专题2.3 实数（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题2.3 实数 【本节预习目标】 1.理解无理数和实数的概念，掌握实数的两种分类方式，能准确区分有理数与无理数。 2.理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单的无理数，会比较实数的大小。 3.掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，能正确进行实数的混合运算与化简。 4.能用夹逼法估算无理数的大致范围，培养数感与估算能力，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数；可分为正有理数、0、负有理数 数系扩充：引入无理数后，有理数与无理数共同组成实数，分类方法类比迁移 平方根与立方根 开方开不尽的数的方根是无限不循环小数 无理数的重要来源；为实数的运算、估算提供计算基础 数轴与有理数 有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数 拓展延伸：实数与数轴上的点一一对应，完善数轴的数系覆盖 有理数的运算 加、减、乘、除、乘方运算法则与运算律 运算一致性：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用 知识点1：无理数与实数的概念 1.无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 常见的三类无理数： 开方开不尽的数的方根，如、等； 含的一类数，如、、等； 有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个1之间依次多一个0）。 2.实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类： 按正负性分类： 知识点2：实数的性质与运算 1.实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.实数的相关概念 概念 文字定义 核心结论与数学表达 相反数 只有符号不同的两个实数互为相反数；规定0的相反数是0 ①实数的相反数记作； ②若，互为相反数，则； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，即 绝对值 数轴上表示实数的点与原点的距离，叫做实数的绝对值 ①； ②任意实数的绝对值都是非负数，即 倒数 乘积为1的两个实数互为倒数 ①非零实数的倒数为； ②0没有倒数； ③若，互为倒数，则 3.实数的大小比较 数轴比较法：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大； 符号比较法：正实数负实数；两个负实数比较，绝对值大的反而小； 平方法：对于正数a,b，若，则，常用于比较含根号的无理数。 4.实数的运算 运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，非负实数可开平方，任意实数可开立方； 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右； 运算律：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 【基础巩固题型】 【题型1】无理数的概念辨析 1.核心知识点 无理数的定义；三类常见无理数 2.解题方法技巧 ①遵循“一化简、二辨析、三判断”原则，先对含根号、含绝对值的数化简，再根据定义判断； ②牢记三类典型无理数，注意带根号的数不一定是无理数（如），无限小数也不一定是无理数（如循环小数）； ③分数都是有理数，不是分数，含的数通常是无理数。 【例题1】.（25-26七年级下·广东珠海·期末）在下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项是有限小数，属于有理数； B选项，是整数，属于有理数； C选项是分数，属于有理数； D选项是无限不循环小数，属于无理数. 【变式题1-1】.（25-26七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】无理数是无限不循环小数． 【详解】解：选项A：是无限不循环小数，属于无理数，符合题意； 选项B： ，结果是整数，属于有理数，不符合题意； 选项C：0是有理数，不符合题意； 选项D：，结果是整数，属于有理数，不符合题意． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·湖南娄底·期末）在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】无理数的定义：无限不循环小数是无理数，逐一判断给出的数即可得到结果． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个1之间逐次增加一个5）是无限不循环小数，属于无理数。 因此无理数的个数有个． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林松原·期末）在，，，，，中，无理数的个数是（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据无理数定义，逐个判断给出的数，统计无理数个数即可． 【详解】无理数定义为无限不循环小数， ∵是整数，是整数，是分数，都属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； 是无限不循环小数，属于无理数. ∴ 无理数共个． 【题型2】实数的分类 1.核心知识点 实数的两种分类标准；有理数与无理数的边界 2.解题方法技巧 ①分类前先对所有数进行化简，再根据最终结果归类； ②按定义分类时，做到不重复、不遗漏，0单独归类； ③按正负分类时，0既不是正实数也不是负实数，负无理数也属于负实数。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的框内： ，，，，0，，，，． 实数 有理数 无理数 【答案】有理数：，，，0， 无理数：，，， 【详解】解：先化简， 有理数：，，，，； 无理数：，，，； 实数 有理数 ，，，， 无理数 ，，， 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分数属于有理数，故正确表示它们之间的关系是A选项图形． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 【题型3】实数的相反数、绝对值、倒数 1.核心知识点 相反数、绝对值、倒数的定义；实数的符号判断 2.解题方法技巧 ①求多项式形式实数的相反数时，整体加负号再去括号，如的相反数是； ②去绝对值先判断绝对值内式子的正负，正数直接去绝对值，负数变号； ③求倒数时，非零实数都有倒数，0没有倒数，无理数的倒数可通过分母有理化化简。 【例题3】.（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【答案】 【详解】解：的相反数为. ， ，则 ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）4的平方根是_____；的相反数是_____． 【答案】 【分析】根据平方根的定义和相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； 的相反数是． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北保定·期中）根据各题叙述进行计算． (1)若实数，互为相反数，，互为倒数，是49的平方根，求的值． (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得，，，再进一步代入计算即可． （2）先估算与，可得的值，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可得，，． 当时，原式 ； 当时，原式 ． （2）解：，即， 的整数部分为5， ． ，即， 的整数部分为3， ， ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）在数轴上点表示的数为，点在点的左侧，且点与点之间的距离为5，点表示的实数为． (1)化简：； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）根据题意，得，利用绝对值的定义化简求解即可； （2）根据相反数的性质，非负数的性质，算术平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 所以； （2）解：因为与互为相反数， 所以． 又因为， 所以， 解得， 所以， 所以的算术平方根为6． 【题型4】实数大小的比较 1.核心知识点 实数大小比较的基本法则；平方法比较无理数 2.解题方法技巧 ①先按符号分类：正数>0>负数，快速排除部分选项； ②两个正无理数比较，常用平方法：被开方数越大，算术平方根越大； ③两个负数比较，先比较绝对值，绝对值大的反而小。 【例题4】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）下列实数中，最小的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴在这四个实数中，最小的为． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）：__________4． 【答案】 【分析】统一形式后进行比较大小． 【详解】解：∵，且， ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值，立方根进行求解即可； （2）根据实数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】（1）解：，，， ∵d是2的算术平方根， ∴； （2）解：∵，，，， ∴， 即． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【答案】(1) (2) 理由：三个数为、、，三个数均为正数， ∵，， ∴， ∴． 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出；根据立方根等于本身的数为，求出；根据算术平方根的整数部分和小数部分确定方法求出； （2）先求出三个数，再根据无理数的大小比较方法解答即可． 【详解】（1）解：∵有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和， ∴， 解得； ∵，立方根等于本身的数为， ∴， 将代入得：，解得； ∵， ∴的整数部分为，小数部分； （2）略 【题型5】无理数的估算与整数、小数部分 1.核心知识点 夹逼法估算无理数；整数部分与小数部分的定义 2.解题方法技巧 ①找到与被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数介于哪两个整数之间； ②整数部分即为较小的整数，小数部分=原数-整数部分，小数部分恒为非负数； ③对于“”“”形式的数，先估算的范围，再推导整体的范围。 【例题5】.（25-26七年级下·河南许昌·期末）估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】用夹逼法估计无理数的大小，找到紧邻23的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即 ， 因此在4到5之间． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河北保定·期末）若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】估算出即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，且是正整数， ∴． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)填空： ． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)的算术平方根是4 【分析】根据平方根与立方根的性质求出的值，再利用二次根式的估算求出的值． 【详解】（1）解：∵与是一个正数的两个不同的平方根， ∴，解得． （2）解：∵的立方根为， ∴，解得， ∵， ∴； ∴， ∴的算术平方根是4． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【答案】(1)2；3 (2)3； (3) 【分析】（1）利用夹逼法即可解答； （2）利用夹逼法求得的取值范围，即可得到的整数部分和小数部分； （3）利用夹逼法求得的整数部分和的小数部分，代入即可解答． 【详解】（1）解：， ，即， ，； （2）解：， ，即， 的整数部分是，小数部分是； （3）解：， ，即， 的整数部分， ，即， 的整数部分为，小数部分， ． 【培优提升题型】 【题型6】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应；数轴上的距离计算；代数式化简 2.解题方法技巧 ①数轴上两点间的距离=右边的数-左边的数，即两点表示的数之差的绝对值； ②根据数轴上点的位置，判断各代数式的正负，为绝对值、二次根式化简提供依据； ③利用几何作图（如正方形边长）可在数轴上表示、等无理数。 【例题6】.（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，小康将直径为的圆形铁片放在数轴上，圆形铁片上的点 与数轴上的原点 重合．将圆形铁片沿着数轴滚动一周，点 到达点的位置，此时设点在数轴上表示的数为，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，用到的知识点是数轴的特点及圆的周长公式，根据圆的直径得到圆的周长，即之间的距离，掌握点的移动与点表示的数之间的关系是解题的关键．先利用圆的周长公式求出滚动一周后点表示的数，再结合平方根的性质和绝对值的性质(依据数的正负确定绝对值化简结果)，对式子进行化简计算，最终得出结果． 【详解】解：∵直径为个单位长度的圆形纸片上的点放在数轴的原点上，纸片沿着数轴向左滚动一周，之间的距离为圆的周长， ∴圆的周长为π， ∵是向右滚动了一周， ∴点对应的数是， 即， ∴ ． 故选：C． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，将面积分别为3和2的两个正方形放在数轴上，使每个正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________，线段的长度为________； (2)一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了3个单位长度到达点C，则点C表示的数________； (3)求的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，实数的运算，实数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形面积计算公式可得两正方形的边长，进而可得点A和点B到原点的距离，据此可得答案； （2）用点B表示的数减去移到的距离即可得到答案； （3）根据（2）所求，先化简绝对值，再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，点A到原点的距离等于面积为3的正方形边长，即为，点B到原点的距离等于面积为2的正方形边长，即为， 又∵点A在原点左侧，点B在原点右侧， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴； （2）解：由题意得，； （3）解：∵， ∴ ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【答案】(1)2，3 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点D表示的数； （3）设点D与数对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：， ∵， ∴， ∴的长在2和3之间； 故答案为：2，3； （2）解：把图1中的正方形放到数轴上，使得点A与重合，则点D在数轴上表示的数为：； 故答案为：； （3）解：设点D与数对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【答案】(1)边长为；这个值在3与4之间 (2) (3) 【分析】（1）先根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）先根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，根据每次翻滚增加正方形边长，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为； 正方形的边长为； ， ， 这个值在3与4之间； （2）解：由（1）可知，， ； （3）解：点A表示的数为1，正方形的边长为， 点表示的数为：； ∵正方形的边长为， 第一次翻滚后点表示的数为：； 第二次翻滚后点对应的数为： 依题意，经过2025次翻滚后数轴上的点重合，则点表示的数为： 【题型7】实数的混合运算 1.核心知识点 平方根、立方根运算；绝对值化简；实数运算顺序与运算律 2.解题方法技巧 ①先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内； ②去绝对值时先判断符号，再正确变形；注意，的区别； ③合理运用运算律简化计算，最终结果能化简的要化为最简。 【例题7】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值、零指数幂、乘方，再计算加减即可得出结果； （2）根据整式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算立方根与算术平方根、乘方，再计算加减法即可； （2）先计算乘方、立方根与算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知：，．求：的值． 【答案】 【分析】对进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解： 把，代入可得 原式． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】情境中的实数应用 1.核心知识点 正方形、圆形面积公式；实数运算的实际意义 2.解题方法技巧 ①结合传统工艺、几何图形的实际背景，根据面积、体积公式列算式； ②涉及开方运算时，结合实际意义取正根，舍去负根； ③方案可行性判断类问题，通过计算比较尺寸大小，得出结论。 【例题8】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【答案】该运动员的跑步速度是米／秒 【分析】根据题意得到，，将上述数据代入公式即可求得跑步速度． 【详解】解：，代入， 得， ∴该运动员的跑步速度是米／秒． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【答案】(1)20； (2)4． 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为4、16， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， ，， 长方形的周长为； （2）解：， 即图中两块阴影部分的面积之和为4． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由：设长方形纸片的宽为，则长为，由题意得：， 解得（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴不能剪出这样的长方形． 【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用、正方形与长方形的面积计算． （1）抓住“剪拼前后图形总面积不变”的核心，得到大正方形的面积，再通过正方形面积公式求边长． （2）通过设长方形纸片的宽为，长为，根据长方形的面积列方程得到长方形的长和宽，判断裁剪的可行性． 【详解】（1）解：∵小正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的面积为， ∴大正方形纸片的边长为； 故答案为：； （2）略 【变式题8-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【答案】(1) (2)解：设长方形纸片的长为，宽为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长为， ， ∴王芳的想法不可行． (3)解：∵一共有5个边长为1的小正方形，组成的大正方形的面积为5， ∴该大正方形的边长为，示意图如下： 【分析】（1）根据题意得到大正方形面积，即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得的值，根据，即可得出结论； （3）一共有个小正方形，那么组成的大正方形的面积为，边长为，据此画出示意图即可． 【详解】（1）解：设大正方形的边长为a，则：， 因为边长为正数，所以． （2）略 （3）略 【压轴素养题型】 【题型9】实数运算的规律探究 1.核心知识点 二次根式的运算；归纳推理；裂项相消思想 2.解题方法技巧 ①先计算前3-4个特殊式子的结果，观察数字变化的共性与递变规律； ②从特殊到一般，用含正整数的式子表示通用规律，并用代数运算验证； ③求和类规律题常涉及裂项相消，中间项相互抵消，只剩首尾两项计算。 【例题9】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）略 （2）解：理由如下： ； （3）解：原式． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3)，过程见解析 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行解答即可； （2）根据题目中的式子找出一般规律即可； （3）将变形为，然后再根据解析（2）中得出的规律进行运算即可． 【详解】（1）解：由题目中的例子可知， 第6个等式为：； （2）解：； ； ； …… 用n（n为正整数）表示的等式为：． （3）解： ． 【变式题9-2】.（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）略 【变式题9-3】.（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 【题型10】新定义下的实数运算 1.核心知识点 新定义规则的理解；实数的混合运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则、取整规则，明确运算优先级； ②将新定义问题转化为常规的实数运算，按规则逐步代入计算； ③多层嵌套的新定义运算，遵循从内到外的顺序逐层计算。 【例题10】.（26-27九年级·全国·暑假作业）对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： (1)_____； (2)若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算定义代入计算即可； （2）根据运算定义将不等式组转化为一元一次不等式组并求解，再根据“只有个整数解”得出关于m的不等式组再求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， ∵不等式组只有个整数解， ∴个整数解为，， ∴， 解得：． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化成对数式，对数式可以转化成指数式，根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得；而，∴，认真阅读理解上述材料，解决以下问题： (1)填空： ①将指数式转化成对数式为________； ②将对数式转化成指数式为________； ③计算：________； (2)试说明： (3)计算：． 【答案】(1) ①；②；③ (2) 见解析 (3) 【分析】（1）根据所给的式子的形式进行求解即可； （2）根据对数的定义进行求解即可； （3）利用题干和（2）中结论涉及的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①将指数式转化成对数式为； ②将对数式转化成指数式为； ③计算：； （2）解：设，，则，， ∴， 由对数的定义得；而， ∴； （3）解： ． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·北京·期末）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【答案】(1)① ，；② (2) (3)或 【分析】（1）根据题干内容，模仿作答①②即可； （2）先结合四次方根以及绝对值的非负性，且，得，，故，，最后代入计算，即可作答． （3）先移项，然后方程两边同时除以3，整理得，即可作答． 【详解】（1）解：①根据题干给出的二次方根、三次方根、四次方根的定义，类比可得，若 ，则x叫a的五次方根，记作． ②∵， ∴32的五次方根为2． （2）解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 【答案】(1)；0.86， (2)① ；② 【分析】(1)根据表示不超过的最大整数，进行计算。 (2) 本题考查连分数近似的新定义运算。按照给定的递推规则，依次计算，再代入连分数近似公式求值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 即． （2）① 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ． (2) ② 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 连分数近似为， ， ， ． 易错点 1、概念认知误区：误认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数；忽略先化简再判断，导致分类错误。 2、绝对值化简失误：去绝对值符号时未先判断正负，尤其是含无理数的多项式形式，符号处理出错。 3、大小比较混淆：两个负实数比较大小时，直接根据被开方数判断，忽略“负数比较，绝对值大的反而小”的规则。 4、运算顺序混乱：实数混合运算中，开方、乘方的优先级处理错误，或随意使用运算律导致计算失误。 重点 1、无理数与实数的概念，实数的两种分类方法，能准确区分有理数与无理数。 2、实数的相反数、绝对值、倒数的意义，以及实数的混合运算与大小比较。 难点 1、无理数的估算方法，以及整数部分、小数部分的推导与相关代数式求值。 2、实数与数轴、几何、跨学科知识的综合应用，以及规律探究类问题的归纳推理。 一、单选题 1．在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此引发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断． 【详解】解：A．是无限不循环小数，是无理数； B．，是整数，属于有理数； C．是分数，属于有理数； D．是整数，属于有理数； 故选：A． 2．已知，则的值可以是 （     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出x的取值范围，再判断各选项的数是否满足范围即可． 【详解】解：∵， ∴根据绝对值的性质可得， 估算得， ∴， ∴， A选项，不满足，不符合要求； B选项，满足，符合要求； C选项，不满足，不符合要求； D选项，不满足要求，不符合． 3．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用平方数估算的取值范围，得到整数部分和小数部分，再代入代数式计算，结合选项得到结果． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分 ，小数部分 ， ． 二、填空题 4．实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 5．数据，，，，（每相邻两个之间增加一个），这个实数中无理数有______个． 【答案】 【分析】先化简题目中的根式，再根据无理数的定义判断每个实数，然后统计无理数的个数即可． 【详解】解：先对各实数进行化简判断：，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； （每相邻两个之间增加一个）是无限不循环小数，属于无理数， 综上，无理数共有个． 6．已知，则整数的值为___________． 【答案】 【分析】利用夹逼法确定的范围，即可求出整数的值，掌握无理数的估算方法是解题的关键. 【详解】解：， ，即， 整数满足， . 三、解答题 7．计算． 【答案】 【详解】解： ． 8．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根与立方根的定义列二元一次方程组求出的值，再利用二次根式的估算得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得  ， ， ， ， 的平方根是 的平方根是． 9．如图，在数轴上有面积分别为和的正方形，一边与数轴重合，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________； (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为，小数部分 ①根据材料，求点所表示数的小数部分； ②已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据正方形一边与数轴重合，一个顶与原点重合，可得出点A在原点的左侧，正方形的边长为，进而可得出点A的坐标． （2）①同（1）得出点B表示的数，再根据题干得出点所表示数的小数部分即可． ②根据题干得出x，y得值，然后再代入代数式求解即可． 【详解】（1）解：左边的正方形一边与数轴重合，一个顶与原点重合，且面积为6， 则点A在原点的左侧，正方形的边长为， ∴点表示的数为． （2）解：①， 的整数部分为3， ∴点所表示数的小数部分为， ②由①得， ， ， ． 10．【综合与实践】 如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． 【探究发现】 (1)求大正方形纸片的边长． 【拓展升华】 (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【数学理解】 (3)设小正方形纸片的边长值的整数部分为，小数部分为，求的平方根． 【答案】(1) (2)不能，理由如下： 长方形纸片的长宽之比为， 可设长方形的长和宽分别为，， ，即， 解得：或（舍负）， 长方形的长是， 不能裁剪出一个符合要求的长方形纸片； (3) 【分析】（1）先根据大正方形的面积是小正方形面积的2倍求得大正方形的面积，进而求得大正方形的边长即可； （2）设长方形的长和宽分别是，，根据剪出的长方形的面积列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解； （3）结合（1）小正方形纸片的边长和二次根式的运算得到小正方形纸片的边长的值的整数部分为，小数部分为，代入代数式求出代数式的值，再计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：大正方形的面积为：， 大正方形的边长为； （2）略 （3）解：根据题意可得小正方形纸片的边长为， ∵， ∴，， ， 的平方根为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 实数 【本节预习目标】 1.理解无理数和实数的概念，掌握实数的两种分类方式，能准确区分有理数与无理数。 2.理解实数与数轴上的点一一对应的关系，能在数轴上表示简单的无理数，会比较实数的大小。 3.掌握实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，能正确进行实数的混合运算与化简。 4.能用夹逼法估算无理数的大致范围，培养数感与估算能力，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 有理数的概念与分类 整数和分数统称为有理数；可分为正有理数、0、负有理数 数系扩充：引入无理数后，有理数与无理数共同组成实数，分类方法类比迁移 平方根与立方根 开方开不尽的数的方根是无限不循环小数 无理数的重要来源；为实数的运算、估算提供计算基础 数轴与有理数 有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数 拓展延伸：实数与数轴上的点一一对应，完善数轴的数系覆盖 有理数的运算 加、减、乘、除、乘方运算法则与运算律 运算一致性：有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用 知识点1：无理数与实数的概念 1.