《13.3三角形的内角与外角》暑假自主学习同步练习题2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学人教版八年级上册《13.3三角形的内角与外角》暑假同步练，分层梯度清晰，从基础概念到综合应用，适配自主学习，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|内角和、外角性质、直角三角形锐角关系|单选题1直接用内角和判断三角形类型，填空题8通过方程解决直角三角形锐角计算，夯实概念理解| |中档|角平分线与外角综合、多三角形关联|填空题11结合外角平分线与代数表达，解答题15通过角平分线和平行线性质推理，提升逻辑推理能力| |提升|动态问题、实际情境建模|解答题20“箭头四角形”探究，融合几何直观与创新意识；解答题19分三种图形情境分析角关系，培养分类讨论思维与模型应用能力|

2026-2027学年人教版八年级数学上册《13.3三角形的内角与外角》 暑假自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，若，，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．一副三角板（内角分别是，，；，，）按如图方式叠放在一起，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．一副三角尺如图摆放，，与交于点，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点D、E分别在线段、上，连接、，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，从光源点发出一束光，过凸透镜焦点的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴（即：）射出，过光心的光线，不改变方向．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多，则两个锐角分别为__________． 9．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为______． 10．如图，中于D，于E，则与的关系是________ 11．如图，是的外角的角平分线，且交的延长线于点．若，则______．（结果用含有的式子表示） 12．如图，在中，，点D在上，，连接并延长，交于点F，，则的度数为______． 13．如图，已知小岛在基地的南偏东方向上，与基地相距10海里，货轮在基地的南偏西方向，在小岛的北偏西方向上，则__________． 14．一副三角板如图所示摆放，C，B，E三点共线，，，．若，则的度数为________． 三、解答题 15．如图，已知是的角平分线，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．如图，已知，平分，平分，点D是射线上一动点，连接，当D点在射线（不包括B点）上滑动时 (1)求度数； (2)的度数是否发生变化？若不变请求出度数？若变化，说明理由． 17．如图，在中，点在边上，点在边上，点在边上，与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若且，求的度数． 18．如图，在中，于D，平分． (1)若，，求的度数． (2)若，则______． (3)若，求的度数．（用含的代数式表示） 19．在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 20．如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 参考答案 1．D 【分析】根据三角形内角和求出的度数，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 2．A 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 3．D 【分析】根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．∵与是对顶角， ∴， 故本选项不符合题意； B．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； C．∵是的外角， ∴， 故本选项不符合题意； D．∵是的外角， ∴， 故本选项符合题意． 【点睛】三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 4．D 【分析】由角度的和差关系得出，再由直角三角形两个锐角互余即可得出． 【详解】由三角板可知：，，， ， ． 5．C 【分析】根据三角板可得，结合平行线的性质，可知，接着借助三角形内角和可算得，最后结合平角可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．A 【分析】首先根据三角形外角的性质求出，然后利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴． 7．A 【分析】由两直线平行同位角相等、三角形外角性质列式计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，， ， ∵是的一个外角， ∴， ． 8．和 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 通过设未知数，列方程求解两个锐角的度数． 【详解】解：设较小的锐角为， 则较大的锐角为． 根据直角三角形两锐角互余，得． 解得：， 则． 故两个锐角分别为和， 故答案为：和． 9．或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，当为直角三角形时，需分两种情况讨论：或，结合三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：在中，，根据三角形内角和定理，得， 情况一：若，如图， 在中，，则， 故； 情况二：若，如图， 则， 故答案为：或． 10． 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的两个锐角互余可得，，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键． 根据外角性质，得，，结合角的和差运算，解答即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由等边对等角可得，设，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了方向角的计算，三角形内角和定理，由题意可得，，，，由平行线的性质可得，求出，再由三角形内角和定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由题意可得：，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 由，，根据直角三角形两个锐角互余，即可求出、的度数，在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴，． ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为：． 15．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到； （2）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1) (2)的度数不会发生变化，度数是 【分析】（1）根据，得出，根据平分，平分，得出，则，再根据三角形内角和定理即可得． （2）根据三角形外角的性质和，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点D是射线上一动点， ∴， ∵， ∴． 故的度数不会发生变化，度数是． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （）首先根据，同位角相等，两直线平行得，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （）由题意，易得，利用三角形外角得，即有，结合已知条件，即可得到结果． 【小问1】 证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2】 解：∵由（）知， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理求出，则由角平分线的定义可得的度数，求出的度数，据此结合垂线的定义和三角形内角和定理可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 20．(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：．理由： 如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $