2.4 有理数的乘方（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年北师大版数学·七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的意义（相同因数积的运算，结果为幂，明确底数与指数）、运算（先定符号再算绝对值，涵盖正负零的幂的规律）及科学计数法（a×10ⁿ，1≤a<10，n为正整数），构建从概念到运算再到应用的学习支架。 资料亮点在于知识梳理清晰，达标检测题设计融合生活实际与文化情境，如细菌分裂、长征数据、《庄子》“一尺之棰”等，培养学生用数学眼光观察现实世界。计算题与除方概念探究题提升运算能力和推理意识，科学计数法应用强化数学语言表达，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的乘方（知识梳理+达标检测） 知识点一乘方的意义 1、求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，一般地，，记作a的n次方，a叫底数，n叫做指数，an叫做幂，an读作“a的n次幂”(或读作“a的n次方”）。 2、乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果。 知识点二乘方的运算 1、乘方的运算。 （1）有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、除运算一样，先要确定幂的符号，再计算幂的绝对值； （2）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；0的正整数次幂都等于0。 知识点三科学计数法 1、把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数。 一、选择题 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 2．下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 3．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的运算与绝对值的性质，结合不等式条件确定、的取值是解题的关键．根据先确定、的所有可能值，再利用的条件筛选出符合要求的组合，进而求出的值． 【详解】解：， 或， ， ， 或， 又， 当时，不满足，满足， ， 当时，不满足，满足， ， 的值为或． 故选：． 4．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算的运算法则是解题的关键．遵循先计算乘方再处理符号的运算顺序计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 5．如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 6．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 二、填空题 7．将写成幂的形式可以表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了将多个相同因数相乘写为幂的形式，将多个相同因数相乘写为幂的形式时，底数为该因数，指数为该因数的个数，据此可得答案． 【详解】解：四个相乘，可以表示为的4次方，即， 故答案为：． 8．计算： ______． 【答案】4 【分析】先算乘方，再算加减即可解答． 【详解】 解： ． 9．人们对图形的探索一直没有停止，1925年，数学家莫伦发现了一个长方形可以被10个正方形分割，称之为完美长方形.完美长方形是指可以用大小各不相同的正方形拼合而成的长方形.图中是由9个小正方形组成的完美长方形，图中标注的正方形的面积是100，求问号处正方形的面积是______. 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，列代数式，代数式求值，解题的关键是正确找到关系式，求得正方形的边长． 如图，标上字母，由题意可得，设，，得到问号处正方形的面积为，求得边长，，利用得到，从而求得，即可求解． 【详解】解：如图，标上字母， 由题意可得，正方形的面积为，可知， 设，，则 则问号处正方形的面积为， 由题意可得，，， ∴， 则，可得， 则， 则问号处正方形的面积是， 故答案为：． 10．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 11．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 12．进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，进制转换，将五进制数转换为十进制数，需根据位值原理，将每位数字乘以5的相应次幂后求和，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 14．若，互为相反数，，互为倒数，的平方为，求代数式的值． 【答案】或 【分析】本题考查代数式求值，利用相反数、倒数和有理数的平方求解．和互为相反数，则；和互为倒数，则；的平方为，则或．代入代数式化简计算即可． 【详解】解：，互为相反数， ． ，互为倒数， ． 的平方为， 或． 代数式为．代入，，得． 当时，． 当时，． 代数式的值为或． 15．已知光速为，太阳光到达地球的时间约是，试计算太阳与地球之间的距离大约是多少千米．（结果用原数表示） 【答案】千米 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，掌握运算法则是关键；根据距离等于速度乘时间计算，最后化为以千米为单位即可． 【详解】解：． 答：太阳与地球之间的距离大约是千米． 16．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 【答案】（1）7.2×102g；（2）5×105倍． 【详解】试题分析: （1）先用乘法求出氢气球所充氢气的质量, 再用科学记数法表示最终结果.（2）先用除法计算出这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍，再用科学记数法表示最终结果. 试题解析:（1）8000000×0.00009=7.2×102 (g)    （2）45÷0.00009=500000=5×105，故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×105倍. 17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.4 有理数的乘方（知识梳理+达标检测） 知识点一乘方的意义 1、求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，一般地，，记作a的n次方，a叫底数，n叫做指数，an叫做幂，an读作“a的n次幂”(或读作“a的n次方”）。 2、乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果。 知识点二乘方的运算 1、乘方的运算。 （1）有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、除运算一样，先要确定幂的符号，再计算幂的绝对值； （2）正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数；0的正整数次幂都等于0。 知识点三科学计数法 1、把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数。 一、选择题 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 2．下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 3．若，且，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．计算的结果是（    ）． A．25 B． C．1 D． 5．如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．2026年是中国工农红军二万五千里长征胜利90周年．数据25000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．将写成幂的形式可以表示为________． 8．计算： ______． 9．人们对图形的探索一直没有停止，1925年，数学家莫伦发现了一个长方形可以被10个正方形分割，称之为完美长方形.完美长方形是指可以用大小各不相同的正方形拼合而成的长方形.图中是由9个小正方形组成的完美长方形，图中标注的正方形的面积是100，求问号处正方形的面积是______. 10．《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 11．我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 12．进位制是一种记数方式，现在我们通常用的是十进制数，而计算机中常用的是逢二进一的二进制．二进制数可转为十进制数：例如： ．请把五进制数转为十进制数：___________． 三、解答题 13．计算： (1)； (2)； (3)． 14．若，互为相反数，，互为倒数，的平方为，求代数式的值． 15．已知光速为，太阳光到达地球的时间约是，试计算太阳与地球之间的距离大约是多少千米．（结果用原数表示） 16．已知1cm3的氢气质量约为0.00009g，请用科学记数法表示下列计算结果． （1）求一个容积为8000000cm3的氢气球所充氢气的质量； （2）一块橡皮重45g，这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的多少倍． 17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 学科网（北京）股份有限公司 $