无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数。 常见的三类无理数： 开方开不尽的数的方根，如、等； 含的一类数，如、、等； 有规律但不循环的无限小数，如（相邻两个1之间依次多一个0）。 2.实数的定义与分类 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类： 按正负性分类： 知识点2：实数的性质与运算 1.实数与数轴的关系 实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。 2.实数的相关概念 概念 文字定义 核心结论与数学表达 相反数 只有符号不同的两个实数互为相反数；规定0的相反数是0 ①实数的相反数记作； ②若，互为相反数，则； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，即 绝对值 数轴上表示实数的点与原点的距离，叫做实数的绝对值 ①； ②任意实数的绝对值都是非负数，即 倒数 乘积为1的两个实数互为倒数 ①非零实数的倒数为； ②0没有倒数； ③若，互为倒数，则 3.实数的大小比较 数轴比较法：数轴上右边的点表示的实数总比左边的大； 符号比较法：正实数负实数；两个负实数比较，绝对值大的反而小； 平方法：对于正数a,b，若，则，常用于比较含根号的无理数。 4.实数的运算 运算范围：实数范围内可进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，非负实数可开平方，任意实数可开立方； 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；同级运算从左到右； 运算律：有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在实数范围内仍然适用。 【基础巩固题型】 【题型1】无理数的概念辨析 1.核心知识点 无理数的定义；三类常见无理数 2.解题方法技巧 ①遵循“一化简、二辨析、三判断”原则，先对含根号、含绝对值的数化简，再根据定义判断； ②牢记三类典型无理数，注意带根号的数不一定是无理数（如），无限小数也不一定是无理数（如循环小数）； ③分数都是有理数，不是分数，含的数通常是无理数。 【例题1】.（25-26七年级下·广东珠海·期末）在下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【变式题1-2】.（25-26七年级下·湖南娄底·期末）在，，，，（相邻两个之间逐次增加一个）中，无理数的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题1-3】.（25-26七年级下·吉林松原·期末）在，，，，，中，无理数的个数是（     ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型2】实数的分类 1.核心知识点 实数的两种分类标准；有理数与无理数的边界 2.解题方法技巧 ①分类前先对所有数进行化简，再根据最终结果归类； ②按定义分类时，做到不重复、不遗漏，0单独归类； ③按正负分类时，0既不是正实数也不是负实数，负无理数也属于负实数。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的框内： ，，，，0，，，，． 实数 有理数 无理数 有理数 ，，，， 无理数 ，，， 【变式题2-1】.（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）若用表示有理数，表示无理数，表示分数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·北京·期末）有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【题型3】实数的相反数、绝对值、倒数 1.核心知识点 相反数、绝对值、倒数的定义；实数的符号判断 2.解题方法技巧 ①求多项式形式实数的相反数时，整体加负号再去括号，如的相反数是； ②去绝对值先判断绝对值内式子的正负，正数直接去绝对值，负数变号； ③求倒数时，非零实数都有倒数，0没有倒数，无理数的倒数可通过分母有理化化简。 【例题3】.（25-26七年级下·天津·期中）的相反数是______，的绝对值是______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·福建厦门·期中）4的平方根是_____；的相反数是_____． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·河北保定·期中）根据各题叙述进行计算． (1)若实数，互为相反数，，互为倒数，是49的平方根，求的值． (2)若的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）在数轴上点表示的数为，点在点的左侧，且点与点之间的距离为5，点表示的实数为． (1)化简：； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的算术平方根． 【题型4】实数大小的比较 1.核心知识点 实数大小比较的基本法则；平方法比较无理数 2.解题方法技巧 ①先按符号分类：正数>0>负数，快速排除部分选项； ②两个正无理数比较，常用平方法：被开方数越大，算术平方根越大； ③两个负数比较，先比较绝对值，绝对值大的反而小。 【例题4】.（25-26七年级下·山东滨州·期末）下列实数中，最小的为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较下列实数的大小（填“”“”或“”）：__________4． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·河北沧州·期末）已知，，，d是2的算术平方根． (1)求a，b，c，d的值； (2)将a，b，c，d的值按照从小到大的顺序用“<”连接． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·四川广元·期末）有一个正数，它的两个互不相等的平方根分别是a和；代数式的立方根等于它本身，且；无理数的小数部分记作 c． (1)求a， b， c的值； (2)比较，，的大小，用“<”连接并说明理由． 【题型5】无理数的估算与整数、小数部分 1.核心知识点 夹逼法估算无理数；整数部分与小数部分的定义 2.解题方法技巧 ①找到与被开方数相邻的两个完全平方数（或完全立方数），确定无理数介于哪两个整数之间； ②整数部分即为较小的整数，小数部分=原数-整数部分，小数部分恒为非负数； ③对于“”“”形式的数，先估算的范围，再推导整体的范围。 【例题5】.（25-26七年级下·河南许昌·期末）估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式题5-1】.（25-26七年级下·河北保定·期末）若，且n是正整数，则（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题5-2】.（25-26七年级下·吉林松原·期末）已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． (1)填空： ． (2)求的算术平方根． 【变式题5-3】.（25-26七年级下·河北沧州·期末）在学习《实数》内容时，我们估算带有根号的无理数的近似值时，经常使用“逐步逼近”的方法来实现．“逐步逼近”是数学思维方法的一种重要形式，例如：估算的近似值时，利用“逐步逼近”的方法可以得出．请你回答下列问题： (1)介于连续的两个整数a和b之间，且，那么 ， ； (2)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)已知的整数部分为x，的小数部分为y，求的值． 【培优提升题型】 【题型6】实数与数轴的综合应用 1.核心知识点 实数与数轴的一一对应；数轴上的距离计算；代数式化简 2.解题方法技巧 ①数轴上两点间的距离=右边的数-左边的数，即两点表示的数之差的绝对值； ②根据数轴上点的位置，判断各代数式的正负，为绝对值、二次根式化简提供依据； ③利用几何作图（如正方形边长）可在数轴上表示、等无理数。 【例题6】.（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，小康将直径为的圆形铁片放在数轴上，圆形铁片上的点 与数轴上的原点 重合．将圆形铁片沿着数轴滚动一周，点 到达点的位置，此时设点在数轴上表示的数为，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，将面积分别为3和2的两个正方形放在数轴上，使每个正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，另一个顶点分别为数轴上的点A和点B． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________，线段的长度为________； (2)一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了3个单位长度到达点C，则点C表示的数________； (3)求的值． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个正方形． (1)正方形的边长的长在两个连续整数________和________之间； (2)如图2，纸片上有数轴，把图1中的正方形放到数轴上，使得点与重合，点在数轴上表示的数是_______； (3)在（2）的基础上以数2对应的点为折叠点，将数轴向右对折，则点与数______对应的点重合． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为1． (1)图中正方形的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)如图所示，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【题型7】实数的混合运算 1.核心知识点 平方根、立方根运算；绝对值化简；实数运算顺序与运算律 2.解题方法技巧 ①先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内； ②去绝对值时先判断符号，再正确变形；注意，的区别； ③合理运用运算律简化计算，最终结果能化简的要化为最简。 【例题7】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）计算： (1)； (2)． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期末）计算： (1) (2) 【变式题7-2】.（25-26八年级下·陕西汉中·期末）已知：，．求：的值． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）计算 (1)； (2)． 【题型8】情境中的实数应用 1.核心知识点 正方形、圆形面积公式；实数运算的实际意义 2.解题方法技巧 ①结合传统工艺、几何图形的实际背景，根据面积、体积公式列算式； ②涉及开方运算时，结合实际意义取正根，舍去负根； ③方案可行性判断类问题，通过计算比较尺寸大小，得出结论。 【例题8】.（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）一切运动的物体都具有动能．已知运动物体的速度v（单位：米／秒）与质量m（单位：千克），动能（单位：焦耳）近似满足公式．一名运动员在匀速跑步，他的质量是80千克．若动能是2000焦耳，求该运动员的跑步速度． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为4、16． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_____． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，图中的两个小正方形纸片面积均为，用这两个小正方形剪拼成如图所示的一个大正方形． (1)图中拼成的大正方形纸片的边长为______； (2)如图，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请通过计算说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·山东临沂·期末）如图，把图1中两个面积分别为的小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个大正方形纸片如图2． (1)如图2所示的大正方形的边长为________． (2)王芳想沿着如图2所示的大正方形边的方向剪出一个长方形，使剪出的长方形的长宽之比为，且面积为．她的想法可行吗？（请通过计算说明） (3)如图3是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，怎样把它剪拼成一个大正方形？请在图3画出示意图． 【压轴素养题型】 【题型9】实数运算的规律探究 1.核心知识点 二次根式的运算；归纳推理；裂项相消思想 2.解题方法技巧 ①先计算前3-4个特殊式子的结果，观察数字变化的共性与递变规律； ②从特殊到一般，用含正整数的式子表示通用规律，并用代数运算验证； ③求和类规律题常涉及裂项相消，中间项相互抵消，只剩首尾两项计算。 【例题9】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）阅读下列解题过程： ①； ②； ③； …… (1)请写出第④个等式：____________； (2)猜想：=______；（为正整数，填最后结果） (3)根据你所发现的规律，计算：． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·安徽淮北·阶段检测）先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出第6个等式； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式； (3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）． 【变式题9-2】.（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【题型10】新定义下的实数运算 1.核心知识点 新定义规则的理解；实数的混合运算 2.解题方法技巧 ①准确解读新定义的运算规则、取整规则，明确运算优先级； ②将新定义问题转化为常规的实数运算，按规则逐步代入计算； ③多层嵌套的新定义运算，遵循从内到外的顺序逐层计算。 【例题10】.（26-27九年级·全国·暑假作业）对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： (1)_____； (2)若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是_____． 【变式题10-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）对数的定义：一般地，若，那么x叫做以a为底N的对数，记作：．比如指数式可以转化成对数式，对数式可以转化成指数式，根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，，则，，∴，由对数的定义得；而，∴，认真阅读理解上述材料，解决以下问题： (1)填空： ①将指数式转化成对数式为________； ②将对数式转化成指数式为________； ③计算：________； (2)试说明： (3)计算：． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·北京·期末）类比探究：小红同学在学习完平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的知识后，想要类比探究四次方根、五次方根的相关知识： 若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根，记作，例如：16的四次方根记为． 请认真阅读上面的材料，回答下列问题： (1)①类似地，若_______________，则叫的五次方根，记作_______________； ②32的五次方根为_______________； (2)若，则_______________； (3)求的值：． 【变式题10-3】.（25-26七年级下·北京西城·期中）定义“”是一种取整运算新符号，即表示不超过的最大整数；同时对任意实数定义“”为：．例如：；． (1)计算：_____，_____；对任意实数，直接写出的取值范围_____ (2)对于任意实数，定义如下运算：计算，当不等于0时，令；之后计算，当不等于0时，令；最后计算．我们称“”为实数的连分数近似．例如当时，，因此；继续计算得，因此；最后算出，从而的连分数近似为：． ①按上述运算规则，写出当时，它的连分数近似为_____． ②连分数近似常被用于计算一个无理数的有理数近似．请按照上述规则，直接写出当时，它的连分数近似为_____． （在计算过程中可能会用到下列等式：） 易错点 1、概念认知误区：误认为带根号的数都是无理数，或无限小数都是无理数；忽略先化简再判断，导致分类错误。 2、绝对值化简失误：去绝对值符号时未先判断正负，尤其是含无理数的多项式形式，符号处理出错。 3、大小比较混淆：两个负实数比较大小时，直接根据被开方数判断，忽略“负数比较，绝对值大的反而小”的规则。 4、运算顺序混乱：实数混合运算中，开方、乘方的优先级处理错误，或随意使用运算律导致计算失误。 重点 1、无理数与实数的概念，实数的两种分类方法，能准确区分有理数与无理数。 2、实数的相反数、绝对值、倒数的意义，以及实数的混合运算与大小比较。 难点 1、无理数的估算方法，以及整数部分、小数部分的推导与相关代数式求值。 2、实数与数轴、几何、跨学科知识的综合应用，以及规律探究类问题的归纳推理。 一、单选题 1．在数学史上，希帕索斯发现了无理数，由此引发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D．3 2．已知，则的值可以是 （     ） A． B． C． D．2 3．若的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 4．实数的相反数是_________． 5．数据，，，，（每相邻两个之间增加一个），这个实数中无理数有______个． 6．已知，则整数的值为___________． 三、解答题 7．计算． 8．已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分，求的平方根． 9．如图，在数轴上有面积分别为和的正方形，一边与数轴重合，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________； (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为，小数部分 ①根据材料，求点所表示数的小数部分； ②已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 10．【综合与实践】 如图，把两个面积均为的小正方形纸片分别沿对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片． 【探究发现】 (1)求大正方形纸片的边长． 【拓展升华】 (2)若沿此大正方形纸片边的方向裁剪出一个长方形纸片，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明理由． 【数学理解】 (3)设小正方形纸片的边长值的整数部分为，小数部分为，求的平方根． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $