第18讲 一次函数与二元一次方程、不等式12大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第18讲 一次函数与二元一次方程、不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型2 图象法解二元一次方程组 题型3 求直线围成的图形面积 题型4 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型5 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型6 利用图象法解一元一次方程 题型7 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型8 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型9 含绝对值的一次函数 题型10 次函数与方程、不等式最值 题型11 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型12 一次函数与方程、不等式综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数与方程的关系 一次函数与不等式的关系 1. 理解一次函数与二元一次方程之间的内在关联与数形关系 2. 掌握利用函数图象求解二元一次方程组近似解方法 3. 明晰一次函数图象与一元一次不等式解集对应关系 4. 能结合图象解决方程不等式综合基础数学问题 5. 深化数形结合思想，提升图象分析与推理运算能力 学习重点：掌握一次函数与方程、不等式的联系，会用图象求解方程与不等式。 学习难点：准确利用函数图象解读解集范围，理清数形转化对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数与方程 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 即时即练 1．如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与二元一次方程组、坐标与图形等知识点，掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解答本题的关键． （1）把代入可计算出m的值，把代入可求出n的值，联立两解析式所组成的方程组即可得到P点坐标； （2）观察函数图像得到，当x大于P点的横坐标时，，据此即可解答． （3）直接根据坐标与图形和三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）解：把代入中得，解得， ∴， 把代入得，解得， ∴， 联立，解得， ∴； （2）解：由函数图象可得，当时，； （3）解：令，则，则，即， ∴， ∴． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)求k的值； (2)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标为，则，根据，得出，解关于t的方程即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ， ； （2）解：设点Q的坐标为，则， ， ， ， ， 解得：负值舍去，，， 点Q的坐标为或或． 3．已知直线经过点； (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； （3）由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 知识点02 一次函数与不等式 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 即时即练 4．若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，则y的取值范围是________________； (3)当x在什么范围内时，？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式，是常用的一种解题方法． （1）因为与成正比例，可设，又时，，利用待定系数法即可求出与的函数解析式； （2）分别将及代入中求解，再回答即可； （3）图象与直线的交点及其下方的部分所对应的值即为所求． 【详解】（1）因为与成正比例，设， 又时，， 则 解得：． 故与的函数关系式为：； （2）将代入，得， 将代入，得， 所以y的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，， ∵， ∴随的增大而减小，则图象与直线的交点下方的部分所对应的值使得， 时，． 5．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数图象的作图以及根据图形获取相关信息等知识点，解答关键是根据数形结合解答问题． （1）求出直线与坐标轴的交点坐标，经过两点画直线．观察图象求得方程的解； （2）观察图象求得不等式的解集； （3）观察图象，当时，可求x的取值范围； 【详解】（1）当时，；当时，， ∴，，作直线AB： 由图象，方程的解为： ； （2）由图象得：不等式的解集为：； （3）由图象得：，x的取值范围为： ． 6．如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用经过点，将代入求出，再利用在上，代入求出，再利用在上，代入求出； （2）分别在和中，令，求出、的横坐标，求出，再结合，利用即可求解； （3）先由，得出或，再分别结合图象求解和即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵点在上， ∴， 解得：， 故，，； （2）解：在中，令， 得：， 解得：， 则， 在中，令， 得：， 解得：， 则， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴或， 结合图象可得的解集为， 的解集为， 综上，不等式的解集为或． 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标即为对应方程组的解得出结论． 【详解】解：直线与直线相交于点， 的解是． 2．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解就是交点的横纵坐标，即． 3．如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 4．如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 【答案】 【分析】由交点坐标，先求出m的值，再结合图像确定方程组的解即可． 【详解】解：将点代入一次函数，得 ， 解得 ∴， 结合图像可知，关于的方程组的解是． 题型2 图象法解二元一次方程组 5．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，求解即可． 【详解】解：∵一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2交于点A（-4，-2）， ∴方程组的解是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 6．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 7．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 8．利用一次函数的图象解二元一次方程组 【答案】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程组的联系，在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．先把两个方程化成一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程组的解． 【详解】解：画出函数与的图象， 列表： 0 2 2 0 2 描点，连线，如图所示， 两个一次函数与与的交点坐标为； 因此方程组的解． 题型3 求直线围成的图形面积 9．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 10．如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为___； 【答案】8 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数解析式求得，即可得到结论； 【详解】解：令，则有，即，令，则有， ∴， ∴， ∴的面积； 故答案为：8； 11．