专题11用一次函数解决问题、一次函数与二元一次方程暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题11用一次函数解决问题、一次函数与二元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.一次函数解决实际问题：解题步骤、函数模型建立 2.二元一次方程与一次函数：形式转化、数形对应关系 3.二元一次方程组与两条直线：交点和方程组解的联系、图象法解方程组 4.根据k、b判断两条直线位置关系，对应方程组解的情况 ✅本节整体分为两大模块：一是用一次函数建模解决实际问题，体现函数的工具性；二是一次函数与二元一次方程（组）的数形转化，将代数方程问题转化为直线图象问题，完整建立“数与形”的对应思想。 ✺学习目标 1.能准确区分实际问题中的自变量与因变量，根据数量关系建立一次函数模型； 2.掌握一次函数解决实际问题的完整步骤，能结合实际情境确定自变量取值范围； 3.能实现二元一次方程与一次函数解析式的相互变形，理解方程与直线的对应关系； 4.理解二元一次方程组的解与两条直线交点坐标的关系，会用图象法解简单方程组； 5.能根据一次函数系数的关系判断两直线位置关系，并对应判断方程组解的情况。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 题型6.一次函数与几何综合 题型7.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型8.图象法解二元一次方程组 题型9.求直线围成的图形面积 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、一次函数解决实际问题的一般步骤 审.读懂题意，区分自变量、因变量，明确已知量、未知量； 列.根据题目等量关系，列出一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)； 限.结合现实意义，写出自变量取值范围； 解.联立解析式求交点、解方程、解不等式，求出临界值； 答.结合临界值与自变量范围，分类讨论，写出完整答案。 ★提示：实际问题自变量不能取全体实数，必须满足生活情境要求。 知识点二、一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数与二元一次方程的关联 (1)任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； (2)一次函数y=kx+b的图象（直线）上，每一个点的坐标（x,y）,都是对应二元一次方程的一组解，反之，以二元一次方程的一组解（x,y）为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 知识点三、一次函数与二元一次方程组 1.平面直角坐标系中，两条直线两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点坐标(x,y)，即为方程组的唯一解，二者可以等价互换。 2.直线位置与方程组解对应关系 相交: ，方程组有且只有1组解； 平行：=,,方程组无实数解； 重合：=,=,方程组存在无数组解。 知识点四、二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 3．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． (1)分别写出、关于的函数表达式； (2)若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 2．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 3．某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 2．小石骑自行车从家里出发到达甲地，下车游玩一段时间后，按照原速度继续骑行．骑行过程中，行驶的路程（单位：）与离家时间（单位：）近似满足一次函数关系，行驶的路程与离家时间的函数图象如图所示，则离家2小时后，与的函数关系式为____________． 3．已知A，B两地相距256千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示． (1)求乙车的与的函数关系式； (2)几时几分两车相遇？相遇时离B地的路程多少？ 题型4.梯度计价问题 1．某自来水公司为鼓励居民节约用水，采用月用水量分段收费办法．某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示，若该用户本月用水21吨，则应交水费（     ） A．53元 B．52元 C．51元 D．50元 2．出租车起步价为16元，超过3千米后，每千米3元，已知乘坐的里程数为千米（），对应支付的价格为元，求与的函数解析式___________； 3．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 1．移动公司为王爷爷的手机办理了元“乐享”套餐．该套餐每月的通话费用（单位：元）与通话时间（单位：）的关系如图所示．则该套餐每月不超过元计费的通话最长时间是（     ） A． B． C． D． 2．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第____________秒时1号和2号无人机在同一高度． 3．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 题型6.一次函数与几何综合 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 3．直线与直线交于点， (1)求，的值； (2)若与轴的交点为，点为轴上的点，且，求点的坐标． 题型7.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 2．已知一次函数（为常数，且）与的图象交于点，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 3．周末小弘同学去某草莓园摘草莓，为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买20元的门票，采摘的草莓按原价的八折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后10千克以内的部分按原价收费，超过的部分按原价的六折收费． 设小弘同学的采摘量为x千克，甲方案所需总费用为元，乙方案所需总费用为元． (1)草莓园内每千克草莓的原价是____________元；若小弘同学的采摘量为15千克，按照甲方案付款，小弘同学所需总费用是____________元； (2)当采摘量超过10千克时（），分别求出、关于x的函数表达式； (3)请求出图中点P的坐标，并简要说明点P表示的实际意义； (4)若你去摘草莓，当采摘量超过10千克时，你认为哪种方案实惠？请直接写出你的答案． 题型8.图象法解二元一次方程组 1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，函数，的图象交于点P，若，则______． 3．已知函数的图象如图所示， (1)用“两点法”在平面直角坐标系中画出的图象； (2)直接写出方程组的解． 题型9.求直线围成的图形面积 1．直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，且与直线相交于点． (1)求和的值． (2)直线与轴交于点，求的面积． ✺巩固测试 一、单选题 1．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 2．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 3．某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（     ） A．小明中途休息用了60分钟 B．第90分钟时，小明所走路程为2000米 C．小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D．小明在上述过程中所走的路程为3000米 二、填空题 5．如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 6．如图，在平面直角坐标系中，两直线与，则方程组的解是______． 7．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 8．为了更合理地反馈一个学生的学习情况，某班级对学生的原始分进行转换，一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是50分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足（），原始分100分转换后为100分，原始分50分转换后为60分．若某同学转换后的分数比原始分多5分，则转换后的分数是________． 三、解答题 9．已知一次函数的图像与坐标轴分别交于点A，B，函数 与的图像交于点，如图所示． (1)填空： __________，__________； (2)求直线和直线与x轴所围成的的面积； (3)根据图像，直接写出不等式的解集． 10．为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共21台．已知甲型号垃圾处理器的单价为16万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买21台垃圾处理器的最少费用． 11．如图，B是直线在第一象限的一个动点，，设的面积为S，点B的横坐标为x． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． (2)在已给的图中画出S与x之间函数关系式的图象． (3)当的面积时，求点B的坐标． 12．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 13．某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x ... 0 1 2 ... y ... 0 m 2 1 0 ... 其中，表格中m的值为 ； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出以对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质：①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，不等式的解集为 ； (4)若方程无解，则n的值（或取值范围）为 ． 14．2022年4月，上海发生疫情，各地纷纷支援．杭州迅速组织名医护人员和抗疫物资连夜出征行驶驰援上海同心抗疫．如图，运输防疫物资的货车和载有医护人员的客车先后从杭州出发驶向上海，线段表示货车离出发地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，折线表示客车离出发地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系． (1)求线段对应的函数关系式； (2)客车从杭州出发后经过多长时间追上货车？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11用一次函数解决问题、一次函数与二元一次方程 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.一次函数解决实际问题：解题步骤、函数模型建立 2.二元一次方程与一次函数：形式转化、数形对应关系 3.二元一次方程组与两条直线：交点和方程组解的联系、图象法解方程组 4.根据k、b判断两条直线位置关系，对应方程组解的情况 ✅本节整体分为两大模块：一是用一次函数建模解决实际问题，体现函数的工具性；二是一次函数与二元一次方程（组）的数形转化，将代数方程问题转化为直线图象问题，完整建立“数与形”的对应思想。 ✺学习目标 1.能准确区分实际问题中的自变量与因变量，根据数量关系建立一次函数模型； 2.掌握一次函数解决实际问题的完整步骤，能结合实际情境确定自变量取值范围； 3.能实现二元一次方程与一次函数解析式的相互变形，理解方程与直线的对应关系； 4.理解二元一次方程组的解与两条直线交点坐标的关系，会用图象法解简单方程组； 5.能根据一次函数系数的关系判断两直线位置关系，并对应判断方程组解的情况。 ✺题型归纳 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 题型4.梯度计价问题 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 题型6.一次函数与几何综合 题型7.两直线的交点与二元一次方程组的解 题型8.图象法解二元一次方程组 题型9.求直线围成的图形面积 题型10.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、一次函数解决实际问题的一般步骤 审.读懂题意，区分自变量、因变量，明确已知量、未知量； 列.根据题目等量关系，列出一次函数解析式 y=kx+b(k≠0)； 限.结合现实意义，写出自变量取值范围； 解.联立解析式求交点、解方程、解不等式，求出临界值； 答.结合临界值与自变量范围，分类讨论，写出完整答案。 ★提示：实际问题自变量不能取全体实数，必须满足生活情境要求。 知识点二、一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数与二元一次方程的关联 (1)任何一个二元一次方程，都可以通过变形转化为y=kx+b(k≠0)的一次函数形式，因此每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线； (2)一次函数y=kx+b的图象（直线）上，每一个点的坐标（x,y）,都是对应二元一次方程的一组解，反之，以二元一次方程的一组解（x,y）为坐标的点，一定在该二元一次方程对应的直线上。 知识点三、一次函数与二元一次方程组 1.平面直角坐标系中，两条直线两个一次函数 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的交点坐标(x,y)，即为方程组的唯一解，二者可以等价互换。 2.直线位置与方程组解对应关系 相交: ，方程组有且只有1组解； 平行：=,,方程组无实数解； 重合：=,=,方程组存在无数组解。 知识点四、二元一次方程组的图象解法 1.二元一次方程组的图象解法的含义： 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法。 2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤： （1）把方程组中的两个二元一次方程化为一次函数的形式： =k1x+b1 ,和=k2x+b2; (2)建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象。 （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值。 ✺题型精讲 题型1.分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．为保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划购买A、B两种类型的羽毛球拍．已知A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍．那么最省钱的购买方案是（   ） A．买22副A种球拍和8副B种球拍 B．买21副A种球拍和9副B种球拍 C．买20副A种球拍和10副B种球拍 D．买19副A种球拍和11副B种球拍 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设购买A型球拍x副，则B型球拍为副，根据题意，A型数量不少于B型的2倍，即，解得，设总费用为，求出关于的函数解析式，再由一次函数的性质求解． 【详解】解：设购买A型球拍x副，B型球拍为副， 根据题意，， 解得， 设总费用为，则。 ∵，总费用随x增大而增加，因此当x取最小值20时费用最低， ∴当时，B型球拍为10副， 故选：C． 2．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 3．某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种月工资方案： 方案一：每月底薪元，每完成一单外卖业务再提成元． 方案二：每月无底薪，每完成一单外卖业务提成元． 设骑手每月完成的外卖业务量为单（为正整数），方案一、方案二中骑手的月工资分别为、元． (1)分别写出、关于的函数表达式； (2)若小林是此外卖平台的一名骑手，从月工资收入的角度考虑，他应该选择哪种月工资方案？说明理由． 【答案】(1)（为正整数），（为正整数） (2)每月完成订单不足单选方案一；每月恰好完成单，两种方案均可；每月完成订单超过单选方案二． 【分析】（1）根据两种工资方案的底薪、提成规则，直接列出、对应的一次函数表达式． （2）分别列出、、三种关系式，依次解不等式、方程，结合为正整数的条件分类说明对应选择的方案． 【详解】（1）解：（为正整数），（为正整数）； （2）解：①当时，， 解得， ∴当月完成单时，两种方案月工资相等． ②当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量小于单时，方案一月工资更高． ③当时，， 解得， ∵为正整数， ∴当月完成订单数量大于单时，方案二月工资更高． 题型2.最大利润问题(一次函数的实际应用) 1．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下关系：设该商品的销售价为x元，售量为y件，估计当x＝137时，y的值可能为（    ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．63 B．59 C．53 D．43 【答案】D 【分析】通过待定系数法求出y与x的函数关系式，再将x＝137代入求解． 【详解】解：设售量y件与销售价x元之间的关系为y＝kx+b， 将x＝90，y＝90与x＝100，y＝80分别代入可得：， 解得， ∴y＝﹣x+180， 将x＝137代入可得y＝43， 故选：D． 【点睛】此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数解析式． 2．马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 3．某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按元/件的价格出售，设该公司购买甲种道具件，付款元，与之间的函数关系如图所示， (1)求与之间的函数解析式； (2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值． 【答案】(1) (2)购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设购买甲道具件，先求出a的取值范围，再设该公司付款总金额为元，列出w关于a的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为，         则，解得， 即；                 当时，设函数解析式为，则， 解得 即，                             综上可知，； （2）解：设购买甲道具件，则 ， 解得，     设该公司付款总金额为元，则      ， 随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即购买甲道具件，购买乙道具件时，该公司付款总金额最少为元． 题型3.行程问题(一次函数的实际应用) 1．周末，小陆一家从家出发开车前往一研学基地游玩，经过服务区休息片刻，然后继续驾车驶往目的地．汽车行驶路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，下列判断不正确的是（     ） A．他们在服务区休息了20分钟 B．在服务区休息前的行驶速度比休息后快 C．他们出发80分钟后到达服务区 D．小陆家距离基地350千米 【答案】D 【分析】根据函数的图象，结合速度，路程，时间的关系求解即可； 【详解】解：A. 他们在服务区休息了分钟，正确，不符合要求； B. 休息前的速度为，休息后的速度为，故在服务区休息前的行驶速度比休息后快，正确，不符合要求； C. 他们出发80分钟后到达服务区，正确，不符合要求； D. 小陆家距离基地225千米，原说法错误，符合要求； 2．小石骑自行车从家里出发到达甲地，下车游玩一段时间后，按照原速度继续骑行．骑行过程中，行驶的路程（单位：）与离家时间（单位：）近似满足一次函数关系，行驶的路程与离家时间的函数图象如图所示，则离家2小时后，与的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】根据图象第一段求出小石骑行的速度，由题意知离家2小时后骑行速度不变，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：由图象可知，当时，函数图象经过原点和， 则小石骑行的速度为， 则此段内一次函数的比例系数为， 离家2小时后，小石按照原速度继续骑行，比例系数保持不变，仍为， 设离家2小时后，， 函数图象经过点，将点代入， 解得， ∴． 3．已知A，B两地相距256千米，早上9点甲车从A地出发去B地，20分钟后，乙车从B地出发去A地．两车离开各自出发地的路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示． (1)求乙车的与的函数关系式； (2)几时几分两车相遇？相遇时离B地的路程多少？ 【答案】(1) (2)两车在相遇，相遇时离B地的路程为140.8千米 【分析】（1）运用待定系数法求出甲车的函数关系式，进而求出两图象的交点，即可求出乙车的函数关系式； （2）相遇时两车行驶的路程之和等于总路程，据此建立方程求解，再根据相遇时两车距B地的距离为乙车行驶的路程解答． 【详解】（1）解：设甲车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为， 由图可得，该函数图象过点， ∴，解得， ∴甲车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为． 由图象可得，两车的图象在处相交， 当时，， ∴乙车的图象过点． 设乙车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为， 由图可得，该函数图象过点，， ∴，解得， ∴乙车离开出发地的路程y关于时间x的函数关系式为． 当乙车到达A地时，， ∴，解得， ∴乙车行驶的时间x的取值范围为， ∴乙车的与的函数关系式为． （2）解：当两车相遇时，， ∴， 解得， ∵甲车从早上出发，1.8小时小时48分钟， ∴， ∴两车在相遇． 相遇时，两车距B地的距离为乙车行驶的路程， 当时，， ∴相遇时离B地的路程为140.8千米． 题型4.梯度计价问题 1．某自来水公司为鼓励居民节约用水，采用月用水量分段收费办法．某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示，若该用户本月用水21吨，则应交水费（     ） A．53元 B．52元 C．51元 D．50元 【答案】A 【分析】当时，可设，结合图形，利用待定系数法即可求出与的函数解析式；将代入以上所求的函数解析式中，求出值，即可得出答案． 【详解】解：设， 由图可得， 所以， 所以， 当时，（元）． 2．出租车起步价为16元，超过3千米后，每千米3元，已知乘坐的里程数为千米（），对应支付的价格为元，求与的函数解析式___________； 【答案】 【分析】当时，总车费等于起步价加上超过3千米部分的费用，根据该数量关系列式化简，即可得到函数解析式． 【详解】解： 由题意可知，起步价为16元，超过3千米后每千米收费3元， 超过3千米的里程为千米， 超过部分的费用为元， 总费用等于起步价加上超过部分的费用， ∴ ， 化简得： ， 因此函数解析式为． 3．为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 题型5.其他问题(一次函数的实际应用) 1．移动公司为王爷爷的手机办理了元“乐享”套餐．该套餐每月的通话费用（单位：元）与通话时间（单位：）的关系如图所示．则该套餐每月不超过元计费的通话最长时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察函数图像可知，当通话时间在一定范围内时，费用固定为元，超过该范围后费用随时间增加而增加．要求不超过元计费的最长时间，即求费用时对应的最大值．利用图像中上升线段经过的两点和求出该段函数解析式，再令求解即可． 【详解】解：设当通话时间超过套餐包含时长后，与的函数关系式为． 图像经过点和， ， 解得， 该段函数解析式为． 令，则， 解得． 由图像可知，当时，；当时，． 该套餐每月不超过元计费的通话最长时间是． 2．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机．如图2，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，（m）与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第____________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【分析】根据待定系数法求出，联立和得到答案． 【详解】解：由得， 观察图象得，， ∵经过原点， ∴设， 将代入得，，解得， ∴， 联立和得，，解得， ∴在第秒时1号和2号无人机在同一高度． 3．某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66件时，销售金额为多少？ 【答案】1125元 【详解】解：由图象，当时，设函数解析式为， 把点和点代入可得：，解得， ， ∴当时，． 答：当销售量为66件时，销售金额为1125元. 题型6.一次函数与几何综合 1．如图，一次函数的图象经过点，，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据函数解析式求出点，的坐标，再求出一次函数与轴交点的坐标，过点作轴，过点作轴，最后根据即可求出结果． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴一次函数与轴交点，如图所示： 过点作轴，过点作轴， ∴，，， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 3．直线与直线交于点， (1)求，的值； (2)若与轴的交点为，点为轴上的点，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将点代入，得，将点代入，得； （2）由题意与轴交点的坐标为，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点代入，得； ，． （2）由题意与轴交点的坐标为， ， ． ． 点的坐标为或． 题型7.两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，再由一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：将代入和，可得 解得， ∴ ∴ ∴直线和直线的交点为， 即方程组的解为， 即方程组的解为． 2．已知一次函数（为常数，且）与的图象交于点，则关于、的二元一次方程组的解是__________． 【答案】 【分析】先求出点，再根据两条直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解解答即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴点． ∵一次函数与的图象经过点， ∴二元一次方程组的解是． 3．周末小弘同学去某草莓园摘草莓，为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案： 甲方案：游客进园需购买20元的门票，采摘的草莓按原价的八折收费； 乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后10千克以内的部分按原价收费，超过的部分按原价的六折收费． 设小弘同学的采摘量为x千克，甲方案所需总费用为元，乙方案所需总费用为元． (1)草莓园内每千克草莓的原价是____________元；若小弘同学的采摘量为15千克，按照甲方案付款，小弘同学所需总费用是____________元； (2)当采摘量超过10千克时（），分别求出、关于x的函数表达式； (3)请求出图中点P的坐标，并简要说明点P表示的实际意义； (4)若你去摘草莓，当采摘量超过10千克时，你认为哪种方案实惠？请直接写出你的答案． 【答案】(1)40，500 (2)， (3)点P表示当采摘量为17.5千克时，甲、乙两种方案花费一样多，均为580元； (4)当采摘量超过10千克时， ∵当采摘量为17.5千克时，甲、乙两种方案花费一样多， ∴当时，，甲方案划算； 当时，，乙方案划算； 当时，，两种方案一样． 【分析】（1）根据题意，结合函数图象得到每千克草莓的原价，根据甲方案计算费用即可； （2）根据甲、乙方案进行计算即可； （3）根据图形，联立方程组求解即可； （4）根据（3）的计算，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：采摘的草莓在10千克以内按原价收费， ∴元， 小弘同学的采摘量为15千克，按照甲方案付款， ∴元； （2）解：甲方案所需总费用为元，乙方案所需总费用为元， ∴， ∵乙方案：采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后10千克以内的部分按原价收费，超过的部分按原价的六折收费， ∴； （3）解：根据图示，点P的横坐标大于10， ∴，解得，， ∴点P表示当采摘量为17.5千克时，甲、乙两种方案花费一样多，均为580元； （4） 解：略． 题型8.图象法解二元一次方程组 1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 2．如图，函数，的图象交于点P，若，则______． 【答案】 【分析】数形结合思想，图象法求解． 【详解】如图，时，对应图象交点，所以； 故答案为： 【点睛】本题考查两个一次图象交点与方程组的联系，图象法求解，理解点坐标与方程（组）的联系是解题的关键． 3．已知函数的图象如图所示， (1)用“两点法”在平面直角坐标系中画出的图象； (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)解：列表： 描点、连线画出的图象如下： (2) 【分析】（1）根据“两点法”，结合函数图象作图步骤画出的图象即可； （2）根据图象的交点坐标即可得出结论． 解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质，以及数形结合思想． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图象可知，函数与的交点坐标为， 方程组的解为． 题型9.求直线围成的图形面积 1．直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】先求出直线与轴、轴的交点坐标，利用交点坐标得到直角三角形两条直角边的长度，再代入三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， ∴直线与轴的交点坐标为， 令，则， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， ∵坐标轴互相垂直， ∴围成的三角形是直角三角形， ∴直线与坐标轴围成的三角形面积为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，且的面积为． （1）的值为__________； （2）为第二象限内的一点，连接，交轴于点，且，连接，则的面积为___________． 【答案】 6 【分析】本题考查一次函数的图象与性质及三角形面积的计算，关键是利用一次函数与坐标轴的交点坐标及三角形面积公式求解参数，再通过直线解析式确定点的坐标，进而利用割补法计算三角形面积． （1）先根据直线与轴的交点求出的长度，结合的面积求出的长度，得到点的坐标，将点坐标代入直线解析式即可求出的值； （2）先根据的长度确定点的坐标，利用、两点坐标求出直线的解析式，代入点的纵坐标求出点的横坐标，最后将的面积拆分为两个以为底的三角形面积之和，计算得出结果． 【详解】（1）解：∵直线交轴正半轴于点， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴，解得， ∴． 将代入得，解得； 故答案为：． （2）解：∵在轴上，， ∴． 设直线的解析式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的解析式为． ∵在直线上， ∴，解得， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，且与直线相交于点． (1)求和的值． (2)直线与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入直线可得的值，把代入直线可得的值； （2）直线和直线中令可得点和点的坐标，结合点的坐标可求得的面积． 【详解】（1）解：直线经过点， ， ， 把代入直线得，，即， 解得； （2）解：直线与轴交于点， 令，有， 解得， ， 直线与轴交于点， 令，有， 解得， ， ． ✺巩固测试 一、单选题 1．永州市内货摩（运货的摩托）的运输价格为：2千米内运费5元；路程超过2千米的，每超过1千米增加运费1元，那么运费y元与运输路程x千米的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据货物运输的运费规则，分情况讨论不同路程段的函数表达式，进而判断函数图象． 【详解】解：当时，运费元保持不变，函数图象是一条平行于x轴的线段，、C、D选项在该区间函数值是变化的，所以C、D选项不符合题意； 当时，超过2千米的部分为千米，每超过1千米增加运费1元，则运费，y随x的增大而增大， 因此，只有选项B符合上述分析的图象特征，所以B符合题意． 2．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案， 故选：C． 3．某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费． 【详解】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，总花费为元， ∵购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴的最小取值为， 甲种图书单价为元，乙种图书单价为元， ∴总花费， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值，元， ∴本次购买本图书最少花费为1215元． 4．今年端午节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为（米），与之间的函数关系如图．下列说法正确的是（     ） A．小明中途休息用了60分钟 B．第90分钟时，小明所走路程为2000米 C．小明休息后爬山的平均速度为每分钟30米 D．小明在上述过程中所走的路程为3000米 【答案】D 【分析】根据函数图象获得信息，再逐一分析选项即可． 【详解】解：根据图象可知，到这一段时间，不变， 故小明中途休息用了分钟，A选项错误； 休息后走的路程为米，时间为分钟， 则休息后爬山的平均速度为米每分钟，C选项错误； 从第60分钟到第90分钟，休息后走的路程为米， 小明所走路程为，故B选项错误； 根据图象可知，终点纵坐标为3000，代表全程总路程3000米，故D选项正确． 二、填空题 5．如图，已知点，，若直线与线段有公共点，则的范围为_______． 【答案】 【分析】计算可得点在直线上方，只要使得点在直线上或者下方即可． 【详解】解：当时，， ∴要使得直线与线段有公共点，则． 6．如图，在平面直角坐标系中，两直线与，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的解与一次函数图象交点坐标的关系，直接观察图象得出两直线交点的坐标即可求解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点坐标为， 根据一次函数与二元一次方程组的关系，两直线交点的坐标即为对应二元一次方程组的解， 方程组的解是． 7．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 8．为了更合理地反馈一个学生的学习情况，某班级对学生的原始分进行转换，一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是50分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足（），原始分100分转换后为100分，原始分50分转换后为60分．若某同学转换后的分数比原始分多5分，则转换后的分数是________． 【答案】80 【分析】先根据已知的两组原始分与转换分，得到关于和的二元一次方程组，解方程组得到与的一次函数解析式，再根据转换后分数比原始分多分列方程，即可求解转换后的分数. 【详解】解：根据题意，把和分别代入， 得， 由第一个方程减第二个方程，得， 解得， 把代入， 得， 解得， 因此与的函数关系式为． 设该同学的原始分为， 根据题意得， 将代入， 得， 移项，合并同类项得， 解得， ． 故答案为． 三、解答题 9．已知一次函数的图像与坐标轴分别交于点A，B，函数 与的图像交于点，如图所示． (1)填空： __________，__________； (2)求直线和直线与x轴所围成的的面积； (3)根据图像，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）先把代入中可求得，则，然后把P点坐标代入中可求出k的值； （2）先确定，然后根据三角形面积公式计算； （3）结合函数图像，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：一次函数的图像经过点， ， 解得， 点． 函数的图像经过点， ， 解得． （2）当时，， 解得， 点， ，点P到x轴的距离是4， ； （3）观察图像可知，当时，． 10．为改善环境质量，推动绿色发展，某企业响应政府号召决定购买甲，乙两种型号垃圾处理器共21台．已知甲型号垃圾处理器的单价为16万元，购买乙型号垃圾处理器所需费用（万元）与购买数量（台）之间的函数关系如图所示． (1)求与的函数解析式，并写出的取值范围； (2)已知购买乙型号垃圾处理器的数量不少于甲型号垃圾处理器数量的一半，求购买21台垃圾处理器的最少费用． 【答案】(1) (2)购买这21台垃圾处理器的最少费用是380万元 【分析】（1）根据函数图像分别求出当时的解析式和当时的解析式，即为与的函数解析式； （2）设购买x台乙型号垃圾处理器，则购买台甲型号垃圾处理器，根据甲、乙两种处理器数量之间的关系列不等式求出x的取值范围，根据购买处理器的费用与处理器的数量之间的关系可得：，根据x的取值范围求出最小值即可． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为， 将点代入解析式，可得：，解得：， ， 当时，设函数解析式为， 将点，代入解析式， 可得：，解得：， ， 综上所述，y关于x的函数解析式为． （2）解：设购买x台乙型号垃圾处理器，则购买台甲型号垃圾处理器， 根据题意可得：，解得：， 设购买21台垃圾处理器的费用为w万元， 依题意得：， ， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最小值，此时万元． 答：购买这21台垃圾处理器的最少费用是380万元． 11．如图，B是直线在第一象限的一个动点，，设的面积为S，点B的横坐标为x． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围． (2)在已给的图中画出S与x之间函数关系式的图象． (3)当的面积时，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求得S与x的函数关系式； （2）当时，；当时，，即图象过点和，再利用“两点确定一条直线”，且根据，来画一次函数的图象即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：点B在直线上，点B的横坐标为x， 设； 当时，解得， 直线与轴的交点坐标为； 又点B在第一象限， ． ， ，即． （2）略 （3）解：当时，即，解得， ， 点B的坐标是． 12．已知：一次函数 (1)若函数图象过，求此函数的解析式． (2)若函数图象与直线平行，求该函数的解析式． (3)求满足（2）条件的直线与的交点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，把代入求出m的值即可得到一次函数解析式； （2）根据两直线平行的条件得到，解出m=1，从而可确定一次函数解析式． （3）两直线的解析式联立方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：因为函数的图象与直线平行， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． （3）解：联立方程组得， 解得， ∴两直线的交点为． 13．某校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x ... 0 1 2 ... y ... 0 m 2 1 0 ... 其中，表格中m的值为 ； ②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出以对应值为坐标的点； ③连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质：①当 时，函数有最大值，最大值为 ； ②写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，不等式的解集为 ； (4)若方程无解，则n的值（或取值范围）为 ． 【答案】(1)①； ②描点如图： ③连线如图： (2)①，；②当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小（答案不唯一） (3) (4) 【分析】（1）①将代入计算即可得出结果；②根据表格的数据描点即可；③根据②中描的点，连线即可； （2）根据函数图象即可得出结果； （3）根据函数图象即可得出结果； （4）根据函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：①将代入，即； ②略： ③略； （2）解：观察函数的图象，探索函数性质： ①当时，函数有最大值，最大值为； ②该函数的其它性质当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：由图象可得不等式的解集为； （4）解：∵方程无解， ∴结合函数图象可得：n的取值范围为． 14．2022年4月，上海发生疫情，各地纷纷支援．杭州迅速组织名医护人员和抗疫物资连夜出征行驶驰援上海同心抗疫．如图，运输防疫物资的货车和载有医护人员的客车先后从杭州出发驶向上海，线段表示货车离出发地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系，折线表示客车离出发地的距离y（）与时间x（）之间的函数关系． (1)求线段对应的函数关系式； (2)客车从杭州出发后经过多长时间追上货车？ 【答案】(1)（） (2) 【分析】（1）由图像可知线段符合一次函数，用待定系数法求解即可，这里要注意的取值范围； （2）由图像可知线段符合一次函数，用待定系数法求出线段对应的函数关系式，求出线段和线段交点的横坐标，即为货车出发后被客车追上的时间，再减去客车从杭州出发的时间即为所求． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为（且）， 代入和得， 得，解得， 把代入①得， 解得， 故线段对应的函数关系式为（）； （2）解：设线段的函数关系式为（）， 代入得，解得， 故线段的函数关系式为（）， 联立线段和线段的函数关系式得， 解得，即货车出发后两车相遇， 由图可知客车比货车晚出发， （）， 答：客车从杭州出发后经过追上货车． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $