第十二周 灵山脚下悟数理——数学思想与数学原理-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

150×0.88=132（元) 答：打折后每个变形金刚的售价为132元。 第九周白骨洞内探奇物 一立体几何问题 第61变 1.（3-1)×2=4(个) 9.6÷4=2.4（dm2) 2.4×1.5×10=36（dm3) 答：原来圆柱形钢材的体积是36dm。 2.3.14×(2÷2)2×(5+7)÷2=18.84(cm3) 答：图2中立体图形的体积是18.84cm。 3.3×2×（20+25)÷2=270 答：几何体的体积是270。 第62变 1.15×12×6=1080(cm3) 20×8×6=960(cm3) 1080-960=120(cm3) 答：他自己可以喝120cm3的饮料。 2.号×3.14×102×12=1256(cm3) 5×4×4=80(cm3) 1256÷80≈15.7 答：可铸成完整的长方体铁块最多15块。 3.20÷2=10（cm) 8÷2=4（cm) 3.14×（102-42)=263.76（cm2) 263.76×100÷(0.04×100）=6594(cm) 6594cm=65.94m 答：薄膜展开后的长度是65.94m。 第63变 1.6×4=24(cm3) 6×(8-6)=12(cm3) 24+12=36(cm3) 36cm3=36ml 答：这个瓶子的容积是36ml。 2.18+7=25（cm) 10÷2=5(cm) 3.14×52×25=1962.5(cm3)=1962.5(ml) 答：瓶子的容积是1962.5ml。 3.(16-12)×3=6(cm) 答：水瓶中圆锥部分的高度为6cm。 第十周几何仙境觅模型 一几何模型（一） 第64变 1.1cm2 2.(1)8cm (2)方 3.4:21:56 第65变 1.18 2.75 3.33 第66变 1.12cm2 2.28.75cm23.12.5cm2 第十一周菩提树下参模型 一几何模型（二) 第67变 6 1.35 2.50cm23.18 第68变 1.20cm 2.40 3.30 第69变 1.2.25cm2 2.37.8 3.44cm2 第十二周灵山脚下悟数理 —数学思想与数学原理 第70变 1.3410010000 y@yyO ●●y● ●●●O] 123 2.(1)a2-b2=(a+b)(a-b) （2)画图如下： 将空白方格拼在一起，如下图： 此图的面积为（5+3)×（5一3)，所 以52-32=（5+3)×（5-3)。 3.(1)255 （2)366n (3)1+3+5+7++(2n-1)=m 第71变 1.910÷(1-号-冬-号)=4200（元） 答：四人所带的总钱数是4200元。 2.(3+1)÷(1-号)=8（个） (8+2)÷(1-号)=15（个） (15+3)÷(1-4)=24(个) 答：这筐蟠桃原来有24个。 124 3.9÷(1-0)=10(L) (9-10×0)÷(1-号)=12(L) 9÷(1-4)-12×号=8(L) 答：原来乙有8L水。 第72变 1.2+4×3+1=15(张) 答：最少抽15张牌，才能保证有4张牌 是同一种花色的。 2.班级中至少有4名学生参加的兴趣小组完 全相同。 3.最少要摸出11只袜子才能保证有4双 袜子。第十二周 灵山脚下悟数理 数学思想与数学原理 取经情境图 田 观察图形，图①是3×3的 此桥需用数学思想 正方形，空白部分小正方形的 个数是32-22=3+2；图2是 与原理方可通过。 5×5的正方形，空白部分是5 -42=5+4。那如果图3是 7×7的正方形，其空白部分该 怎么表示？ 如何计算平方差之和？ 可以一试！ 先找相邻平方差规律，再计算。 如何求原来的量？ 甲、乙、丙三个容器各装 有一些水，首先甲给乙3，之后 有红、黄、蓝、绿四种 乙给丙不然后丙给甲0，最后 颜色的卡片各6张，“抽屉原 理”要找最不利情况，那至 甲、乙、丙都是9升，则原来乙 少摸多少张卡片，才能保证 有多少升水？ 有3张颜色相同？ 如何求至少摸出的数量？ 从最后状态倒推，逐步还原。 考虑最不利情况，再加1。 闯关前思考 数形结合如何将图形规律与抽象算式相互转化？倒推法怎样避免多步骤逻辑偏差？抽 屉原理中如何合理定义“抽屉”与“物体”？本周将深化理解，提升数学思想与原理的应用 能力。一起来探究吧！ 小学奥数72变六年级 竞赛版 第70变0 数形结合悟空找规律 数形结合 考点人门 2分钟 入门须知： 数形结合是指通过图形直观呈现数量关系，或用 代数运算解释图形特征，将抽象的数学规律转化为具 体可感的图形，帮助我们快速找到解题思路的方法。 定海神针： 先通过图形直观呈现数量关系，找到核心规律， (304 再将规律应用到抽象算式中进行计算。 问路取经： 数形结合的优势是什么？ 观察图形（见右上漫画），图①是3×3的正方形， 空白部分小正方形的个数是32一2=3十2；图②是 简单易懂。 5×5的正方形，空白部分是52一42=5十4。那如果图③是7×7的正方形，其空白 部分该怎么表示？再用这个规律算一算302一292十282一27+…十2一12的结果， 数形结合找规律更简单，你也来试试吧！ 图解母题 3分钟 例 读题审题（学而思杯）探索规律。 ① ② ③ ·观察已知图形的规律 (1)观察上面的图，发现：图①空白部分小正方形的个数是22一12=2+1；图②空白部分小 证方形的个数是42-32=4+3；图3空白部分小正方形的个数是()2-（“)2= )+( 。 →求图③的结果 (2)运用公式计算：202-192+182-172+162-152+…+22-12 →求计算结果 2 第十二周 灵山脚下悟数理 图示解析 根据第(1)题中的 观察图形，通过小正方形 利用规律计算出 规律进行转化，然 的总数量、涂色小正方形 图③中空白小正 后利用等差数列求 的数量、空白小正方形的 方形的个数 和公式，计算出第 数量关系，找出规律 (2)题的答案 解题思路 ①数形结合找规律：观察图形和所给的等式，发现相邻两个数的平方差等于这 两个数的和。 ②利用这一规律计算图③中小正方形的个数。 ③运用公式计算：计算第(2)题时，先运用上面的规律求出各组平方差，然后 利用等差数列求和公式计算。 规范解答 (1)图③空白部分小正方形的个数是62一52=6+5，答案依次为：6、5、6、5。 (2)由规律a2一b2=a+b(a=b十1)，原式可转化为： (20+19)+(18+17)+…+（2+1) =1+2+3+…+19+20 (1+20)×20 2 =210 通关模型鱼70变数形结合 通用解法：先拆分图形元素，对比数量变化总结规律，再用代数验证规律，最后借助规 律公式完成计算。 三步解题 1.观图找规律：观察图形的组成和变化，结合已知等式，总结出数量运算规律（如平方 差规律、数列求和规律等)。 2.转化算式：根据找到的规律，将复杂算式（如平方差求和、连续奇数求和等)转化为 简单易算的形式（如加法分组、等差数列求和等）。 3.计算结果：运用简便的计算或公式（如等差数列求和公式)，求出最终结果。 13 小学奥数2变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(希望杯)观察，下面的图与算式有什么关系，把下面的图和算式补充完整。 1=12, 1+2+1=22, 1+2+3+2+1=()2, 1+2+3+4+3+2+1=()2, 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=()2=()。 2.(巨人杯)小军在计算以下几道题时，发现了这样的规律： 32-22=（3+2)×（3-2), 52-32=（5+3)×（5-3), 72-42=（7+4)×（7-4) … (1)你能用含有字母的式子，表示上面的规律吗？ (2)如果用右边的方格图表示52，那么请在方格图中继续画3，并想办法解释为什么 52-32可以用(5+3)×（5一3)来计算。 画图思考/规范解答： 3.(实验杯)观察图形，数形结合，完成下面各题。 (1)1+3+5+7+9=()=()2。 (2)1+3+5+7+9+11=()=()2, ●●● 1+3+5+7+…+（2n-1)=()2。 (3)根据你发现的规律及图中的信息，请你仿照(1)(2)， 用等式表示从1开始的n个连续奇数之和的结果。 ●●● 画图思考/规范解答： 114 第十二周 灵山脚下悟数理 第71变 、倒推法沙僧寻原量 倒推法 考点人门 2分钟 入门须知： 倒推法是从问题的最终结果入手，沿着与原有 运算逻辑相反的方向（如加法变减法、乘法变除法） 倒推法的关键是什么？ 逐步回溯，从而还原出初始状态的解题方法。它特 别适用于“经过多次操作后求初始量”的问题，像 还原物品数量、资金总额、液体体积等场景都能用到。 定海神针： 先确定问题中每个量的最终结果，然后对每一 丙给甲前： 9÷(1 次“给出、增加、减少、乘除”等操作进行逆向处理， 10-0=1(升) 乙给丙前 再按照操作的逆顺序，依次推导，最终得到最初的 ）=12(升) 数量。 问路取经： 从最后状态入手，逆向还原。 甲、乙、丙三个容器各装有一些水，首先甲给乙行，之后乙给丙子，然后丙给甲0， 最后甲、乙、丙都是9升，问原来乙有多少升水。 图解母题 3分钟 甲、乙、丙、丁的钱数关系← 例■ 读题审题（世少赛）甲、乙、丙、丁四人合买一台电脑，甲带的钱是另外三人所带钱： 总数的3，乙带的钱是另外三人所带钱总数的4，丙带的钱是另外三人所带钱总数的亏，丁带 了1380元，四人所带的总钱数是多少元：？ →求四人所带的总钱数 15 小学奥数2变六年级竞赛版 图示解析 解题思路 乙、丙、丁 ①转化分率：把四人带的总钱 数看作单位“1”，将甲、 1份 3份 乙、丙的钱数与另外三人的 关系转化为各自占总钱数的 甲、丙、丁 分率。 ②求丁的分率：用单位“1” 1份 4份 减去甲、乙、丙的分率，得 到丁带的钱数占总钱数的 丙 甲、乙、丁 分率。 ③倒推总钱数：根据丁带的钱 数和其对应分率，用除法求 1份 5份 出四人的总钱数。 规范解答 甲：十3=4乙：十4= 两：十5= 1--号-=1-品-品-品=1-=器 丁带了1380元，对位分率器 因此总钱数为：1380÷需=1380× 0 23 =3600(元) 答：四人所带的总钱数是3600元。 通关模型鱼71变倒推法 通用解法：倒推还原从尾找，运算反向层层剥。加变减、乘变除，一步一步逆推好，初 始原量自然现。 三步解题： 1.确定最终状态：明确每一个量的最终结果。 2逆推每一步操作：对每一次的“给出”“增加”等操作，进行逆向计算（如给出去的加回 来，乘的数除回去)。 3.还原初始量：依次倒推所有操作，得到最初的量。 16 第十二周 灵山脚下悟数理 变式巧练 10分钟 1.（贵阳丘成桐少年班遴选)甲、乙、丙、丁四人去买电视机，甲带的钱是另外三人所带钱 总数的一半，乙带的钱是另外三人所带钱总数的？，丙带的钱是另外三人所带钱总数的 子，丁带了910元，四人所带的总钱数是多少元？ 画图思考： 规范解答： 2.(西安市铁一中学丘成桐少年班选拔初试)孙悟空看管蟠桃园，他采摘了一筐蟠桃并打算 四天吃完，第一天吃了这筐蟠桃的4多3个，第二天吃了剩下蟠桃的多2个，第三天 又吃了此时蟠桃的)多1个，第四天就只剩下3个了。这筐蟠桃原来有多少个？ 画图思考： 规范解答： 3.(贵阳丘成相少年班淺选)甲、乙、丙三个容器各装有一些水，首先甲给乙行，之后乙 给丙4，然后丙给甲0，最后甲、乙、丙都是9升，问原来乙有多少升水。 画图思考： 规范解答： 小学奥数72变六年级 竞赛版 第72变0 抽屉原理八戒释疑 抽屉原理 考点人门 2分钟 入门须知： 如果每个抽屉代表一个集合，抽屉里的每一个苹 如何应用抽屉原理解题？ 果就可以代表一个元素，假如有(n十1)个元素放 到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有2个 元素。它是组合数学中的一个重要原理。 抽屉原理一：如果把（n十1)个物体放在n个 抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。 抽屉原理二：如果把n个物体放在m个抽屉里， 抽屉原理：最不 利情 1，抽屉数 其中n>m,那么 =4(颜色) ①当n不能被m整除时，必有一个抽屉至少有 先确定抽屉数，再找最不 =[册]十1个物体。注：[X]表示不超过X的最 利情况，最后加1。 大整数。 ②当n能被m整除时，必有一个抽屉至少有=费个物体。 定海神针： 确定“抽屉”和“物体”，再通过分析“最坏情况”（也作“最不利情况”，即尽 可能不让目标情况发生，在此基础上再进行一次操作，必然满足条件)推导结果。 问路取经： 有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片各6张，八戒说“抽屉原理要找最不利情况”， 那至少摸多少张卡片，才能保证有3张颜色相同？要是想保证有2种颜色各2张，至少 又要摸多少张？结合“最不利情况十1”的规律分析。 图解母题 3分钟 玻璃球的预色和个数， 例 读题审题（春蕾杯）一个盒子里装有红、黄、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色各 有20个。现在从中任意摸球，最少摸几个球，才能保证有5个球是同一种颜色的？ →有5个球是同一种颜色，求至少要摸几个球 18 第十二周 灵山脚下悟数理 图示解析 往每个“颜色抽屉” 想象存在4个分别标 再往任意一个“颜 “红”“黄”“蓝”“绿” 里依次放入4个球， 色抽屉”里放入1个 此时每个抽屉都有 的抽屉，对应四种颜 球，即可保证有5个 4个球，总共放入 色的玻璃球 球是同一种颜色 (4×4)个 解题思路 ①确定“抽屉”和“最不利情况”：把红、黄、蓝、绿四种颜色看作4个“抽屉” 要保证有5个球同色，最不利的情况是每种颜色都先摸出4个球。 ②计算最不利情况下的总球数：每种颜色摸4个，共摸出4×4=16（个）球。 此时，这16个球中每种颜色都只有4个，还没有达到5个同色的情况。 ③得出保证有5个同色的最少球数：在②的基础上，再摸1个球，不管这个球是 什么颜色，都会使得其中一个“抽屉”里的球数达到5个。因此，最少要摸 16+1=17（个)球。 规范解答 抽屉数（颜色种类）：4种 每个抽屉的最坏情况数（要保证5个同色，先摸4个同色）：4个 总球数=抽屉数×每个抽屉的最坏情况数=4×4=16（个） 再摸1个球，保证有5个同色的最少摸球数=16十1=17(（个) 答：最少摸17个球，才能保证有5个球是同一种颜色的。 通关模型鱼72变抽屉原理 通用解法：抽屉、物体先辨明，最坏情况算分明，加“1”确保目标成。 三步解题： 1.明确抽屉与物体：确定题目中哪些是“抽屉”（分类的类别)，哪些是“物体”（要 分配的元素)。 2.分析最坏情况：尽可能构造不满足目标的极端情况，计算此时的元素总数。 3.加“1”得结果：在最坏情况的基础上加“1”，即为保证满足条件的最少数量。 119 小学奥数72变六年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（海峡两岸数学邀请赛初赛)一副扑克牌共54张，有四种花色，每种花色各有13张，现 在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的。 画图思考： 规范解答： 2.(陈省身杯)某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。兴趣小组包括数学、美术、 书法和英语，每人可参加其中的1个、2个、3个或4个。问班级中至少有几名学生参加 的兴趣小组完全相同。 画图思考： 规范解答： 3.(创新杯)一个布袋中装有若干大小相同、颜色不同的袜子，颜色有黑、红、蓝、黄四种。 问最少要摸出多少只袜子才能保证有4双袜子。 画图思考： 规范解答： 120