第十三章《三角形》暑期题型训练（一）2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 人教版八年级上册数学第十三章《三角形》暑期题型训练，聚焦三角形角平分线、折叠、外角等核心知识，通过动态图形、多步推理问题设计，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|角平分线夹角计算、折叠角度转化、动态四边形角度变化|结合动态图形（如第3题四边形角度增大问题），培养创新意识| |填空题|5|角平分线综合应用、折叠性质、外角平分线角度关系|融入多结论判断（如第15题角平分线结论辨析），强化推理意识| |解答题|5|等腰三角形证明、角度计算、动态角平分线探究|设置分层问题（如第20题从计算到探究不变量），发展逻辑推理与应用意识|

人教版八年级上册数学第十三章《三角形》暑期题型训练（一） 解析 一、选择题（共10题） 1.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可． 【详解】 解：， ， ， 故选：D． 【考点点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于． 2.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，，若，求的度数（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； 【详解】解：∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF= ， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【考点点拨】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 3.用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD增大多少度。（ ） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长， ∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°， ∵∠BAD＝70°， ∴∠ABE+∠ADE=30°， ∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线， ∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°， 同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°， ∴∠BCD增大了10°． 故答案为：B 【考点点拨】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论． 4.如图，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=∠CDE+∠EAB=（∠CDE+∠EAB）即可解决问题； 【详解】解：过点F作FM∥AB，如图， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴AB∥CD， ∵∠C＝90°， ∴∠CED+∠CDE＝90°， ∵∠BAE＝∠CED， ∴∠BAE+∠CDE＝90°， ∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE， ∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE， ∴∠CDF+∠BAF＝（∠BAE+∠CDE）＝45°， ∵FM∥AB∥CD， ∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM， ∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°． 故答案为：D 【考点点拨】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题。 5.如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（    ） A．24° B．35° C．30° D．25° 【答案】D 【解析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数． 【详解】∵∠A=60°， ∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°， ∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°， ∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°， ∴∠1+∠2=240°-120°=120°， ∵∠1=95°， ∴∠2=120°-95°=25°， 故选D． 【考点点拨】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图． 6.如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【解析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明，，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤． 【详解】解：平分， ， ， ，故①正确； ，，， ，，即， ， 又， ，故④正确； ， ， ，分别平分，， ， ， ， ∵ ∴， ，故③正确； ， ，故②错误； ∵ ∴是直角三角形， 根据现有条件，无法推出，即无法得到是等腰直角三角形，故⑤错误； ∴正确的有①③④， 故选：D． 【考点点拨】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 7.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ） A．25° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得，继而即可求解． 【详解】解：∵平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选择C． 【考点点拨】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得． 8.如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】根据三角形外角的性质及角平分线的定义。可得，可判断③，再利用三角形外角的性质得到，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，的反向延长线交的平分线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴③能求出的大小； ∵， ∴， ∴②能求出的大小； ∵， ∴ ∵， ∴， ∴①能求出的大小，④不能求出的大小； 故选：D． 【考点点拨】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义. 9.如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【考点点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义． 10.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】A 【解析】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案． 解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角， ∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE， ∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE， ∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE， 即∠1+∠2＝2∠A， ∵∠1+∠2＝120°， ∴∠A＝60°， ∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB， ∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB） ＝（180°﹣∠A） ＝90°﹣∠A． ∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）， ＝180°﹣（90°﹣∠A） ＝90°+∠A ＝90°+×60° ＝120°． 故选：A． 【考点点拨】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型． 二、填空题（共5题） 11.如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 【答案】/25度 【解析】根据角平分线的定义可得出、，结合三角形内角和可得出，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出平分，进而可得出的度数，此题得解． 【详解】解：平分，平分，，， ，， ． 的三条角平分线交于一点， 平分， ． 故答案为：． 【考点点拨】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出的度数是解题的关键． 12.如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的 度数．    【答案】． 【解析】根据角平分线的性质，由，得到，然后得到，由余角的性质，即可求出答案． 【详解】解：，分别是和的角平分线， ，． ， ， ． 是边上的高 ， ． 【考点点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出，从而求出答案． 13.如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【解析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°， ∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF， ∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°， ∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°， 故答案为：61°． 【考点点拨】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义． 14.如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ． 【答案】/55度 【解析】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出的度数，再由求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵由翻折而成， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：55°． 【考点点拨】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，平行线的性质。 15.如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【详解】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②由（1）可知， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾．故③错误. ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①②④ 【考点点拨】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用. 三、解答题（共5题） 16.如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形；理由见解析 【解析析】（1）欲求证，先证明，需证明，利用三角形全等，易证．（2）要判断的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证，从而判断其形状． 【详解】（1）证明：在等腰直角中， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ， 又为的中点， ， 即， 在和中， ， ． ． ， ， 即． （2）解：是等腰三角形，理由为： 连接，如图所示， 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 【考点点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定. 17.如图，在中，D是边上一点，，，． 求：（1）的度数； （2）的度数． 【答案】（1）；（2）=． 【解析】（1）根据三角形外角性质得，再根据，得，据此可得的度数；（2）根据三角形内角和定理得，再根据，可得出的度数． 【详解】解：（1）∵是的外角（已知）， ∴（三角形外角性质）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． 故答案为：． （2）∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）， ， ． 故答案为：． 【考点点拨】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 18.如图所示，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【解析】 （1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （2）分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵为的角平分线． ∴，， ∵为的高， ∴， ∴， 在中， ， ∵为的角平分线， ∴ ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ①当时， ∵， ∴， ∵ ∴； ②当时， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 【考点点拨】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和等于以及分类讨论思想． 19．已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． (1)说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的判定即可得证； （2）利用三角形内角和定理求得， 再根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴． 【考点点拨】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理。 20.如图，已知，点C、N分别在的两边上运动（点C、N与点O不重合），平分． (1)若，试求出的度数； (2)已知平分交的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，的度数是否发生改变？若不变，试求出的度数；若发生改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)不变， 【解析】 （1）根据邻补角求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）由角平分线得到，，由三角形外角的性质得到，则，即可得到，由即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴； （2）的度数不变， 理由如下：如图所示， ∵平分，平分， ∴，， ∵    ， ∴， ∵   ， ∴， ∵    ， ∴． 【考点点拨】此题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理和三角形外角的性质． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册数学第十三章《三角形》暑期题型训练（一） 一、选择题（共10题） 1.如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（    ）． A． B． C． D． 2.如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，，若，求的度数（ ） A． B． C． D． 3.用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD增大多少度。（ ） A． B． C． D． 4.如图，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是( ) A． B． C． D． 5.如图，把△沿对折，叠合后的图形如图所示．若，，则∠2的度数为（    ） A．24° B．35° C．30° D．25° 6.如图，在中，，，分别平分和，且相交于，，于点G，则下列结论：①；②；③：④；⑤是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ） A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 7.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ） A．25° B．30° C．40° D．50° 8.如图，点分别在上运动（不与重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．知道下列哪个条件①；②；③；④的值，不能求大小的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9.如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 10.如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ） A．120° B．110° C．100° D．90° 二、填空题（共5题） 11.如图，，都是的角平分线，且交于点，，，则的度数为 ． 12.如图，在中，是边上的高，，分别是和的角平分线，它们相交于点，．求的 度数．    13.如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 14.如图，在锐角中，D、E分别是边和上的点，将这个纸片沿折叠，点A落在点F的位置．如果，，那么 ． 15.如图，，、、分别平分、和．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 三、解答题（共5题） 16.如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 17.如图，在中，D是边上一点，，，． 求：（1）的度数； （2）的度数． 18.如图所示，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点为线段上任意一点，当为直角三角形时，直接写出的度数． 19．已知：如图，在中，是角平分线，E为边上一点，连接，过点E作，垂足为F． (1)说明：； (2)若，求的度数． 20.如图，已知，点C、N分别在的两边上运动（点C、N与点O不重合），平分． (1)若，试求出的度数； (2)已知平分交的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，的度数是否发生改变？若不变，试求出的度数；若发生改变，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $