第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合与常用逻辑用语章末复习，系统梳理集合的概念、关系、运算及充分必要条件、全称量词与存在量词等核心内容，通过知识网络搭建基础，结合例题与变式训练，构建从概念理解到综合应用的学习支架，帮助学生连贯掌握前后知识脉络。 其亮点在于注重数学抽象与逻辑推理，通过分类讨论解决集合含参问题，利用数轴和Venn图培养直观想象，反思感悟总结解题方法。例如用补集思想求参数范围，强化数学语言表达，助力学生提升思维能力，也为教师提供系统复习方案，提高教学效果。

章末复习课 <<< 知识网络 集合的基本概念与集合间的基本关系 一 1.理解集合的有关概念,元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合,能在集合不同的表示方法之间进行转化. 2.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念,能根据集合间的关系,会利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围. 3.掌握集合的基本概念与集合间的基本关系,提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 【例1】 (1)已知集合A={x|x=a2-4a+5,a∈R},B={y|y=4b2+4b+3,b∈R},则下列关系正确的是(　　) A.A=B B.B⫋A C.A⊆B D.B⊈A B 解析 A={x|x=(a-2)2+1,a∈R},即A中的元素x≥1;B={y|y=(2b+1)2+2,b∈R},即B中的元素y≥2,所以B⫋A. (2)(2026天津阶段练习)已知集合A={x|ax2+6x+3=0},B={x|bx+1=0}. ①若A⊆⌀,求实数a的取值集合; ②若A的子集有两个,求实数a的取值集合; ③若1∈A且B⊆A,求实数b的取值集合. 解 ①因为A⊆⌀,所以A=⌀. 当a=0时,则A={-},不符合题意; 当a≠0时,则Δ=36-12a<0,解得a>3. 综上,实数a的取值集合为{a|a>3}. ②因为A的子集有两个,所以集合A中只有一个元素. 当a=0时,则A={-},符合题意; 当a≠0时,则Δ=36-12a=0,解得a=3. 综上,实数a的取值集合为{0,3}. ③因为1∈A,所以a+6+3=0,解得a=-9, 所以A={x|-9x2+6x+3=0}={-,1}. 当b=0时,B=⌀⊆A;当b≠0时,B={-}. 因为B⊆A,所以-=-或-=1,解得b=3或b=-1. 综上,实数b的取值集合为{0,-1,3}. 变式训练1　(1)已知集合A={1,a,b},B={a2,a,ab}.若A=B,则a2 025+b2 026= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 A 解析 由题意A=B可知,两集合元素全部相等,得到 又根据集合互异性,可知a≠1,所以解得 所以a2 025+b2 026=(-1)2 025+02 026=-1.故选A. (2)已知M={x|x2-2x-3=0},N={x|x2+ax+1=0,a∈R},且N⫋M,则a的取值范围为　　　 　　.  {a|-2<a≤2} 解析 由题意,集合M={x|x2-2x-3=0}={-1,3}, 当N=⌀,即Δ=a2-4<0时,解得-2<a<2,此时满足N⫋M. 当N≠⌀时,要使得N⫋M,则-1∈N或3∈N,当-1∈N时,可得(-1)2-a+1=0,即a=2,此时N={-1},满足N⫋M; (1)解决集合的概念问题应关注两点 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. (2)处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析，更要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏. 反 思 感 悟 二 集合的基本运算 集合的运算有交、并、补这三种常见的运算,它是集合中的核心内容.在进行集合的运算时,往往由于运算能力差或考虑不全面而出错,此时,数轴分析(或Venn图)是个好帮手,能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否符合题意,以免增解或漏解. 【例2】 已知集合A={x|x>3a+1},集合B={x|x<2或x>3}. (1)当a=3时,求A∩B; (2)若A∪B=B,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=3时,集合A={x|x>10},集合B={x|x<2或x>3}, 所以A∩B={x|x>10}. 变式训练2　(1)已知全集U=R,集合M={x|x>2},N={x|1<x<3},那么下面的Venn图中,阴影部分所表示的集合为(　　) A.{x|x>2} B.{x|x≤2} C.{x|x>1} D.{x|x≤1} D 解析 M∪N={x|x>1}, 阴影部分表示集合为∁U(M∪N)={x|x≤1}.故选D. (2)设集合A={x|x<2或x≥4},B={x|x<a},若(∁RA)∩B≠⌀,则a的取值范围是 (　　) A.{a|a<2} B.{a|a>2} C.{a|a≤4} D.{a|a≥4} B 解析 由集合A={x|x<2或x≥4},则∁RA={x|2≤x<4}. 又集合B={x|x<a},且(∁RA)∩B≠⌀,则a>2.故选B. (3)(多选题)已知全集U={x∈N||x-5|≤4},A⊆U,B⊆U,A∩(∁UB)={1,9}, A∩B={3},(∁UA)∩(∁UB)={4,6,7},则下列说法正确的是(　 　) A.8∈B B.6∉∁U(A∪B) C.{2,5}⊆B D.A的子集的个数为8 ACD 解析 因为U={x∈N|1≤x≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},根据题意作出Venn图. 所以8∈B,{2,5}⊆B,故A,C正确;因为集合A中有3个元素,所以A的子集的个数为8,故D正确;因为6∈∁U(A∪B),故B错误.故选ACD. (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 反 思 感 悟 充分条件与必要条件 三 1.若p⇒q,且q不能推出p,则p是q的充分不必要条件,同时q是p的必要不充分条件; 若p⇔q,则p是q的充要条件,同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明,有利于提升逻辑推理数学素养. 【例3】 已知集合A={x|-1<x<3},集合B={x|-1<x<m+1}. (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,求实数m的取值范围; (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件,求实数m的值. 解 (1)由题A⫋B,所以m+1>3,即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}. (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件,所以A=B. 所以m+1=3,即m=2.所以实数m的值为2. 变式训练3 已知p:x<3m-4或x>-m,q:x<2或x≥4.若p是q的充分条件,则实数m的最大值为　　　　　.  -4 解析 设A={x|x<3m-4或x>-m},B={x|x<2或x≥4}, 若p是q的充分条件,则A⊆B, 所以解得m≤-4,即实数m的最大值是-4. (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A B，则p是q的充分不必要条件或q是p的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件. 充分、必要、充要条件的常用判断方法 反 思 感 悟 全称量词与存在量词 四 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题,存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含有量词的命题否定时,首先改变量词,把全称量词改为存在量词,把存在量词改为全称量词,然后把判断词加以否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等,主要培养逻辑推理和数学运算素养. 【例4】 (2026广东汕头期中)若命题p:∃x∈R,x2-4x+a=0,则p的否定是 　　　　　　　　　　　　　,若命题p为假命题,则实数a的取值范围是 　　　 　　.  ∀x∈R,x2-4x+a≠0 a>4 解析 p的否定是“∀x∈R,x2-4x+a≠0”,若命题p为假命题,则其否定为真命题,则Δ=(-4)2-4a<0,解得a>4. 变式训练4 (1)设命题p:∃x∈Z,x2≥6x+5,则p的否定为(　　) A.∀x∉Z,x2<6x+5 B.∃x∉Z,x2<6x+5 C.∀x∈Z,x2<6x+5 D.∃x∈Z,x2<6x+5 C 解析 p的否定为:∀x∈Z,x2<6x+5.故选C. (2)已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题q的否定和命题p都是真命题,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  {a|a≤-2或a=1} 解析 当命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0为真时,a≤1; 当命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0为真时,Δ=4a2-4(2-a)<0,即-2<a<1. 因为命题p和¬q都是真命题,所以a=1或a≤-2. (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 反 思 感 悟 化归与转化思想在解题中的应用 五 【例5】 设全集为R,集合A={x|a≤x≤a+3},∁RB={x|-1≤x≤5}. (1)若A∩B≠⌀,求a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求a的取值范围. 解 因为全集为R,∁RB={x|-1≤x≤5}, 所以B={x|x<-1,或x>5}. 所以当A∩B≠⌀时,a的取值范围是{a|a<-1,或a>2}. (2)假设A∩B=A,则A⊆B,结合数轴得a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5. 所以当A∩B≠A时,a的取值范围是{a|-4≤a≤5}. 变式训练5 已知集合A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠⌀,求实数a的取值范围. 解 A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4}, 我们不妨先考虑当A∩B=⌀时a的范围.如图. 故A∩B=⌀时a的范围为{a|1≤a≤2}. 而A∩B≠⌀时a的范围显然是其补集,从而,易知所求范围为{a|a<1或a>2}. 随堂演练 六 1.已知集合 ,则( ) B A. B. C. D. 【解析】 “ ”表示集合间的关系,而0是中的元素,故A错误，B正确； 为集合,正确表述为，故C错误;集合中的 ,故D错误. 37 2.[2026广东中山段考]若,,则集合, 间的关系为( ) B A. B. C. D. 【解析】 且 ,而 ,所以 . 38 3.[2026上海安亭高级中学期中]给出命题：对所有的素数， 不是素 数.甲同学判断该命题是假命题，他给出这个判断的反例可以是( ) B A. B. C. D. 39 【解析】 当时， ，6不是素数，符合命 题结论，不能作为反例，故A不正确；当 时， ，11是素数，满足反例条件，故B正确； 不是素数，不满足命题前提，（ 注意题目条件 是素数，4不 是素数，所以C选项无需代入计算判断.）不能作为反例，故C不正确；当 时， ，27不是素数，符合命题结论， 不能作为反例，故D不正确. . . 40 4.[2026湖北丹江口市第二中学月考]设 ， ，若，则实数 的值不可以是( ) C A.0 B. C.4 D.1 【解析】 ，因为，所以，所以 或 或 或.分析知不可能为，.若 ，则；若 ，则 ；若，则 ．故选C. 41 5.[2026天津外国语学校月考]下图中的三个圆形区域分别表示全集 的三 个子集,,，则阴影部分能表示集合 的是( ) B A. B. C. D. 42 【解析】 在图中，表示长方形内圆 外的所有阴影，则 表示圆内除去外的阴影部分，图如图1所示； 表示圆和圆相交的阴影部分， 图如图2所示，则 表示上述两部分阴影的并集， 图如图3所示， 故选项B正确． 43 6.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体 育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目.该班有25名 同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目, 其中有6名同学同时选择球类项目和径赛项目,4名同学同时选择球类项目 和其他健身项目，3名同学同时选择径赛项目和其他健身项目.若全班同学 每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班的人数是 ( ) B A.51 B.50 C.49 D.48 44 【解析】 设集合，， 分别表示选择球类项目、径赛项目、其他健身 项目的学生组成的集合. 由题意，，， ， ，， ，因为全班同学每 人至 少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，所以这个班的人数是 . 45 如图，由 图可知这个班的人数为 . 46 7.[2026广东深圳外国语学校检测]已知命题 , ，命题, ．若两个命题中全称量词命 题是真命题，另一个命题是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 47 【解析】 由题意知命题 为全称量词命题，且为真命题，故 ,，可得.结合题意知命题 为假命题，则 命题的否定“,”为真命题，即关于 的方程 无实数解，则，解得 .综上， 得需满足可知实数的取值范围是 . 48 8.已知集合，若，且同时满足：①若 ，则 ；②若，则.则集合 的个数为( ) C A.4 B.8 C.16 D.20 49 【解析】 ， ，由题意可知，若 ，则，若，则，若 ，（ 即1，3不能 同时出现也不能同时无，2，6不能同时出现也不能同时无.）则 ，若 ，则，4和5没有限制.综上，满足条件的集合 可为： ，，，，，，， ， ，，，，，，， ，共 16个. . . 50 9.（多选）下列命题为真命题的是( ) ABD A.若,则 B.“”是“ ”的充分不必要条件 C.命题“若,则关于的方程 有实数根”的否定 D.若,则且 51 【解析】 把代入中，成立,所以命题“若 ,则 ”为真命题,A正确；由，解得 或 ，又是,的真子集,所以“”是“ ”的充分不 必要条件,B正确；因为,所以,所以 时，方程 有实数根，故命题“若,则关于 的方程 有实数根”为真命题,所以该命题的否定为假命题,C错误； 因为,所以且,所以命题“若,则 且 ”为真命题，D正确. 52 10.（多选）[2026江西九江月考]已知全集 ，集合 ，若集合满足有2个子集，且 ，则 ( ) ACD A. B. 有4个子集 C.有16个子集 D.当时， 53 【解析】 由题意，,,0,1, ， ,0,.因为有2个子集，即 中有1个元素， 所以集合中有4个元素，又，即,0,，所以, ,0, 或,0,1,，故A正确；因为,0, ，有3个元素，所 以有个子集，故B错误；因为集合中有4个元素，所以集合 有 个子集，故C正确；当时， ，故D正确. 54 11.（多选）[2026华中科技大学附属中学检测]已知集合 , ,, ，则下列判断正确的是( ) ACD A. B.若,，则 C.若,，则 D.若,，则 55 当时，，则 ，A正确.设 ,,，,, ，则 ,,不一定属于 ，B错 误.由B选项，得，因为 , ,,，所以, ，所以 ，D正确，设 ,,，,, ，则 . . 56 ,, ，所以 ，C正确. 12.[2026安徽临泉田家炳实验中学开学考试]已知全集 ，集 合，，则 ____. 【解析】 因为，所以 . 58 13.已知集合,3,,,,，且 ,则 实数 的值为_______. 或0 【解析】 由题意得,.①若,则或.当 时,集 合中,,不符合集合中元素的互异性,舍去;当 时, ,,0,,符合题意.②若,则 ,此时 ,,2,,符合题意.综上,实数的值为 或0. 59 14.定义非空集合的“长度”是，其中， .已知 集合，，且， 都是集合 的子集，则集合 的“长度”的最小值是_ __. 【解析】 由，都是集合的子集，得 和解得要使的“长度”最小，只需 取最小 值、取最大值或取最大值、 取最小值. 60 当，时，，其“长度”为 ；当 ，时，，其“长度”为 ，故集合 的“长度”的最小值是 . 的“长度”为,的“长度”为，,所以 的“长度” 的最小值是 . 61 15.（13分）[2026贵州名校协作体质检]已知集合 , ． （1）当时，求 ． 【解析】 当时， ，（2分） 又 ， 所以 .（4分） 62 （2）当时，求 ． 【解析】 由（1）知 . ，即 . 当时，，此时 ；（6分） 当时，, ， 若，则，此时 ，（8分） 若，则，此时 ，（10分） 若且且，则,，此时 .（12分） 综上，当时，；当时，；当 且 时， .（13分） 63 16.（15分）已知集合或， 或 . （1）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围； 【解析】 因为“”是“”的必要不充分条件，所以是 的真子集， （2分） 则解得 ， 所以实数的取值范围为 .（5分） 64 （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围. 【解析】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是 的真子集. （7分） ①当，即（ 注意不要忽略.）时， ，符合 题意；（10分） ②当，即时，则需满足解得 . （14分） 综上，实数的取值范围为 .（15分） . . 65 17.（15分）命题,;命题 , . （1）若命题为真命题，求实数 的取值范围; 【解析】 ,（1分） 若命题 为真命题, 则,解得 ,（3分） 所以实数的取值范围是 }.（4分） 66 （2）若命题为假命题,求实数 的取值范围; 【解析】 ,（5分） 若命题为假命题,则命题的否定：， 为真命题， （7分） 则,解得 ,（9分） 所以实数的取值范围是 .（10分） 67 （3）若命题,至少有一个为真命题，求实数 的取值范围. 【解析】 由（1）（2）可知若命题与命题 均为假命题, 则解得 .（13分） 故命题与命题中至少有一个为真命题时, , 所以实数的取值范围是 .（15分） 68 18.（17分）[2026海南儋州联考]已知集合 ， . （1）若全集 . 69 ①用描述法写出下图阴影区域表示的集合； 【解析】 由,得 ，故 .（2分） 题图中阴影区域表示的集合为 ， 又 ，所以 ， 所以或 .（5分） 70 ②若， ，求实数 的取值 范围． 【解析】 由①知或 ， 当 时，，得 ；（7分） 当 时， ，则解得 . （10分） 综上可知的取值范围为 .（11分） 71 （2）若全集且 ， ，求集合 . 【解析】 因为， ， ，所以， ， （13分） 又，故 ，其中 ， 又，故，则 ，（16分） 所以或 .（17分） 72 19.（17分）[2026湖北武汉月考]如果正整数集的子集,, , 满足： ① ； ②任意，存在, ，使得 ，则称为 集. 73 （1）分别判断与是否为 集（直接写出结论）； 【解析】 不是 集，是 集.（2分） （理由：因为中元素3和5都不存在两个元素的和与之相等，所以不是 集. 在集合中，由于,,，所以是 集.） 74 （2）当时，对于 集,,,, ，设 ，求证： ； 75 【解析】 由题意，,,,,是 集，且 . 因为是集合中最大的元素，且 ，所以 ,，即 .（4分） 又，所以,，即 . 同理，, ,（6分） 故 ， 即 .（7分） 因为 ， 所以，即 .（9分） 76 （3）当时，若，求 集 中所有元素的和的最小值. 【解析】 因为，且是 集，所以7可以表示为集合中其他两个元 素的和. 由于，所以集合 中至少有4个元素. 由，且7是最大元素， ，得下列三种情况： 若集合 中含有元素6，且基于集合中元素和最小的目标，则必有3，若有 3，则必有2，此时 ;（11分） 若集合 中含有元素5，且基于集合中元素和最小的目标，则必有2和3， 此时 ;（13分） 77 若集合 中含有元素4，且基于集合中元素和最小的目标，则必有2和3， 此时 .（15分） 综上，得集合中所有元素的和的最小值为 .（17分） 当3∈N时,可得32+3a+1=0,即a=-,此时N={3,},不满足N⫋M. 综上,实数a的取值范围为{a|-2<a≤2}. (2)因为A∪B=B,则A⊆B,所以3a+1≥3,解得a≥, 所以实数a的取值范围为. (1)假设A∩B=⌀,则所以-1≤a≤2. 则得1≤a≤2. $