第14课时一元二次方程的解法（2.3二次函数与一元二次方程、不等式第一课时）学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“一元二次不等式的解法”，核心知识点包括一元二次不等式概念、二次函数零点及三者关系。通过实际情境抽象引入，衔接二次函数知识，以“化标准—求根—画图—写解集”为步骤，构建函数、方程、不等式关联的学习支架。 资料特色为分层跟踪训练（基础、能力、拓展）与典例精析（分不含参、含参及根分布题型），助力学生夯实基础与提升能力。借助数形结合培养直观想象，含参讨论提升数学运算，促进数学抽象素养，适合学生自主学习与教师教学评估。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时一元二次不等式的解法 【学习目标】 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； ②能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； ③借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； ④从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养； ⑤在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升直观想象、数学运算素养. 【学习重点】 ①掌握 “化标准 — 求根 — 画图 — 写解集” 的基础解法， ②理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系，会利用韦达定理、数形结合求解含参不等式与二次方程根的分布问题 【学习难点】 ①建立图象、方程根、不等式解集三者数形结合的对应逻辑； ②规范含参一元二次不等式分层分类讨论标准，准确处理二次项系数、判别式、两根大小三类讨论点，灵活运用图象与补集思想解决根的分布综合题型. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 或，其中均为常数， 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 的图象 的根 有两个不相等的实数根（） 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 二、典例精析 题型1 一元二次不等式的解法 类型1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1．解下列二次不等式. (1) 思路分析：先求方程的根，再画出函数的图象，根据图象确定不等式的解集. 规范解答： ( 判别式判断根的个数，求根公式求根 ) ( 求根 )法1：对于方程，因为，所以它有两个实根， ( 因式分解求根 )由求根公式得，所以 法2：对于方程，因式分解得，解得， 画出二次函数的图象，如图 ( 画图 ) ( 写解集 ) 结合图象可得不等式的解集为. (2)， 思路分析：先求方程的根，再画出函数的图象，结合图象得到不等式的解集. 规范解答： 由，因式分解得，解得， 画出函数的图象，如图 结合图象可得不等式的解集为或， 说明：在熟练的情况下，可简化不等式求解过程如下： 由，得，解得或， 即不等式的解集为或.（这里需在草稿纸上画二次函数图象辅助解答） （3） 思路分析：先把二次项系数化为正数，再按求根→作图→写解集步骤求解. 规范解答： 由，得， 对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得 画出二次函数的图象，如图 结合图象得不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 方法总结：解不含参的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正； （2）求根：若不等式对应方程可以因式分解，则通过因式分解求根；若不等式的对应方程不能（或不会）因式分解，则通过判别式对应方程根的个数，并用求根公式求出根； （3）画草图：根据对应方程根据的情况画出对应一元二次函数的草图； （4）写解集：根据二次函数图象写成不等式的解集. 类型2 含有参数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于的不等式： (1)； 思路分析：不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集. 规范解答： 对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)； 思路分析：先因式分解得到方程两个含参根，再比较两根大小，找到分界参数分类讨论求解. 规范解答： 不等式可化为， ①当时，，解集为，或； ②当时，，解集为； ③当时，，解集为，或. 综上所述， 当时，原不等式的解集为，或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为，或. (3)； 思路分析：最高次数含参数，优先讨论，然后将不等式化为标准形式求解. 规范解答： 可化为， 当时，不等式为，解集为； 当时，不等式可化为，此时解集为； 当时，不等式可化为， 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为； 当时，，此时解集为. 综上所述，时，解集为；时，解集为； 时，解集为；时，解集为； 时，解集为 反思领悟：不含参数的一元二次方程的步骤为：化标准→求根→画图→写解集，含参不等式的求解仍然遵循此步骤，但因为含有参数，在步骤当中有不确定因素，需分类讨论： （1）若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为0，以确定是一次不等式还是二次不等式；还需考虑二次项系数是大于0还是小于0，以便化标准或确定函数图象开口方向； （2）对应方程含有参数，需讨论判别式以确定根的个数，以便求根； （3）画图时，不仅要看函数开口方向，还要将标注根（即函数零点），故需讨论根的大小关系，以确定解集. 题型2 三个“二次”之间的关系 例2．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 思路分析： （1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可构造方程组求得的值； （2）根据一元二次不等式的解法，通过对的范围的讨论确定解集. 规范解答： （1）不等式的解集为或， 方程的两根为和，且， ，解得：，. （2）由（1）知：； 当时，解得； 当时，不等式即，无解； 当时，解得.； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 反思领悟：若已知不等式解集，可按求解不等式的步骤逆向考虑：解集→画图→求根. 因此，从不等式的解集中可以获取以下信息： （1）二次项系数的符号（看图象开口方向）； （2）参数之间的关系（函数零点即方程的根，韦达定理可得根与系数关系） 例3．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 思路分析： （1）方程的根即对应二次函数的零点，由方程两个根都大于1可作对应函数图象，进而得知函数对称轴在右侧，且处函数值为正； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得；方程根的情况可转化为对应函数图象，根据图象特征列关系式求解. 规范解答： （1）方程对应二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，作对应函数图象，由图象可知对称轴在右侧，且处函数值为正，则， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，作对应函数图象如图，由图可知对称轴在左侧，且处函数值为正， 则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 反思领悟： 二次方程根的分布问题，因为方程的根即对应函数的零点，所以可由方程的根的情况作出对应函数的图象，观察图象特征：根范围端点的函数值正负、对称轴位置，结合方程的判别式列关系式求解. 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 解析：解不等式，因式分解得，解得， 即. 又，故. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 答案：C 解析：的解为或5，故不等式的解集为或 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：解得，因为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 答案：A 解析：关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 5．已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 答案：B 解析：依题意，设函数，则函数有两个零点，且一个比3大，一个比3小； 函数图象开口向上，作出函数图象可知，处函数值为负，即，解得. 故选：B. 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 答案：或 解析：因为不等式的解集为， 所以和是方程的解，且， 所以，所以， 所以等价于，等价于， 解得或，所以不等式的解集为或. 7．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 答案： 解析：令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 8．设，解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)． 解析：（1）当时，由解得：或； 当时，由得，所以； 当时，由解得：或. 综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为R；当时，原不等式的解集为或. （2）当时，由解得：或； 当时，由得，所以； 当时，由解得：或. 综上，当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或. （3）由得：， 解得或， 所以原不等式的解集为或. 【能力提升】（多数必做） 9．已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，则的最大值为1 答案：BD 解析：对于A：由不等式的解集为，可得，化简得， A错误； 对于B：可知不等式，即，因式分解得，解得， B正确； 对于C：可知函数开口向上，零点为或，所以当时，，即， C错误； 对于D：当时，即，因为，化简得，解得， 因为，由可知，当时取得最大值，即最大值为1， D正确； 故选：BD. 10．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 答案：AB 解析：当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 11．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 解析：（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 12．已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 解析：（1）由题意知，1和2是的两个根，且， 所以，，解得，. 将，代入可得，，即， 解得或. 所以解集为. （2）由（1）知，（，）， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为8. 又恒成立，故恒成立，即，解得. 的取值范围为. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 答案： 【分析】利用三个二次关系计算参数，再解含参不等式，结合条件计算即可. 解析：由不等式的解集为， 得，且方程的两实根分别为和， 则，得：， 所以不等式等价于， 结合，整理可得， 又，则，因此解得：. 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：. 所以实数的取值范围为. 14．已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 答案：4（答案不唯一，满足即可） 【分析】先因式分解化简不等式，再讨论的大小解出不等式即可. 解析：可化简为， 当时，不等式不成立； 当时，不等式可化简为， 若，则不等式解得，无两个实数解， 若，则不等式解得，要使得整数解恰有2个，那么， 若，则不等式变为，无实数解； 当时，则不等式可化简为， 解得或，整数解有无穷多个，不符合题意， 综上所述，的取值范围为，即的一个取值为4. 四、课时小结 (1) 核心概念：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者联系；一元二次不等式基础解法；含参一元二次不等式；一元二次方程根的分布； (2) 工具：数形结合、分类讨论思想；图像法、因式分解法；分层讨论法；补集思想； (3) 解题核心：求解不等式先化为标准形式，含参问题依次讨论二次项系数、判别式、两根大小；利用二次函数图像分析解集与根分布；警惕忽略二次项系数为 0、分类讨论遗漏. 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时一元二次不等式的解法 【学习目标】 ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义； ②能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； ③借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系； ④从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，培养数学抽象素养； ⑤在学习一元二次不等式的解法的过程中，提升直观想象、数学运算素养. 【学习重点】 ①掌握 “化标准 — 求根 — 画图 — 写解集” 的基础解法， ②理清二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者对应关系，会利用韦达定理、数形结合求解含参不等式与二次方程根的分布问题 【学习难点】 ①建立图象、方程根、不等式解集三者数形结合的对应逻辑； ②规范含参一元二次不等式分层分类讨论标准，准确处理二次项系数、判别式、两根大小三类讨论点，灵活运用图象与补集思想解决根的分布综合题型. 一、核心知识梳理（必背必会） 1.一元二次不等式的概念 定义 一般地，我们把只含有一个______，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 或，其中均为常数， 2.二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使__________的实数叫做二次函数的零点. 3.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 项目 的图象 的根 有两个不相等的实数根（） 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 _________________ ________________ ___________ 的解集 _________________ ________________ _______________ 二、典例精析 题型1 一元二次不等式的解法 类型1 不含参数的一元二次不等式的解法 例1．解下列二次不等式. (1) (2)， （3） 方法总结：解不含参的一元二次不等式的一般步骤 类型2 含有参数的一元二次不等式的解法 例2．解下列关于的不等式： (1)． (2)； (3)； 反思领悟： 题型2 三个“二次”之间的关系 例2．已知不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式. 反思领悟： 例3．已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 反思领悟： 三、分层跟踪训练 【基础过关】（全员必做） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 5．已知关于的方程的两个实数根一个比3大，一个比3小，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 答案：B 6．若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________. 7．已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 8．设，解下列关于x的不等式： (1)； (2)； (3)． 【能力提升】（多数必做） 9．（多选题）已知关于的不等式的解集为则（ ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．若，则的最大值为1 10．（多选题）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 11．解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 12．已知关于的不等式的解集为. (1)求a，b的值并求解不等式的解集； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【拓展拔高】（学有余力选做） 13．已知关于的不等式的解集为．若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 14．已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为____________． 四、课时小结 五、课后反思 错题记录： 薄弱点记录： 学科网（北京）股份有限公司 $