已知一次函数，图象经过点和． (1)求该一次函数解析式； (2)求函数图象与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把已知两点的坐标代入得关于k、b的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用一次函数解析式求出一次函数与x轴，y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：把点和代入得， 解得 ， 所以一次函数解析式为； （2）解：当时，， 解得， 则一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 则一次函数与y轴的交点坐标为， 所以一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积． 12．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求直线围成的图形面积，两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数图象与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，令，分别算出和对应的x的值，即可得出； （2）理解题意，得出，故，然后把代入，得，即可作答． （3）理解题意，得出，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：和与x轴交点分别为A、B， ∴令，则 解得， 故 令，则 解得， 故； （2）解：∵和它们的交点为P， ∴， 解得， 把代入，得， ∴； （3）解：由（1）得， 由（2）得， ∴， ∴． 题型4 已知直线与坐标轴交点求方程的解 13．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 14．如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 【答案】2 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 15．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 【答案】 【分析】利用函数过，则有时函数值为0，则关于的方程的解为． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于，， ∴关于的方程的解为． 16．已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)表格见解析，图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，正确地作出函数的图象是解题的关键． （1）分别代入，，求出与之对应的y，x的值，再描点、连线，即可画出函数图象； （2）根据图象与轴的交点即可求解， （3）根据函数图象在上方的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，，解得：． 列表如下： x … 0 1 … … 3 1 0 … 描点： ，， 连线，画出函数图象，如图所示．    （2）观察图象可知：当时，一次函数的图象与x轴相交， 方程的解是， 故答案为：； （3）观察图象可知：当时， 题型5 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 17．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 18．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义以及一次函数与轴的交点问题，先根据一次函数的定义确定的取值，再验证函数与轴是否有交点即可得到结果. 【详解】解：函数是一次函数， 根据一次函数的定义，一次函数中自变量的最高次数为， 二次项系数， 将代入得函数解析式为， 令，解得，该函数图象与轴有交点，符合题意， 故的取值范围是． 19．如图，已知，点为轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为_______．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点间线段最短，求一次函数解析式；作点A关于x轴的对称点C，连接，则当B、P、C三点共线时，的值最小；求出直线的解析式即可求得点P的坐标． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点C，连接， 则，；    ∵， ∴当B、P、C三点共线时，的值最小； 设直线的解析式为， 把C、B两点坐标分别代入得：， 解得：， 即直线的解析式为， 令，即，得， ∴点P的坐标； 故答案为：． 20．一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，掌握待定系数法是解决本题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）令，得到，令得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， 则有， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线，令，得到，令得到， ∴； 题型6 利用图象法解一元一次方程 21．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 22．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 23．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】方程的几何意义：求一次函数与正比例函数函数值相等时对应的自变量，也就是两条直线交点的横坐标．交点的横坐标即为方程的解． 【详解】解：方程等价于求时的取值，对应两个函数图像的交点横坐标． 由图可知，直线与的交点坐标为，该点横坐标为． 因此当时，成立，方程的解是． 24．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先作出函数的图象，数形结合即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，，即直线与轴交于点； 当时，，即直线与轴交于点； 作出函数的图象，如图所示： 观察图象知，函数图象经过点， 则方程的解为； （2）解：观察图象知，当时，函数图象在轴下方，即， 不等式的解集为； （3）解：当时，，解得； 当时，，解得； 观察图象知，当时，． 题型7 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 25．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象找到一次函数图象不在x轴下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，x的取值范围是． 26．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与一次函数图象的位置关系，若点在图象下方，则点的纵坐标小于对应横坐标的函数值，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数图象的下面， ∴点的纵坐标小于当时的函数值， ∴， 解得：． 27．如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】通过点的坐标求出，得出点，利用待定系数法求出，得出直线与轴的交点坐标为，最后结合函数图象以及交点坐标可得不等式解集． 【详解】解：将点代入得， ， 解得或， ∵的图象，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴点， 将点和点代入得， ，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为， 结合函数图象以及交点坐标可得， 当时，． 28．如图，观察函数的图象，并根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)当的取值范围为______时，； (2)当时，的取值范围为______； (3)当的取值范围为______时，． (4)当的取值范围为______时，． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）的图象与轴相交于，且随着的增大而增大，据此即可得到答案； （2）的图象与轴相交于，且随着的增大而增大，据此即可得到答案； （3）和的图象相交于点，且和中随着的增大而增大，据此即可得到答案； （4）求出，得到直线与轴交于点，且随着的增大而增大，则当的取值范围为时，，根据图象可知当时，，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵的图象与轴相交于，且随着的增大而增大， ∴当的取值范围为时，； （2）解：的图象与轴相交于，且随着的增大而增大， ∴当时，； （3）解：∵和的图象相交于点，且和中随着的增大而增大， ∴当的取值范围为时，． （4）解：设，把代入得到， ， 解得 ∴， 当时，，解得， ∴直线与轴交于点，且随着的增大而增大， ∴当的取值范围为时，， 当时，， ∴当的取值范围为时，． 题型8 根据两条直线的交点求不等式的解集 29．如图，一次函数与的图象交于点，不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点的坐标代入直线求出的值，确定交点横坐标，然后根据函数图象，找出直线在直线下方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， 故将代入，得， 解得， ∴交点的横坐标为， 由图象可知，当时，直线在直线的下方， ∴不等式的解集为． 30．如图，直线和相交于点．则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先利用确定点的坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的下方，于是可得到不等式的解集． 【详解】解：把代入得， 解得， 则点的坐标为， 观察函数图象，当时，， 即不等式的解集为． 31．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，再求出当直线与直线交于点时，；当直线与直线交于点时，；根据图象得出答案即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 把代入得：， 把代入得：，解得：， 即当直线与直线交于点时，； 把代入得：， 把代入得：，解得：， 即当直线与直线交于点时，； 如图， ∵当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值， ∴根据图象可得：当时，符合题意． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象找到一次函数图象在一次函数一次函数图象上方的部分即可得到答案； （3）连接，求出的长，然后根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵函数的图象过点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：． （2）解∶由图象可得，当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴不等式，即的解集是； （3）解：如图，连接， ∴由（1）可知，一次函数为， 当时，，解得， ∴， ∴． ． 题型9 含绝对值的一次函数 33．综合与实践 【问题】请结合一次函数的学习经验，探究函数． 【探究】 (1)列表： … … … … 表格中________，________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察图象，写出该函数的一条性质； 【运用】 (4)结合探究结果解答问题： ①求方程的解； ②求不等式的解集． 【答案】(1)1； (2)函数图象，如图所示： (3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；函数最小值为；（答案不唯一，写出一条即可） (4)①或；② 【分析】（1）分别把，代入函数解析式，求出y的值，即可得出m、n的值； （2）先根据表格中的数据进行描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； （4）①根据函数图象写出答案即可； ②画出函数的函数图象，然后找出函数与此函数的交点，最后结合图象得出答案即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 即； 把代入得：， 即； （2）略 （3）略 （4）解：①根据函数图象可得：当时，或， ∴方程的解为或； ②如图， 根据函数图象可得：当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 34．请根据学习一次函数的方法，探究函数图象与性质，并尝试解决相关问题． 【解析式法】 (1)当时，________当时，________； 【列表法】 (2)将下面表格补充完整； 0 1 2 3 1 3 【图象法】 (3)根据上表中的数据，利用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象    【深入探究】 (4)观察函数图象，回答下列问题： ①当________时，函数的值随的增大而增大； ②方程的解是________； ③在图中画出直线，并直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)将表格补充完整； (3)画出该函数的图象如图：    (4)①；②； ③画出直线如图；解集为    【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分别将、和代入计算即可得出结果； （3）根据表格中的数据，描点、连线即可； （4）①根据函数图象即可得出结果；②根据函数图象即可得出结果；③先画出直线，再分段求解两函数的交点坐标，即可得出结果． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 将表格补充完整略； （3）略； （4）解：①当时，函数的值随的增大而增大； ②方程的解是； ③画图略， 当时，令，解得， 即交点坐标为； 联立，解得， 即交点坐标为； 不等式的解集为． 35．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ； 描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； 连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： 当 时，函数有最大值，最大值为 ； 写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)①1； ②③描点作图如图： (2)①，2；②函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3) 【分析】（1）①把代入函数表达式即可求解； ②③，先描点，再连线即可； （2）①根据函数图象即可求解；②可以从对称性、增减性等方面分析； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①由表可知，当时，，代入解析式， 可得， ②略 ③略 （2）解：①由图知，当时，函数有最大值，最大值为2； ②由图知，函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可得，不等式的解集是 36．【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表； 0 1 2 3 4 2 0 b 0 根据表格中的信息可得______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象 【探索】 (3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围） 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为______． (5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5) 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）根据函数图象即可求解； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）方程可化为，那么关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，再根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， ； （2）解：如图所示即为所求；    （3）解：根据函数图象可得，当时，； （4）解：在中，当时，， 当时，， 联立， 解得； 联立， 解得； ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）解：方程可化为 ∴关于的方程有两个正数解，即为函数与函数有两个横坐标为正的交点，如图： 当直线经过点时， 解得； 当直线经过点时，， 解得 ∴关于的方程有两个正数解时，． 题型10 次函数与方程、不等式最值 37．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，根据两条直线的交点坐标求出不等式的解集，根据轴对称求出线段和最小， 对于（1），根据直线在直线上方时，自变量的取值即可不等式的解集解答； 对于（2），先求出点，再求出直线的关系式，然后求出点最后根据面积公式可得答案； 对于（3），作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点，再求出直线的表达式，然后令，求得，可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，当时，， ∴不等式的解集是． 故答案为：； （2）解：将点代入中，得：， ． 代入中， 得：， 解得：， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点， 设的表达式为，代入点、，得： ， 直线的表达式为． 令，求得， 点的坐标为． 38．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，解本的关键在求出直线的解析式． （1）设直线的解析式为，把点A、C坐标代入，利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出点的坐标； （2）作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接，此时最小，根据点关于轴的对称点P，得出点P的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式，然后令，得出，解出方程，即可得出点D的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把点，点代入，得 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点关于轴的对称点P，连接，交轴于点D，连接， ∴， ∴， ∴此时的值最小， ∵， ∴点关于轴的对称点P的坐标为， 设直线的解析式为， 根据题意，可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴点D的坐标． 39．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】作点B关于x轴的对称点，根据题意得到当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度，然后求出直线的表达式，即可求出点P的坐标． 【详解】如图所示，作点B关于x轴的对称点，    ∴， ∴， ∴当点，P，A三点共线时，的值最小，即的长度， ∵点B的坐标为， ∴点的坐标为， ∴设直线的表达式为， ∴将，代入得，， ∴解得， ∴， ∴当时，即，解得， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键． 40．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； （2）解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； （3）解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 题型11 一次函数与方程、不等式的新定义问题 41．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查新定义和一次函数交点问题，先根据新定义确定变换后新图形的形状，再结合直线特点分析交点个数要求，最后列不等式求解的取值范围。 【详解】由题意知，原线段上点，， 令，即，解得． 当时，，变换点坐标为， 变换后得到线段； 当时，，变换点坐标为，可得， 变换后得到线段． 易知直线恒过点， ， 直线与y轴上的线段恒有个交点，要使直线与新图形有个交点，只需直线与x轴上的线段再有一个交点即可， 令，得直线与x轴交点横坐标，需满足， 由，可知， 解不等式，两边乘，得，即， 解不等式，两边乘，得，即， 因此的取值范围是． 42．定义运算：当时，则；当时，．例如．记，，当时，始终满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意可分为当时，当时，当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：∵，， ∴令，解得；令，解得； 当时，则， ∴当时，有且， 因此当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵当时，始终满足， ∴，解得，故成立； 当时，同理可得， 由得，成立； 故当时，对于所有，始终满足； 当时，，不满足； 当时，当，有，不满足条件； 综上所述：的取值范围为； 故答案为：． 43．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 44．定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型12 一次函数与方程、不等式综合 45．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为：；直线的表达式为：； (2)时， (3)15 (4)点的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线，求得交点的横坐标，结合图形判断即可； （3）先求出点坐标，利用求三角形的面积即可； （4）可判断，再利用待定系数法求出直线，即可作答． 【详解】（1）解：将代入直线得：， 则直线的表达式为：； 将点和点分别代入直线得：， 解得， 则直线的表达式为：； （2）解：令，得， 解得， 则点，结合图象可知时，； （3）解：将代入，得到，解得， ∴点， ∵， ∴， ∴． （4）解：当点在轴左侧时， ， ． 设的解析式为， 把代入解析式，得， 故直线的表达式为， 令得， 则点的坐标为． 46．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①点坐标为或；②，，， 【分析】（1）观察两条直线可知从交点向右直线在上方，解答即可； （2）先求出两条直线的交点，可知从交点向右直线在上方，且在x以下，即可求出答案； （3）先求出直线的关系式，再设点，则点，可得，当求出解即可；分别求出和时的解，再根据在交点的两边都有符合题意的部分得出当或时，，然后求出整数解即可． 【详解】（1）解：当时，，即， 所以不等式的解集是； （2）解：当时，， 解得， ∴当时，； 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 即点， ∴当时，， ∴当时，， ∴当时，， 即自变量的取值范围是； （3）解：当时，， ∴点． ∵点B，点O恰好关于点D对称， ∴点． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线：． 设点，则点， ∴． ①∵， ∴， 解得或，则或， ∴点P的坐标为或； ②时，解得或； 时，解得或， 则当或时，， 所以或，则， 整点P的坐标是，，，． 47．如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)方程组的解是 ； (2)请写出当时x的取值范围； (3)若将直线绕点A旋转，使的面积为8，求旋转后直线的函数解析式； (4)在x轴上求一点P使.等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或或或 【分析】（1）根据点A的坐标即可解答； （2）先求出的解析式，再求出函数与轴交点坐标，根据图象当时，的函数图象与的函数图象都在轴上方，且的函数图象在的函数图象上方，根据图象即可解答； （3）首先根据三角形的面积公式求得的长，即可得到C的坐标，利用待定系数法即可求解； （4）已知等腰三角形中的一边，分是底边；是腰，且A是顶角的顶点；是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论． 【详解】（1）解：∵，正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：将，代入中，则， 解得， 则， 令，解得， ∴函数与轴交点坐标为， 根据图象得：当时，的函数图象与的函数图象都在轴上方，且的函数图象在的函数图象上方， 则当时，x的取值范围为； （3）解：∵的面积为8， ∴，即， 解得：， ∴C的坐标是或． 设直线的解析式是：， 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是； 当C的坐标是时，根据题意得： ，解得：， ∴直线的解析式是：； （4）解：当是底边时，过点A作轴于点M，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当是腰，O是顶角的顶点时，， 此时P的坐标是或； 当是腰，A是顶角的顶点时，如图，，过点A作轴于点M，则， ∴， 此时P的坐标是； 综上所述，P的坐标是或或或． 48．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②P点坐标为或或或 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）①通过观察图象求解即可；②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是． （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为， ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴由图象可得，当时，， ∴不等式的解是． （3）解：①∵， ∴的解集是， ∵， ∴的解集是， ∴的解集是； ②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下： 设点P的坐标为：， ∵，， ∴，，， 当时，则， 解得或(舍去)， ∴P点坐标为； 当时，则， ∴或， ∴P点坐标为或； 当时，则， 解得， ∴P点坐标为； 综上所述：P点坐标为或或或． 1．已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解即为对应的两个一次函数图象的交点坐标，作答即可． 【详解】解：方程组 可化为，其解为， 因此函数和的图象的交点坐标为． 故选：B． 2．一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是关键．根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小； 故①正确； ②由图象可知：，，，， ∴，， ∴， 故②正确； ③由图象可知：，，故函数的图象不经过第一象限； 故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，，故，故④正确； ⑤当时，， 当时，， ∴， ∴x的值每增加1，的值增加， 故⑤错误． 综上所述，正确的有①②③④，一共4个． 故选：C． 3．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，解答本题的关键方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 将代入，即可求出的值，即可求解． 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 4．如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（     ）   A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用图象法解不等式组即可． 【详解】解：由图象可知，过原点， ∴不等式的解集为． 5．如图，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由图象法求不等式的解集，根据题意找出一次函数的图象在正比例函数的图象上方时，的取值范围，即得出答案，掌握知识点的应用的图象在正比例函数的图象上方时，的取值范围即为不等式是解题关键． 【详解】解：由图象可知点的坐标是，当时，一次函数的图象在的上方，即， ∴不等式的解集为， 故选：． 6．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．关于的不等式表示的是直线位于直线的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：关于的不等式表示的是直线位于直线的上方， 则由函数图象可知，关于的不等式的解为， 故选：C． 7．直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 8．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】根据两直线交点横坐标，找出直线在上方时对应的的取值范围即可． 【详解】解：已知两直线交于点，结合图象可知，在交点右侧（即时），直线位于直线的上方，因此不等式的解集为 ． 9．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解：由图象可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为． 10．已知一次函数与（均为常数）的图象交于点，则关于的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解． 由题意得到的解为，将看作一个整体可知方程组的解为，即可求出答案． 【详解】解：∵一次函数与（均为常数）的图象交于点， ∴方程组即的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 11．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 【答案】4 【分析】此题考查一次函数与坐标轴的交点坐标的求法，两个一次函数交点的坐标的求法，理解方程及方程组与一次函数的关系是解题的关键．先根据函数解析式分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据的面积的面积的面积求出答案． 【详解】解：记直线与轴交于点， 在中，当时，， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴， 解方程组，得， ∴， 过点B作轴，则， 在中，当，时，解得， ∴， ∴，, ∴ ． 故答案为:． 12．直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先将点的横坐标代入已知直线解析式，求出交点的坐标，再根据两直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 13．如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标是这两个一次函数的解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【分析】将一次函数向右平移3个单位长度得到，与x轴交点坐标为，然后求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴将一次函数向右平移3个单位长度得到，与x轴交点坐标为 ∴当时，的图象在x轴上方 ∴关于的不等式的解集为． 15．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 16．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 【答案】(1)①；②见解析；③左，2 (2)左，9 (3)右， (4)见解析 【分析】本题考查一次函数图象的平移，以及左右平移规律的探索，关键是通过与坐标轴的交点解决． （1）①利用一次函数“上加下减”(截距增减)的平移规律，直接给的截距加4，得平移后解析式； ②求出直线与坐标轴的交点，过两点作直线即可； ③求与各自与轴的交点、，对比交点横坐标变化，确定左移2个单位； （2）先求“下减”求向下平移3个单位后的解析式，再分别求两直线与轴的交点，通过横坐标变化确定即可； （3）先求与平移后各自与轴的交点，计算横坐标差值，确定平移方向和平移距离； （4）根据“上加下减”，将上移个单位画，再根据与坐标轴的交点变化画． 【详解】（1）解：①根据“上加下减”的平移规律，直线向上平移4个单位，得； 故答案为：； ②当时，；当时，， 过点，作直线，即为直线：的图象，如图所示： ③∵直线与轴的交点是，与轴的交点是，将点向左平移2个单位得到， ∴直线可以看作由的图象向左平移2个单位得到． 故答案为：左，2； （2）解：令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． 将向下平移3个单位，得到． 令，解得， ∴直线与轴的交点坐标为． ∵将点向左平移9个单位得到， ∴直线相当于将向左平移9个单位得到． 故答案为：左，9； （3）解：同理，直线与轴的交点是． 直线向下平移个单位后的函数为， 令，得，解得， ∴新交点为． ∵，即点向右平移个单位得到， ∴将向下平移个单位，相当于将向右平移个单位得到． 故答案为：右，； （4）解：如图所示： 17．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数解析式求解、一次函数与不等式关系、坐标与三角形面积，解题关键是利用函数图像几何意义和面积公式分类讨论． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)填空：不等式：的解集是______； (3)若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）根据题意得出，再利用待定系数法求解即可； （2）根据两条直线的交点坐标，结合函数图象得出答案即可； （3）先求出点B的坐标，得出的面积，分两种情况分析：当点D在直线左侧时，当点D在直线右侧时，结合图形分别计算面积求解即可． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1， ∴， ∴， 将点、代入得：， 解得：； （2）解：根据图象可知：不等式的解集是：； 故答案为：； （3）解：由（1）得直线的解析式为：， 令，则，令，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点D在直线左侧时， ， ∴此时点M与点D重合， ∴； 当点D在直线右侧时， 设点D的坐标为， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为 综上：点D的坐标为或． 20．已知直线与直线如图所示． (1)关于，的方程组的解为________； (2)若，求直线的函数关系． (3)过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 【答案】(1) (2) (3)①；②；③或 【分析】（1）根据函数图象中两条直线的交点坐标，求出关于，的方程组的解即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①先求出直线的函数解析式为，过作x轴的垂线交直线于点、，得出，，再分两种情况求出S与t的函数解析式即可； ②分两种情况：当时，当时，求出S的取值范围，即可得出答案； ③分四种情况：当时，时，时，时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵两条直线的交点坐标为， ∴关于，的方程组的解为； （2）解：∵一条直线经过一、二、四象限，一条直线经过一、二、三象限， ∴当时，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （3）解：①假设直线经过，，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 根据解析（2）可得：直线的解析式为， ∵过作x轴的垂线交直线于点、， ∴，， ∴当时，， 当时，， ∴； ②当时，，此时， 当时，，此时， 综上，当时，； ③当时，当时，S取最小值，当时，S取最大值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当，即时，当时，S取最大值，当时，S取最小值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 综上，或时，S的最大值与最小值的差等于． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 一次函数与二元一次方程、不等式 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 题型2 图象法解二元一次方程组 题型3 求直线围成的图形面积 题型4 已知直线与坐标轴交点求方程的解 题型5 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 题型6 利用图象法解一元一次方程 题型7 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型8 根据两条直线的交点求不等式的解集 题型9 含绝对值的一次函数 题型10 次函数与方程、不等式最值 题型11 一次函数与方程、不等式的新定义问题 题型12 一次函数与方程、不等式综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数与方程的关系 一次函数与不等式的关系 1. 理解一次函数与二元一次方程之间的内在关联与数形关系 2. 掌握利用函数图象求解二元一次方程组近似解方法 3. 明晰一次函数图象与一元一次不等式解集对应关系 4. 能结合图象解决方程不等式综合基础数学问题 5. 深化数形结合思想，提升图象分析与推理运算能力 学习重点：掌握一次函数与方程、不等式的联系，会用图象求解方程与不等式。 学习难点：准确利用函数图象解读解集范围，理清数形转化对应关系。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数与方程 一次函数与二元一次方程的关系 1.一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx－y＋b＝0的解，以二元一次方程kx－y＋b＝0的解为坐标的点都在一次函数y＝kx＋b的图像上. 2.二元一次方程与一次函数的区别： （1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量； （2）二元一次方程是用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量的关系，又可以用列表法或图像法表示两个变量间的关系. 3.二元一次方程的解与一次函数图像上点的坐标之间的关系是一一对应的，以二元一次方程的解为坐标的点所组成的图形与其相应的一次函数的图像完全重合（一条直线）. 一次函数与二元一次方程组 1.如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解. 2.在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解. 3.用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法. 4.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解，反之也成立. 5.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 6.方程组解的几何意义 （1）方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标； （2）根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况；（） （3）根据交点的个数，看出方程组的解的个数； （4）对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数. 即时即练 1．如图所示，根据图中信息． (1)点P的坐标为 ． (2)当时，x的取值范围是多少？ (3)求． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． (1)求k的值； (2)点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 3．已知直线经过点； (1)求直线的解析式； (2)若直线与直线相交于点，求点的坐标； (3)根据图象，写出关于的不等式的解集． 知识点02 一次函数与不等式 一次函数与一元一次方程 1.一次函数y＝kx＋b（k≠0，b为常数），当函数y＝0时，就得到了一元一次方程kx＋b＝0，此时自变量x的值就是方程kx＋b＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 2.从图象上看，这相当于已知直线y＝kx＋b（k≠0，b为常数），确定它与x轴交点的横坐标的值. 3.对于一次函数y＝kx＋b（k≠0），已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0或ax＋b≥0或ax＋b≤0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1.不等式kx＋b＞0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2.不等式kx＋b＜0（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 3.不等式kx＋b＞a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a上方的部分所对应的x的取值范围； 4.不等式kx＋b＜a（k≠0）的解集直线 y＝kx＋b（k≠0）在直线y＝a下方的部分所对应的x的取值范围； 5.不等式k1x＋b1＞k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）上方的部分所对应的x的取值范围； 6.不等式k1x＋b1＜k2x＋b2（k1k2≠0）的解集直线 y＝k1x＋b1（k1≠0）在直线y＝k2x＋b2（k2≠0）下方的部分所对应的x的取值范围. 即时即练 4．若y与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，则y的取值范围是________________； (3)当x在什么范围内时，？ 5．画出函数的图象，利用图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，求x的取值范围． 6．如图，直线的函数表达式为，交轴于点．直线的函数表达式为，经过点，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． (1)求、、的值； (2)的面积为 ． (3)结合函数图象，直接写出不等式的解集． 题型1 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 4．如图，一次函数与一次函数（为常数，且）的图像相交于点，求关于的方程组的解． 题型2 图象法解二元一次方程组 5．在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 6．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 8．利用一次函数的图象解二元一次方程组 题型3 求直线围成的图形面积 9．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 10．如图，在直角坐标系中，直线交矩形于F与G，交x轴于D，交y轴于E．的面积为___； 11．已知一次函数，图象经过点和． (1)求该一次函数解析式； (2)求函数图象与坐标轴围成的三角形面积． 12．在平面直角坐标系中有两条直线，和它们的交点为P，与x轴交点分别为A、B． (1)点A、B的坐标分别为_________ (2)求点P的坐标 (3)以P、A、B为顶点的三角形的面积为_________ 题型4 已知直线与坐标轴交点求方程的解 13．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 15．如图，一次函数的图象分别与轴交于两点．若，，则关于的方程的解为_________． 16．已知一次函数    (1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象． x … 0 1 … … 0 … (2)结合函数图象，方程的解为______． (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围． 题型5 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 17．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 18．已知一次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是______． 19．如图，已知，点为轴上一个动点，当的值最小时，点的坐标为_______．    20．一次函数的图象经过点和点． (1)求出该一次函数的解析式； (2)并求该图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 题型6 利用图象法解一元一次方程 21．如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 22．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 23．如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于的方程的解是_____． 24．画出函数的图象，结合图象： (1)求方程的解； (2)求不等式的解集； (3)若，直接写出的取值范围． 题型7 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 25．如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 26．在直角坐标系中，一次函数图象把平面分成上、下两个部分．已知点（，−）在这个函数图象的下面，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 27．如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组的解集为______． 28．如图，观察函数的图象，并根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)当的取值范围为______时，； (2)当时，的取值范围为______； (3)当的取值范围为______时，． (4)当的取值范围为______时，． 题型8 根据两条直线的交点求不等式的解集 29．如图，一次函数与的图象交于点，不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 30．如图，直线和相交于点．则不等式的解集是________． 31．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围． 32．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)请直接写出不等式的解集． (3)连接，求的面积． 题型9 含绝对值的一次函数 33．综合与实践 【问题】请结合一次函数的学习经验，探究函数． 【探究】 (1)列表： … … … … 表格中________，________； (2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (3)观察图象，写出该函数的一条性质； 【运用】 (4)结合探究结果解答问题： ①求方程的解； ②求不等式的解集． 34．请根据学习一次函数的方法，探究函数图象与性质，并尝试解决相关问题． 【解析式法】 (1)当时，________当时，________； 【列表法】 (2)将下面表格补充完整； 0 1 2 3 1 3 【图象法】 (3)根据上表中的数据，利用描点法在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象    【深入探究】 (4)观察函数图象，回答下列问题： ①当________时，函数的值随的增大而增大； ②方程的解是________； ③在图中画出直线，并直接写出不等式的解集． 35．我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数确定为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． 列表： x … 0 1 2 … y … 0 m 2 1 0 … 其中，表格中m的值为 ； 描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点； 连线：画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，探索函数性质： 当 时，函数有最大值，最大值为 ； 写出该函数的其它性质（写一条即可） ； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 36．