专题2.3 有理数的乘除运算【导图+知识卡片+知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题】-2026-2027学年北师大版数学七年级上册同步讲义

本讲义聚焦有理数的乘除运算核心知识点，系统梳理乘法法则、倒数概念与求法、乘法运算律、多个有理数相乘的符号法则、除法法则及混合运算，构建从基础运算到综合应用的递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以思维导图直观呈现知识结构，13个题型讲练结合中考真题，通过典例与变式训练提升运算能力，难度分层（基础夯实与培优拔高）满足不同需求。实际应用题型（如奥运pin质量检测）培养应用意识，助力教师课堂教学，学生课后可通过分层练习查漏补缺。

专题2.3 有理数的乘除运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数乘法法则 2 知识点二 倒数的概念与求法 3 知识点三 有理数的乘法运算律 3 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 4 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题型二 多个有理数的乘法运算 5 题型三 有理数乘法的实际应用 6 题型四 倒数 7 题型五 有理数乘法运算律 8 题型六 有理数的除法运算 9 题型七 有理数除法的应用 10 题型八 有理数乘除混合运算 11 题型九 有理数乘除中的简便运算 12 题型十 有理数四则混合运算 14 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 14 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 15 题型十三 数轴上的翻折 16 中考真题演练 17 难度分层训练 22 【基础夯实】 22 【培优拔高】 27 知识点一 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点二 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【答案】② 【详解】解：对四个式子逐一计算判断：①，，故①错误； ②，结果正确，故②正确； ③，，故③错误； ④，，故④错误； 综上正确的有②． 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加减乘除的运算法则，分别计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵，故A错误； 选项B：∵，故B错误； 选项C：∵，故C错误； 选项D：∵，运算正确，故D正确． 题型二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，有理数乘法运算，绝对值意义，由和得，即a和c异号；结合，推出；由和得；最终得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴，即a和c异号， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·期末）四个互不相等的整数a，b，c，d满足．则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键，根据题意判断出四个数的值即可求解． 【详解】解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，且满足， ∴， ∴a、b、c、d的值的所有组合可能是或或或或， ∴当或时，有最大值为或． 故选：D． 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 【答案】(1)3 (2)6克 (3)6克 【分析】（1）根据绝对值大于2的有枚可得答案； （2）由超过最多的减去不足最多的可得答案； （3）把不足的与超过的相加，根据结果可得答案． 【详解】（1）解：若允许有的误差， 则30枚样品中不合格的有（枚）； （2）解：（克）， 即30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多6克； （3）解： （克）， 即与标准质量相比，30枚样品总计超过的质量为6克． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，即可得出答案． 【详解】解：左手伸出三根手指，表示， 右手大拇指掐住第 11指关节，表示11， 则表示的十进制数字是． 题型四 倒数 【典例精讲】2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 【变式训练】（25-26七年级上·四川内江·期末）的倒数是（   ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】需根据倒数的概念计算出的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数， 又 ， 的倒数是． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)7 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加减法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）结合乘法分配律将原式展开，先计算乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1） ． （2） ． 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先求出点表示的数，再结合折叠性质求出点A表示的数； （2）先求出的长度，再根据折叠性质求出的长度． 【详解】（1）解：根据题意得点表示的数为， ∴点A表示的数为； （2）解：∵点A表示的数为，B表示的数是4， ，． ． ∴线段的长为6． 【变式训练】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上左边的数总是小于右边的数，距离原点越远的数的绝对值越大得出，，再根据有理数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴， ∴D选项正确． 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【答案】B 【分析】两车相向行驶，相对速度保持不变，旅客看见对方列车驶过窗口时，行驶路程等于对方列车的车身长，先根据已知条件求出相对速度，再计算所求时间． 【详解】解：∵两车相向行驶，相对速度不变，坐在高速列车上的旅客观察普通列车时，行驶路程为普通列车车身长100米，时间为6秒， ∴两车的相对速度为（米/秒）． ∵坐在普通列车上的旅客观察高速列车时，行驶路程为高速列车车身长80米， ∴坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间为（秒）． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 【答案】100.1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算在实际问题中的应用，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据每袋超出或不足标准质量的数值以及对应的袋数，分别计算出超出或不足的总质量，进而计算10袋食品的总质量，再求平均质量，即可解题． 【详解】解：标准总质量为（g）， 超出部分总和为（g）， 总质量为（g）， 平均质量为（g/袋）， 故答案为：100.1． 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）________． 【答案】20 【分析】根据有理数乘除运算法则，先将除法转化为乘法，再从左到右依次计算，确定结果符号后计算即可得到答案. 【详解】解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式训练】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）现定义一种新运算“”：对于任意有理数x，y，都有． 例如：．求的值． 【答案】 【详解】解：． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 【答案】①；② 【分析】①根据结合已给定义列式求解即可； ②根据 结合已给定义列式求解即可． 【详解】解：①∵，且， ∴； ②∵，， ∴． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？ 【答案】周明90分，王刚92分 【分析】由题意得出王刚的数学比周明高分，即可得解． 【详解】解：由题意得，王刚的数学比周明高（分）． （分），（分）． 故周明数学考了90分，王刚数学考了92分． 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 【答案】(1) 这箱苹果的总质量是千克 (2) 全部售出可获利元 【分析】（1）根据箱苹果，每箱千克，用再把多的加上，少的减掉； （2）用销售额减去进价即可得到所获得的利润． 【详解】（1）解：（千克）， 答：这箱苹果的总质量为千克； （2）解： （元）， 答：全部售出可获利元． 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，, ∴,故A正确； 由数轴可知，，故C正确; ∴,故B错误; 由数轴可知，, ∴,故D正确． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）（多选）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．以下结论其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，判断出a、b的取值及绝对值的大小，再根据其不等关系判断即可． 【详解】解：如图，，， ∴，故选项A正确； ∴，故选项B错误； ∴，故选项C正确； ∴， ∴，故选项D错误； 故选：AC． 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的折叠问题，数轴上两点间的距离，利用折叠的性质（折叠后折点是对应点连线的中点），先根据确定表示的数，再结合中点公式计算点C表示的数即可． 【详解】解：∵点B表示的数为6，， ∴点表示的数为或． ∵以点C为折点折叠，点A落在处， ∴点C是线段的中点． 当表示的数为8时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 当表示的数为4时， ∵点A表示的数为a， ∴点C表示的数为． 综上，点C表示的数为或． 故选D． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 【真题演练1】（2025·四川成都·中考真题）若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴的意义以及有理数的加减运算、绝对值的性质．通过数轴确定，的符号以及和的绝对值大小关系是解题的关键． 先根据数轴得出，且，再结合有理数加减规则，绝对值的性质，逐一判断每个选项即可． 【详解】解：观察数轴上点的位置，在0左侧，所以， 在0右侧，所以，且， 选项A：，负数减正数结果为负，即，故该选项错误； 选项B：为正数，是负数，正数大于负数，即，故该选项错误； 选项C：，负数的绝对值更大，和为负，即，故该选项正确； 选项D：，因为为负，则其绝对值是它的相反数，则，而是正数正数，和左边不相等，故该选项错误； 故选C． 【真题演练2】（2025·广东深圳·中考真题）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与线段结合的题型，解题的关键是列出这三条线段所有可能排列的顺序．首先根据三条线段的长度之比求出三条线段的长度，列出所有可能的情况，分情况求出折痕处对应的数． 【详解】解：当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、、， 折痕对应的点所表示的数为：； 当三条线段其长度之比为时， 三条线段的长度分别为：、：， 折痕对应的点所表示的数为：； 综上所述，点所表示的数不可能是． 故选：D． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______． 【答案】 【分析】此题考查了数轴与绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数，绝对值化简，整式的加减，是解本题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里面式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴得：，， ∴，， ∴原式 ． 故答案为：． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“互异数”．将一个“互异数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如：，．则______；如果一个“互异数”的百位数字是，十位数字，个位数字是，其中，，、为整数，且，则数的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数除法的应用，设三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，可得对调后三个新三位数的和为，即得，据此解答即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：设三位数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则对调后三个新三位数分别为，，， ∴它们的和为， ∴， 当时，数字之和为， ∴； 对于数，百位数字为，十位数字为，个位数字为，且， ∴， 整理得， ∵，，且为整数， 解得，， 此时的数字为，互异且非零， ∴；   故答案为：；． 【真题演练5】（2025·江苏宿迁·中考真题）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)① ②， (3) 【分析】本题考查了轴对称的性质，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．解决本题的关键是根据数轴上两点表示的数表示出两点之间的距离． (1)根据表示的点与表示的点重合，可知对称点表示的数为，与表示的点关于原点对称的点表示的数是； (2)①根据两个对称点表示的数分别是和，可以求出对称点表示的数是，根据关于对称点对称的两个点到对称点的距离相等，求出表示的点关于对称的点表示的数； ②因为，两点之间的距离为，所以，两点到对称点的距离都是，因为点在对称点的左侧，可知点表示的数是，因为点在对称点的右侧，可知点表示的数是； (2)根据数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，再根据两个对称的点到对称点的距离相等求出的对称点表示的数． 【详解】（1）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 折叠的时候折痕过数轴的原点， 表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：表示的点与表示的点重合， 对称点为， 到对称点的距离是， 与表示的点重合的点表示的数是； 故答案为：； ②解：数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且两点经折叠后重合， ，两点到对称点的距离为， 又对称点所表示的数是， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （3）解：数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，， 对称点为， 当在对称点右侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 当在对称点左侧时，到对称点的距离为， 则与对称的点表示的数为； 综上所述，与数表示的点重合的点为. 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先由数轴得，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，，故A，B，D错误； ∴，故C正确． 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数混合运算法则计算每个选项的结果，再比较大小，即可得到结果最小的选项． 【详解】解：A、. B、. C、. D、. 又∵ ∴结果最小的是A． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值、相反数、倒数的定义，根据绝对值、相反数、倒数的定义，对每个选项逐一分析判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵正整数是大于的整数，不是正整数，绝对值最小的正整数是， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵只有的相反数是它本身，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数， ∴该选项正确，符合题意； 、∵没有倒数，倒数与本身相等的数是和， ∴该选项错误，不符合题意； 、∵当为负数时，是正数，例如时，， ∴该选项错误，不符合题意； 故选：． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 【答案】 【分析】根据混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 【答案】①②④ 【详解】解：由数轴图可知，， 对于①：∵， ∴，故①正确； 对于②：∵， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴，， ∴，故③错误； 对于④：∵，， ∴，故④正确． 6．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 【答案】 【分析】先由绝对值的性质求出、的可能值，再通过加法运算判断哪些组合满足和为正的条件，最后计算符合条件的、的乘积． 【详解】解：∵，， ∴或，或． ①当，时，，满足条件，此时； ②当，时，，满足条件，此时； ③当，时，，不满足的条件，舍去； ④当，时，，不满足的条件，舍去． 综上，的值为． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 【答案】4 【分析】利用乘法分配律计算即可； 【详解】解： ． 8．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 【答案】(1)的值是，的值是； (2) ；经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 【分析】本题考查了有理数的运算、绝对值、数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答． （）根据题意可得的符号相反，且，根据可得的值； （）根据题意可以求得两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇时点对应的数值； 根据题意和分类讨论的数学思想即可求解． 【详解】（1）解：∵，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，， ∴，， ∴的值是，的值是； （2）解：由题意可得， 相遇所需的时间：（秒）， ∴点对应的数是：， ∴点对应的数为； 相遇前两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 相遇后两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度： （秒）； 综上可得，经过秒或秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度． 10．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 【培优拔高】 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法不正确的个数有（　　） ①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式； ②三条直线相交，有三个交点； ③倒数是它本身的数是； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤若有理数和互为相反数，则一定有； ⑥如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查多项式的次数、直线相交交点个数、倒数的性质、两点距离的定义、相反数的定义和线段中点的定义，需逐一判断各说法的正确性即可 【详解】解：①中四次多项式与五次多项相加，五次项不会抵消，则和的最高次项仍为五次，和是五次整式，正确； ②中三条直线相交，可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，错误； ③中倒数等于本身的数满足，解得，正确； ④中两点距离是线段的长度，而非线段本身，错误； ⑤中互为相反数的数满足，，正确； ⑥中点B是线段的中点需满足B在上且，但这里未指定B在上，说法错误； 则不正确的说法有②、④、⑥，共3个， 故选：B 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数的值，绝对值的意义等知识，根据，可知 a、b、c 的符号组合为全正或两负一正，则的值仅取决于a、b、c的符号，分别计算各种情况，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c的符号可能为：全正或两负一正， ①全为正数时，则，，， ∴ 原式； ②两个负数一个正数： 若a、b为负，c为正，则，，， ∴ 原式； 若a、c为负，b为正，则，，， ∴原式； 若b、c为负，a为正，则，，， ∴原式， 综上，原式的值为1或， 故选：C． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 【答案】方案2 【分析】分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖纸盒的容积最大． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）对于正整数，根据除以的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为，则；若余数为，则，若余数为，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，对于正整数，根据除以的余数为，由知，对进行一次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行二次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行三次变换得到的数为．若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值为__． 【答案】，， 【分析】本题考查了数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键；由二次变换结果为，逆推第一次变换后的数可能为或；再逆推的值，验证符合题意的为，，． 【详解】解：设第一次变换后的数为，则对进行一次变换得到， 若除以的余数为，则， 若除以的余数为，则（符合余数为）， 若除以的余数为，则，但除以余数为，矛盾，此情况不成立， 因此或； 当时，对进行一次变换得到： 若除以余数为，则（符合余数为）， 若除以余数为，则，但除以余数为，不符合余数为， 若除以余数为，则（符合余数为）， 故或； 当时，对进行一次变换得到： 若除以余数为，则（符合余数为）， 若除以余数为，则，不是正整数， 若除以余数为，则，不是正整数， 故； 综上，所有满足条件的的值为， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）一个四位数且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：．，为“善雅数”．求________；若是“善雅数”，当最大时，________． 【答案】 138 1289 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则，整式的加减法则是解题的关键．根据“善雅数”的定义，计算时，先求出的值，再代入公式计算；根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”的定义， ， 设，则， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是整数， ∴当，，，时，最大， 此时，，，为整数， 故当最大时． 故答案为 138；1289． 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成正方体后，a与相对面上的数互为倒数，b比相对面上的数小5，c与相对面上的数互为相反数．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图的特点、有理数加减运算、代数式求值等知识点，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的特点“Z”字两端对面”是解题的关键． 根据展开图可知，与在相对面上，与2在相对面上，与在相对面上，再根据倒数、有理数加减法、相反数确定a、b、c的值，最后代入代数式求值即可． 【详解】解：根据展开图可知，与在相对面上，与2在相对面上，与在相对面上， ∴，，． ∴． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，小数的四则运算，分数与除法的关系，准确计算是解题的关键．根据分数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了分式的裂项相消法，熟练掌握裂项的规律（根据分母的结构确定拆分形式与系数）并利用抵消简化计算是解题的关键． （1）①观察已知式子的拆分规律，推导的拆分形式；②利用①的拆分规律对式子裂项，再通过抵消计算结果； （2）根据已知的拆分方法（提取），对式子裂项后抵消计算； （3）先确定拆分系数，对式子裂项后抵消计算． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 10．（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，以及整式的加减等知识，利用绝对值的性质化简是解题关键． ()根据绝对值的性质，可得答案； ()根据绝对值的性质，化简绝对值得，结合整式的加减运算法则，得出，再根据代数式的值与字母的取值无关，得出，最后求出的值即可． 【详解】（1）解：从数轴上的位置可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由图可知：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ∵代数式的值与字母的取值无关， ∴， 解得：． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题2.3 有理数的乘除运算『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+13个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共51题） 【北师大版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数乘法法则 2 知识点二 倒数的概念与求法 3 知识点三 有理数的乘法运算律 3 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 3 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 4 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 4 题型讲练 4 题型一 两个有理数的乘法运算 4 题型二 多个有理数的乘法运算 4 题型三 有理数乘法的实际应用 5 题型四 倒数 5 题型五 有理数乘法运算律 6 题型六 有理数的除法运算 6 题型七 有理数除法的应用 7 题型八 有理数乘除混合运算 7 题型九 有理数乘除中的简便运算 7 题型十 有理数四则混合运算 8 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 8 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 9 题型十三 数轴上的翻折 9 中考真题演练 10 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 13 知识点一 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 知识点二 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 知识点三 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点四 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 知识点五 多个有理数相乘的符号法则 1. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 知识点六 多个有理数相乘的符号法则 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 知识点七 多个有理数相乘的符号法则 有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 题型一 两个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）下列有理数的运算中正确的有___________（填序号） ①   ②   ③    ④ 【变式训练】（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 多个有理数的乘法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）若有三个有理数，，，满足，，，且有，则这三个数大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·福建泉州·期末）四个互不相等的整数a，b，c，d满足．则的最大值是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型三 有理数乘法的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）奥运pin（徽章）是奥运会期间由主办方、参赛代表队等推出的一种纪念品，奥运pin的交换，不仅是一种收藏行为，更是一种跨越语言障碍的文化交流，也传递了奥林匹克精神中的团结与相互理解．巴黎奥运会期间，中国的熊猫pin因其可爱的形象和精美的工艺深受大家的喜爱．某工厂从制作的熊猫pin中抽取30枚样品，检测每枚的质量是否符合标准，超过或不足的部分分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 枚数 1 3 5 9 6 4 2 (1)若允许有的误差，30枚样品中不合格的有 枚． (2)30枚样品中，质量最大的一枚比质量最小的一枚多多少克？ (3)与标准质量相比，30枚样品总计超过或不足的质量为多少克？ 【变式训练】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 题型四 倒数 【典例精讲】2026的倒数是（　　） A． B．2026 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·四川内江·期末）的倒数是（   ） A． B． C．6 D． 题型五 有理数乘法运算律 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． (1) (2) 题型六 有理数的除法运算 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江丽水·期末）已知在一条可以折叠的数轴上，B表示的数是4，如图①，以点C为折点，将此数轴向右折叠，得图②，点A落在点B的右边处，且． (1)若点C为原点，求点A表示的数； (2)若点A表示的数为，求线段的长． 【变式训练】（25-26七年级上·贵州遵义·期末）若有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七 有理数除法的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是6秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　） A．秒 B．秒 C．5秒 D．4秒 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）监管部门抽查10袋某种食品的质量，每袋这种食品的标准质量是100，超出标准质量的部分记为正，不足标准质量的部分记为负，统计结果记录如下： 每袋与标准质量的差值/g 0 袋数/袋 2 3 3 1 1 则这10袋食品的平均质量是________g/袋． 题型八 有理数乘除混合运算 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）________． 【变式训练】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）计算： (1) (2) 题型九 有理数乘除中的简便运算 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 题型十 有理数四则混合运算 【典例精讲】（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）现定义一种新运算“”：对于任意有理数x，y，都有． 例如：．求的值． 【变式训练】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）对于有理数，，定义了一种“”的新运算，具体为，计算：①；②． 题型十一 有理数四则混合运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）周明和王刚两人数学成绩的和是182分．周明如果多考5分，就比王刚多3分．周明和王刚的数学各考了多少分？ 【变式训练】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）某水果店以每箱元的价格从水果批发市场购进箱苹果，若以每箱千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：，，，， (1)求这箱苹果的总质量； (2)若水果店打算以每千克元的价格销售这批苹果，则全部售出可获利多少元？ 题型十二 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例精讲】（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图所示，数轴上点、对应的有理数分别为、，下列说法不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）（多选）点、在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和．以下结论其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 数轴上的翻折 【典例精讲】（25-26七年级上·福建厦门·期末）点A，B，C是同一条数轴上的三个点，点表示的数为，点表示的数为6，点C在点的右边．若以点为折点，将向右对折，点落在数轴上的点处，，则点表示的数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【真题演练1】（2025·四川成都·中考真题）若有理数在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·广东深圳·中考真题）如图，已知在数轴上有一条从到的线段，长度为个单位．将这条线段沿点折叠，在重叠部分剪一刀，展开后得到三条线段，其长度之比为，则点所表示的数不可能是（   ）． A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·上海·中考真题）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______． 【真题演练4】（2025·重庆·中考真题）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么我们称这个三位数为“互异数”．将一个“互异数”的任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与的商记为．例如：，．则______；如果一个“互异数”的百位数字是，十位数字，个位数字是，其中，，、为整数，且，则数的值为______． 【真题演练5】（2025·江苏宿迁·中考真题）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．如图，纸面上有一数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合． (2)若表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与___________表示的点重合； ②若假设纸张足够长，数轴上，两点之间的距离为（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则点表示的数是___________，点表示的数是___________． (3)若数轴上折叠后重合的两点表示的数分别为，，请表示出此时折叠后与数表示的点重合的点（用含有，，的代数式表示）． 【基础夯实】 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）在数轴上表示两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南德宏·期末）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．绝对值最小的正整数是 B．相反数与它本身相等的数是 C．倒数与它本身相等的数有，， D．一定不是正数 4．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）已知，，则( )． 5．（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）如图，、两点在数轴上表示的数分别为，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的有_______． 6．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）已知，，且，则_______． 7．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）计算：． 8．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 9．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）如图，，两点在数轴上对应的数分别为，，且点在点的左边，，，． (1)求出，的值； (2)现有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动． 设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求出点对应的数是多少？ 经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距个单位长度？ 10．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【培优拔高】 1．（23-24七年级上·福建福州·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列说法不正确的个数有（　　） ①一个四次多项式与一个五次多项式的和一定是一个五次整式； ②三条直线相交，有三个交点； ③倒数是它本身的数是； ④连接两点间的线段，叫做这两点的距离； ⑤若有理数和互为相反数，则一定有； ⑥如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是________ ． 5．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）对于正整数，根据除以的余数，分以下三种情况得到另一个正整数：若余数为，则；若余数为，则，若余数为，则．这种得到的过程称为对进行一次“变换”．对所得的数再进行一次变换称为对进行二次变换，依此类推．例如，对于正整数，根据除以的余数为，由知，对进行一次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行二次变换得到的数为；根据除以的余数为，由知，对进行三次变换得到的数为．若对正整数进行二次变换得到的数为，则所有满足条件的的值为__． 6．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）一个四位数且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：．，为“善雅数”．求________；若是“善雅数”，当最大时，________． 7．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成正方体后，a与相对面上的数互为倒数，b比相对面上的数小5，c与相对面上的数互为相反数．求的值． 8．（25-26七年级上·重庆·自主招生）计算： 9．（25-26七年级上·四川达州·期中）如何计算呢？数学兴趣小组通过探索完成了这道题的计算．他们的探究思路如下： 解：小红发现：，，，…… 于是有：原式． (1)①兴趣小组的同学发现此类算式有一个规律，请你帮忙写出来： ； ②兴趣小组的同学根据这一规律，发现： ； (2)兴趣小组的同学继续探索算式，发现：，，则和之间的数量关系为：，请你利用同学们的发现，结合（1）中的计算方法，帮助兴趣小组计算出的结果； (3)请利用前面的思想方法计算：． 10．（25-26七年级上·四川眉山·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1) ， ， ， ； （填或） (2)若关于的代数式的值与字母的取值无关，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null