC都与主光轴BC垂直，∠BAO=63°，则 ∠ODC的度数为一. 14(中档题）2025年4月19日，北京举行全球首个人形机器人半程马拉松比赛，此次比赛意义重大如图①， 这是某款机器人跑步瞬间的姿态，图②为其平面示意图，其中∠ABC=144°，∠ABD=3∠CBD, ∠BDF=132°.若AB/1DE/HG,FG⊥HG,则∠DFG的度数为一. G ① ② 15.(中档题)如图1，在△ABC中，∠A=38°，边BC绕点C按逆时针方向旋转一周回到原来的位置，如图2所 示.在旋转的过程中，当∠BCA=时，CB/1AB. B 38 38° B 图1 图2 第5页，共1页 16.(思维拔高题-分类讨论)如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ACB=72°，点D为边AB上一点，连接 CD,将△ACD沿CD折叠，点A的对应点为点A,当AD与△ABC的一条边平行时，∠ACD的度数为一· A D ⊙ C 三、解答题： 17.按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整。 如图，直线MN分别与直线AC,DG交于点B,F,且∠1=∠2。∠ABF的平分线BE交直线DG于点E, ∠BFG的平分线FC交直线AC于点C。求证：BE/ICF。 M A B61 D G N 证明：：∠1=∠2（已知），∠ABF=∠1（对顶角相等）， ∠BFG=∠2(_)， ∴.∠ABF=(等量代换)。 .BE平分∠ABF(已知)， ,∠EBF=1 )。 .'FC平分∠BFG(已知)， :∠CFB .∠EBF=, ∴.BE/1CF()。 18.如图∠B=∠EDC,∠1+∠2=180°，FG⊥BC,求证：AD⊥BC。 第6页，共1页 F02 B G 19.如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于点A,G,H,D,且∠1=∠2， ∠B=∠C。 E B 1 G C F D (1)找出图中相互平行的线，说说它们之间为什么是平行的？ (2)求证：BE=CF。 20.如图，在正方形ABCD中，∠AEF=∠BFE=120°，∠EAD=30°。 第7页，共1页 B (1)求证：EF/1AB;(2)求证：AE=BF。 21.在学习了平行线的判定之后，老师给大家布置了一道实践作业：对于一个锐角三角形纸片ABC,在不利用工 具的情况下怎样折叠才能在三角形中作出其中一条边的平行线呢？小英的解决方案如下： 折叠方法：①如图，先将三角形纸片ABC的∠B折叠，使得点B的对应点B'落在线段AB 上，折痕为DE; ②再将∠C折叠，使得折叠后点C的对应点C'落在线段B'D上，得到折痕DF; ③DF即为AB的平行线. D 请你根据所学知识说明小英作法的正确性. 22.(类比探究拔高题)已知AB/1CD,M为直线AC上的动点（点M不与点A,C重合），ME⊥AC交直线CD于 点E 第8页，共1页 B B M 4M B ED D ① ② 备用图 (1)如图①，当点M在CA上时，若∠MAB=46°，求∠MEC的度数； (2)如图②，当点M在CA的延长线上时，∠MAB与∠MEC有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由； (3)当点M在AC的延长线上时，∠MAB与∠MEC有怎样的数量关系？请直接写出结论 第9页，共1页 答案和解析 1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A 解：过点P作PQ/IAB,,AB/ICD,.PQ/CD, ∴.∠EPQ=∠ABP,∠FPQ=∠CDP,∴.∠EPQ+∠FPQ=∠ABP+∠CDP, ∴.∠EPF=∠ABP+∠CDP,同理：∠O=∠1+∠3. 又.∠1=∠2，∠OBP=∠2，∴.∠1=∠OBP,同理：∠3=∠ODP, ∠1=3<ABP,∠3-3<CDP, ∠0ABP+<CDP=∠ABP+∠CDP-∠EPr,∴0-a. B 7.A 解：Rt△ABE中，∠ABE=25°， E D .∴.∠AEB=65°： 由折叠的性质知：∠BEF=∠乙： 而∠BED=180°-∠AEB=115°， ∴.∠BEF=57.5°： 易知∠EBC'=∠D=∠BC'F=∠C=90°， 第10页，共1页 ∴.BE//C'F, ∴.∠EFC'=180°-∠BEF=122.5° 故选：A. 由折叠的性质知：∠EBC'、∠BC'F都是直角，因此BE/IC'F,那么∠EFC'和∠BEF互补，欲求 ∠EFC'的度数，需先求出∠BEF的度数；根据折叠的性质知∠BEF=∠，而∠AEB的度数可在Rt△ABE 中求得，由此可求出∠BEF的度数，即可得解。 本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质的运用，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根 据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变， 8.C 【分析】 本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同位角相等. 由于AB//CD,则∠AB0=∠BOD=a°，利用平角等于180°得到∠BOC=(180-a)°，再根据角平分线的定 义得到∠BOE=号1B0-a°：利用OF1OE,可计算出BOF=a°，则∠B0F=号∠B0D,即OF平分 ∠BOD,利用OP1CD,可i计凳出∠POE=a,则∠POE=∠BOF:根据∠POB=90-a, ←DOF三号a°，可知④不正确， 【解答】解：①因为AB//CD, 所以∠ABO=∠BOD=a, 所以∠C0B=180°-a°=(180-a)°， 又因为OE平分∠BOC, 所以2B0E=2∠C0B180-a.放①正痛： ②因为oF⊥OE: 所以∠EOF=90°， 第11页，共1页 所以2B0r=90°-∠B0E=90°-180-ajP-a 防以<B0F=号<B0D. 所以OF平分∠BOD,所以②正确； ③因为oP1CD' 所以∠COP=90°， 所以∠POE=90°-∠E0C=90°-∠BOE= , 所以∠POE=∠BOF,所以③正确： 所以∠POB=90°-∠BOD=90°-a°， 而∠D0F=方<B0D=方a,所以④信误 故选C. 9.60° 10.150 11.50 12.50° 13.63 14.150 1538或142 1611或65 由折叠可知，∠A=∠A,∠ACD=∠ACD,分两种情况讨论：当AD/BC时，如图①，因为AD1/BC, ∠A=50,所以∠ACB=50,因为∠ACB=72,所以∠ACD=∠ACB-∠ACB)=11;当AD11AC 时，如图②，因为AD/1AC,所以∠A+∠ACA=180°，因为∠A=∠A=50°，所以∠ACA=130°，所 第12页，共1页 以∠AGD号∠ACA=65,综上所述，当AD与△ABC的一条边平行时，∠ACD的度数为I1或65. A D D BA C B VA' 图① 图② 17.对项角相等 ∠BFG ∠ABF 角平分线的定义 ∠BFG 角平分线的定义 ∠CFB 内错角相等，两直线平行 18.证明：∠B=∠EDC, .'DE//AB, .∴.∠1=∠BAD。 ∠1+∠2=180， ∴.∠FAD+∠2=180°， ∴.AD//FG。 .FG⊥BC,∴.AD⊥BC。 第13页，共1页 19.【小题1】 解：CE/IBF,AB/CD。 理由：.∠1=∠2，∴.EC/BF, ∴.∠C=∠BFD。 ∠B=ㄥC, ∴.∠B=∠BFD,∴.AB/ICD。 【小题2】 连接EF。 .AB//CD, ∴.∠BEF=∠CFE。 .∠B=∠C,EF=FE, .∴.△CEF≌△BFE, ∴.BE=CF。 1.略 2略 20.【小题1】 ‘四边形ABCD是正方形，.∠DAB=90°， .∴.∠EAB=∠DAB-∠EAD=60°. .∠AEF=120°， .∴.∠EAB+∠AEF=180°， ∴.EF//AB; 【小题2】 设直线EF分别交AD,BC于点M,N。 在正方形ABCD中， ∠DAB=∠ABC=90°。 .∵MN/AB, ∴.MA=BN,∠AMN=∠ADC=90°，∠BNM=∠BCD=90°， '∠AEF=∠BFE, 第14页，共1页 ∴.∠AEM=∠BFN, ∴.△AEM≌△BFN, .AE=BF。 1.略 2略 21.解：由折叠可知∠B'ED=∠BED,∠B'DE=∠BDE,∠C'DF=∠CDF .∠B'ED+∠BED=180°，∴.∠B'ED=∠BED=90°.，∠BDB'+∠CDC'=180°， ∠B'DE+∠C'DF=克∠BDB+3∠CDC'-∠BDB+∠CDC=90,即∠EDF=90. ∴.∠B'ED+∠EDF=180·∴.DF//AB 22.【小题1】 解：.AB/CD,∠MAB=46°， ∴.∠MCE=∠MAB=46°. .ME⊥AC,∴.∠CME=90°， ∴.∠MEC=90°-∠MCE=44°. 【小题2】 ∠MAB=90°+∠MEC. 理由如下： .ME⊥AC,∴.∠CME=90°， .∴.∠MCE=90°-∠MEC. .AB/ICD,∴.∠BAC=∠MCE=90°-∠MEC. .'∠MAB+∠BAC=180°， .∴.∠MAB=180°-∠BAC=180°-(90°-∠MEC)=90°+∠MEC 【小题3】 如图所示. 第15页，共1页 .‘AB//CD, .∴.∠MAB=∠MCE. .'ME⊥AC, .∴.∠CME=90°， .∴.∠MEC=90°-∠MCE=90°-∠MAB, 即∠MAB+∠MEC=90°. 1.略 2略 3够 第16页，共1页