【尝试】探究函数的图象与性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表； 0 1 2 3 4 2 0 b 0 根据表格中的信息可得______． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象 【探索】 (3)写出函数的一条性质：当______时（填写的取值范围） 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为______． (5)关于的方程有两个正数解时，则满足条件的的取值范围是______． 题型10 次函数与方程、不等式最值 37．如图，已知直线与直线交于点分别与轴和轴交于两点． (1)填空：关于的不等式的解集是_____； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得的周长最小？若存在，并求出点的坐标，若不存在，请说明你的理由． 38．已知，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，直线与轴的交点为． (1)点的坐标为______； (2)在轴上找一点，连接，使的值最小，求出此时点的坐标． 39．在平面直角坐标系中，两点的坐标分别为，点在轴上，且使线段的值最小，则点的坐标是___________． 40．直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 题型11 一次函数与方程、不等式的新定义问题 41．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的“变换点”的坐标定义如下：当时，点坐标为；当时，点坐标为．线段：上所有点按上述“变换点”组成一个新的图形，若直线与组成的新的图形有两个交点，则的取值范围是（     ） A． B．或 C． D． 42．定义运算：当时，则；当时，．例如．记，，当时，始终满足，则的取值范围是_____． 43．新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， _____； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ____________________． 44．定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 题型12 一次函数与方程、不等式综合 45．如图，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：经过点和点，且与相交于点，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当取何值时，？ (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，且在轴的左侧，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 46．【知识回顾】本册第二章教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．    【解决问题】 (1)如图1，观察图象，不等式的解集是 ． (2)如图2，一次函数和的图象相交于点A，分别与轴相交于点B和点C结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围 ． 【拓展延伸】 (3)如图3，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴、轴分别交于点C、D，与直线交于点M，点P在直线上，过点P作轴，交直线于点Q．点B、点O恰好关于点D对称． ①如果线段的长为，求点P的坐标； ②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，请直接写出所有符合条件的整点P的坐标． 47．如图，一个正比例函数的图象与一个一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与y轴相交于点，与x轴交于点C． (1)方程组的解是 ； (2)请写出当时x的取值范围； (3)若将直线绕点A旋转，使的面积为8，求旋转后直线的函数解析式； (4)在x轴上求一点P使.等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 48．我们曾研究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】 (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是____________． (2)如图2，观察图象，不等式的解集是____________． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和图象相交于点，分别与轴相交于点和点． ①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是____________． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1．已知关于的二元一次方程组的解为，则一次函数和的图象的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．一次函数与（，）的图象如图所示，则下列结论：①对于函数来说，随的增大而减小；②；③函数的图象不经过第一象限；④；⑤的值每增加1，的值增加．其中正确的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（     ）   A． B． C． D．或 5．如图，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 8．如图，函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是__________． 9．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为___________． 10．已知一次函数与（均为常数）的图象交于点，则关于的方程组的解是_____． 11．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，且直线与x轴交于点C，则的面积为______． 12．直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解为__________． 13．如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 14．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 15．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 16．【探究发现】创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数的图象可以由正比例函数的图象通过上下平移或左右平移得到，于是，他们进行了如下的探究活动． (1)请你完成探究活动中的相关问题． ①将的图象向上平移4个单位，得到的直线，则的函数表达式为____________； ②请在图1平面直角坐标系中，画出直线的图象； ③观察图象，直线也可以看作由的图象向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (2)【类比迁移】将向下平移3个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移________个单位得到； (3)【拓展升华】将向下平移个单位得到的图象，相当于将向____________（填“左”或“右”）平移____________个单位得到． (4)【综合应用】已知一次函数的图象如图2所示，结合（1）－（3）的探究，请用无刻度的直尺和圆规在同一直角坐标系中画出的图象．（不写作法、保留作图痕迹） 17．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求的值； (2)填空：不等式：的解集是______； (3)若点在的图象上，且满足，直接写出点的坐标． 20．已知直线与直线如图所示． (1)关于，的方程组的解为________； (2)若，求直线的函数关系． (3)过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $