第13章三角形　暑假自主学习同步练习题　2026年人教版八年级数学上册

**基本信息** 2026-2027学年人教版八年级数学上册《第13章三角形》暑假同步练习，通过基础、中档、综合三层设计，实现从概念理解到综合探究的知识巩固，适配暑假自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形稳定性、三边关系、高的概念等|单选1-5结合生活情境（如遮阳伞稳定性），填空8-10强化概念辨析，培养数学眼光| |中档层|内角和、外角性质、中线与面积关系等|单选6-7综合性质应用，填空11-14融入实际问题（如负重训练角度），发展数学思维| |综合层|角平分线综合、探究拓展问题|解答19-20含证明与拓展（如三等分线问题），提升逻辑推理与数学语言表达能力|

2026-2027学年人教版八年级数学上册《第13章三角形》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 2．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 3．在中，边上的高表示正确的是（ ） A．B．C．D． 4．将一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，是的一条角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、、分别是、、的中点．若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，，平分，平分，点，，在同一条直线上，点，，，在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 8．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 9．等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为_____． 10．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 11．如图，若，，，则_________________． 12．如图，在中，，是的高． （1）若，则________； （2）若，则________． 13．如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 14．如图，体育课上，张老师用旧轮胎帮助同学们进行负重训练，绳子与水平地面的夹角为，绳子与人体的夹角，则人体的倾斜角__________°． 三、解答题 15．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 16．如图．    (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 17．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，，，求的度数． 18．如图，在中，为边上的高，，． (1)求的度数． (2)若斜边在直线上，请直接写出的度数． 19．如图，在三角形中，点D，F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，且，求的度数． 20．【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即 ），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 参考答案 1．D 【分析】本题考查三角形的稳定性这一核心知识点，关键是明确三角形的数学特性与生活应用的关联．三角形具有稳定性，这是区别于四边形等多边形的重要特性，生活中诸多结构如遮阳伞、建筑支架等采用三角形结构，都是为了利用其稳定性来维持结构的牢固性． 【详解】解：在数学中，三角形具有稳定性，遮阳伞的结构主体设计为三角形，主要是利用了三角形的稳定性来保障结构不易变形； 故选：D． 2．A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 3．D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 4．D 【分析】根据三角尺的角度求出所在三角形的另外两个角，再根据三角形的内角和为求出． 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，，， ∴， ∴． 5．C 【分析】利用三角形内角和定理和角平分线的定义求解，先根据角平分线定义求出的度数，再在中利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵在中，三角形内角和为，， ∴ 6．C 【分析】连接，由三角形中线的性质可得，，，则，进而得到． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴． 7．D 【分析】根据角平分线的意义以及平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④正确． 8．钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 9．22 【分析】验证每种情况是否能构成等腰三角形，再计算求解． 【详解】解：当为腰长时，三角形三边长分别为，，， ，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，此种情况舍去． 当为腰长时，三角形三边长分别为，，． ， ∴满足三角形三边关系，能组成三角形． ∴周长为． 10． 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 11． 【分析】利用三角形的外角性质先求解的度数， 再利用三角形内角和定理求解 即可. 【详解】解： ，，， ， 12． 【分析】（1）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； （2）先求出，再根据三角形的内角和求出，进而根据是的外角，求出即可； 【详解】解：（1）∵，是的高， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴； （2）由（1）可得， ∵是的外角， ∴． 13． 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1） 的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2） ， ， 又点E为线段的中点， ． 14． 75 【分析】根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：∵是的外角，， ∴． 15．(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 16．(1)，， (2)的角平分线，，，，的角平分线 (3) (4)， 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在中，，垂足为，则是边上的高，， 故答案为：，，； （2）解：若平分，交于点，则叫的角平分线，，叫的角平分线， 故答案为：的角平分线，，，，的角平分线； （3）解：若，则的中线是， 故答案为：； （4）解：若，则是的中线，是的中线， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 17． 【分析】根据三角形内角和定理，垂线和角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵是高，， ， ∵是角平分线， ， ， ， ． 18．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形的高，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质． （1）根据三角形高的定义得出，根据得出，根据，求出结果即可； （2）分两种情况：当点F在点C的右侧时，当点F在点C的左侧时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点F在点C的右侧时， ； 当点F在点C的左侧时，． 19．(1)见详解 (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件，由平行线判定定理：同位角相等，两直线平行，得到，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，得到； （2）根据同位角相等，两直线平行，得到；由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得到，结合已知条件，得到，利用同位角相等，得到结论； （3）由（2）的结论，根据两直线平行，同位角相等，得到；由三角形外角的性质得到：，结合已知条件转换：，得到，最后得出结果． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （2）解：，理由如下： ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （同位角相等，两直线平行）． （3）解：， ， ，， ， ． 20．(1) ∴ ∴ (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理可得； （3）①同（2）可得，根据已知，求得，进而求得； ②分情况讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，且． ． ∵、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ∴ ∴ （3）解：如图， 同（2）可得， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ②如图，当时，设垂足为 ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：，即 如图，当时，设垂足为， ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ 当时，如图， ∴ 综上所述， 或或． 学科网（北京）股份有限公司 $