2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式 导学案——2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 预习提要 1.回顾基本不等式的应用； 2.阅读课本P50—P53内容，自主探究二次函数与一元二次方程、不等式相关知识，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．利用基本不等式解决最值问题的两类基础模型： （1）积定求和最小：若两个正数的乘积为定值，则有最值，当且仅当时取得该最值； （2）和定求积最大：若两个正数的和为定值，则有最值，当且仅当时取得该最值. 2．运用基本不等式求最值必须满足三个条件：一（变量为正数）、二（和或积为固定值）、三（能取到等号成立的条件）. 二、知新 1．一元二次不等式的定义：只含有个未知数，且未知数最高次数是的不等式，一般形式为或，其中要求常数0. 2．二次函数的零点：使方程成立的实数，就是这个二次函数的零点. 3．对于二次函数，它的零点是；不等式的解集是. 4．设一元二次方程的判别式： （1）当时，方程有的实数根，此时的解集为，的解集为； （2）当时，方程有的实数根，此时的解集为，的解集为； （3）当时，方程实数根，此时的解集为，的解集为. 5．求解二次项系数的一元二次不等式时，通常先把二次项系数化为，再按照的流程求解. 课前自测 1.不等式的解集为( ) A. B.或 C.或 D. 2.不等式的解集为( ). A.R B. C. D. 3.若不等式的解集为，则b，m的值分别是( ). A.1，1 B.1， C.，1 D.， 4.若，则关于x的不等式的解集为( ) A.或 B.或 C. D. 5.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是( ) A.或 B. C. D. 反思 解析几何之父勒内•笛卡尔，最早把二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者串联成完整体系，打通了代数与图象几何的联系，也就是我们本节课学习的数形结合思想.在笛卡尔之前，解方程、比较代数式大小、绘制曲线是完全分开的三件事：数学家只能单独求解一元二次方程的根，无法直观看出根与二次曲线的关联，也不能用图象快速判断不等式的解集.笛卡尔创立平面直角坐标系后，提出核心思路： 1．二次函数的图象是抛物线； 2．一元二次方程的根，对应抛物线与轴交点的横坐标； 3．一元二次不等式（或）的解集，对应图象在轴上方（或下方）所有点的取值范围. 答案及解析 一、温故 1．小；；大； 2．正；定；等 二、知新 1．一 2． 3．2； 4．（1）两个不相等；或 （2）两个相等；； （3）没有； 5．正数 课前自测 1.答案：B 解析：不等式可化为，即，解得或.故所求不等式的解集为或.故选B. 2.答案：B 解析：原不等式可化为，而，原不等式无解，解集为.故选：B. 3.答案：A 解析：不等式，即.由已知得，m是方程的两个根，则解得 4.答案：C 解析：由题可知，原不等式可转化为. 因为，所以不等式的解为.故选C. 5.答案：C 解析：因为关于x的不等式的解集为， 所以关于x的不等式的解集为R． 当，即时，，解集为R成立； 当，即时，，解得． 综上所述，实数a的取值范围是．故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $