第六周 火焰山前择路径——计数原理-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

参考答案 第一周花果山巅悟运算 !3.11时46分15分钟 定义新运算 第四周山林道上赶路忙 第37变 —趣味行程问题 1.48 2.6048 3.145584 第46变 第38变 1.425 2.16500米3.45 1.D 2.9 3.D 第47变 第39变 1.5.7小时 2.2小时 3号 1.2 2.2 3.3 第48变 第二周水帘洞中探分数 1.6分钟 2.5 3.630秒 分数运算技巧之裂项法 第五周高老庄里学统计 第40变 统计图 1.号 2.4 3号 第49变 第41变 1.(1)9 (2)20 1. 11 2贵 3.1 2.9 4050 3.106 第42变 第50变 1 1. 22 45 2. 3200 3. 1139 1.(1)50.5 (2)45 9603 20520 2.（1)870 (2)0.16千米/分 第三周 寺庙钟楼破时谜 3.（1)411 (2)9小时 时钟问题 第43变 第51变 1.106° 2.160° 3.30° 1.50步行 20 坐小轿车8 2.1200元 第44变 3.2354.8 . 260 20分钟 3.7时5分27秒 第六周火焰山前择路径 第45变 一加法与乘法原理 1.8时48分 第52变 2.12时40分 1.20十10=30（种） 121 2.3+3=6(种) 答：该酒店年应缴纳两项费用共3.852 3.8+20+10=38(种) 万元0 第53变 第59变 1.6×4=24（种) 1.3378-3000=378（元) 2.216个 378÷7=54(元) 3.3种 54÷3000×100%=1.8% 第54变 答：这种存款的年利率是1.8%。 1.642 2.16个 3.40种 2.150000×（1-30%)=105000（元) 105000×6.15%×3=19372.5（元) 第七周万寿山前排座次 排列组合及概率 10000<19372.5 答：到乙公司购买汽车更便宜。 第55变 3.方法一： 1.12012 2.29 3.1728 10000+10000×4.7%×2=10940(元) 第56变 办法二：10000×4%×1=400（元) 1.28 2.6 3.62 （10000+400)×4%×1=416(元) 第57变 10000+400+416=10816(元) 10940>10816 1 2.9 3. 17 答：选择方法一得到的利息多一些。 42 第60变 第八周西市商行谈经营 经济问题 1.解：设商品的进价为x元。 x×(1+35%)×90%=x+208+50 第58变 x=1200 1.11500-5000=6500（元) 答：商品的进价为1200元。 4500×5%=225（元) 2.（1)解：设每千克苹果至少卖x元。 2000×10%=200（元) 4×2000+1000=2000×（1-25%)x 225+200=425（元) 答：明明爸爸每月应缴纳个人所得税425元。 x=6 2.4000-800=3200(元) 答：每千克苹果至少卖6元。 3200×14%=448(元) (2)2000×(1-25%)=1500(千克) 427<448 1500×7=10500(元) 427÷14%=3050（元) 10500-9000=1500(元) 3050+800=3850（元) 答：每千克苹果卖7元，这个水果商卖完 答：这笔稿费是3850元。 这批苹果可盈利1500元。 3.增值税：10×3%=0.3（万元) 3.解：设变形金刚原价为元。 城市维护建设税：0.3×7%=0.021（万元） 48×(1+25%)=60（元) 一年的总费用：（0.3+0.021)×12=3.852 [0.88x-（x-48)]×2=60 (万元) x=150第六周 火焰山前择路径 一计数原理 取经情境图 从左边走，到李家庄有2条路，再到火焰山有 师父，前方有妖兵布阵，咱们绕 4条路；从右边走，直接到火焰山有3条路。 道去火焰山吧！ 好，我们来看看路线图。 共有多少种走法呢？ 是的。“分类”用加法，“分步”完成用 第一类，走左边路线，分两步，先到李家 乘法，这就是破阵的关键」 庄，再到火焰山，共有2×4=8（种）走法。 第二类，走右边路线，有3种走法。 右边的路线更快捷，我们赶紧出发吧 -共有8+3=11（种）走法。 闯关前思考 唐僧师徒用加法与乘法原理化解了难题，顺利前往火焰山。生活里类似的“选择与分步” 问题还有很多。什么时候该用加法原理？什么时候该用乘法原理？如果遇到“先选类别再分 步”的复杂情况，又该怎么结合两种原理计算？本周就让我们跟着师徒四人的脚步，一起掌 握加法与乘法原理里的数学逻辑吧！ 67 小学奥数72变六年级 竞赛版 第52变0 悟空择途用加法 加法原理基础 考点人门 2分钟 入门须知： 加法原理是计数的基础方法，其核心是“分 类计数，类类相加”。当完成一件事有多种独 从集市到李家庄，有多 立的类别（方案），且每一类都能单独完成这 少种不同的走法？ 件事时，只需把每类的方法数相加，就能得到 总的方法数。解题时要先明确分类标准，保证 类别间相互独立、无重复、无遗漏，再分别算 出每类方法数，最后求和。 定海神针： 总方法数=m1十m2+…十mn(n表示完 成这件事的办法类别数，m表示每一类办法中 包含的不同具体方法数)。 用加法原理计算即可。 问路取经： 从集市到李家庄，可以坐马车，也可以坐牛车，还可以坐船。一天中马车有6趟， 牛车有4趟，船有2趟。乘坐这些交通工具到李家庄，共有多少种不同走法？你能用悟 空说的加法原理计算出来吗？快来试试吧！ 图解母题 3分钟 不同类型书的数量≤ 例 读题审题（巨人杯)书架上有中10本故事书，3本历史书，12本科普读物，任意从书： 架上取一本书，有多少种不同的取法？ 求取一本书的总取法数 52 第六周火焰山前择路径 图示解析 第一类：10本故事书→取一本，有10种取法 第二类：3本历史书取一本，有3种取法 类类相加，共10+3+ 12种 第三类：12本科普读物→ 取一本，有12种取法 易错点：易漏算某类书或重复计算某类书的数量，使总取法数偏大或偏小。 解题思路 ①明确取书的分类情况：书架上有故事书、历史书、科普读物三类书，我们取一 本书时，要么取故事书，要么取历史书，要么取科普读物。 ②计算每类书的取法数量：故事书有10本，所以取一本故事书有10种不同的取 法；历史书有3本，所以取一本历史书有3种不同的取法；科普读物有12本， 所以取一本科普读物有12种不同的取法。 ③运用加法原理求总取法数：取一本书这件事分为3类（取故事书、历史书、科 普读物)，对应的方法数分别是10、3、12，因此总取法数为10十3十12= 25（种)。 规范解答 10+3+12=25(种) 答：有25种不同的取法。 通关模型鱼52变/加法原理基础 通用解法：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二 类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有m1+m2十…十mn种不同的方法。 三步解题： 1.确定分类：分析题目，找出完成某一件事可分为哪几类办法（即相互独立的类别)。 2.计算每类方法数：针对每一个类别，结合题目给出的数量条件，计算该类别下完成事 件的具体方法数。 3.应用加法原理求和：根据加法原理，将所有类别的方法数相加，得到完成事件的总方 法数。 53 小学奥数72变六年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.（春蕾杯)书架上有不同的数学书20本，不同的语文书10本，现从书架上取出一本书， 有多少种不同的取法？ 画图思考： 规范解答： 2.（学而思杯)一只青蛙在A、B、C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 画图思考： 规范解答： 3.(高思杯)小宝去商店给小贝买生日礼物，在售卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的 课外书20本，不同的纪念品10种，那么小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 画图思考： 规范解答： 6 第六周火焰山前择路径 第53变。八戒点菜用乘法 乘法原理进阶 考点人门 2分钟 入门须知： 乘法原理的核心是“分步计数，步步相乘”。 各选一种，有多少种选法9 当完成一件事需要分多个步骤，且每一步都不可或 缺，前一步的选择会影响后一步的方法数时，把每 用乘法原理计算。 一步的方法数相乘，就能得到总的方法数。解题时 要明确分步逻辑，确保步骤依次进行、缺一不可， 再分别算出每一步的方法数，最后相乘。 定海神针： 总方法数=m1×m2×…×mn（n表示完成这件 事需要的步骠数，m表示每一步对应的不同具体方 法数)。 问路取经： 来到饭店，八戒看到主食有3种，莱品有6种 饮料有3种。如果他想从中各选一种，有多少种不同的选法？请你用八戒说的乘法原理 算一算吧！ 图解母题 3分钟 》两种类型书的数量 例 读题审题（迎春杯)老师拿来5本不同的故事书，6本不同的文艺书，小华从两种书： 中各借1本，有多少种不同的借法？ >求各借1本书的总方法数 55 小学奥数72变六年级 竞赛版 图示解析 第一步：借故事书 第二步：借文艺书 有5种不同的借法 有6种不同的借法 步步相乘，共有5×6种 易错点：混淆“分步”与“分类”，误将乘法原理换成加法原理，错算成 5十6=11（种），导致结果错误。 解题思路 ①明确借书的分步过程：借书这件事需要分两步完成，第一步借1本故事书，第 二步借1本文艺书。只有这两步都完成，才算完成“从两种书中各借1本” 的任务。 ②分别计算每步的方法数量：故事书有5本且各不相同，所以第一步借故事书有 5种不同的借法；文艺书有6本且各不相同，所以第二步借文艺书有6种不同 的借法。 ③根据“乘法原理”计算总借法数：借书分为两个步骤，对应的方法数分别是5 和6，因此总借法数为5×6=30（种)。 规范解答 5×6=30(种) 答：有30种不同的借法。 通关模型龟53变乘法原理进阶 通用解法：如果完成一件事需要分个步骤，做第一步有m,种不同的方法，做第二 步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 m1×m2×…×mn种方法。 三步解题： 1.确定分步：分析题目，找出完成某一件事需要依次完成的若千相互关联的步骤（即上 一步的完成是下一步进行的基础，步骤间有先后逻辑)。 2.计算每步方法数：针对每一个步骤，结合题目给出的数量条件，计算该步骤下完成事 件的具体方法数量。 3.应用乘法原理求积：将所有步骤的方法数相乘，得到完成事件的总方法数。 56 第六周火焰山前择路径 变式巧练 10分钟 1.（世奥赛)书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各1 本，有多少种不同的取法？ 画图思考： 规范解答： 2.（巨人杯)从1、3、5中任选2个数字，从2、4、6中任选2个数字，共可组成多少个没 有重复数字的四位数？ 画图思考： 规范解答： 3.（希望杯)某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会，其中，他从北京到大连 可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船。那么，他从北京经大连 到天津共有多少种不同的走法？ 画图思考： 规范解答： 67 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 54变。菜色变换综合用 加乘原理综合运用 考点人门 2分钟 入门须知： 加法原理和乘法原理的综合运用简称加乘原理 各选一种，有多少种选法？ 综合运用，是将“分类”和“分步”结合的计数策略。 解题时需先判断事件是“分类中有分步”还是“分 我得仔细想想。 步中有分类”，即是先按加法原理分类，每一类里 再按乘法原理分步，最后把各类的结果相加，还是 先分步，某一步里再分类，把每步的分类结果相乘。 通过“分类则加，分步则乘”的逻辑，综合计算出 总的方法数。 定海神针 若完成一件事需先分类再分步，总方法数为每 类内各步骤方法数的乘积之和。 问路取经： 饭店的主食有抄手、面条、米线3种，菜品有3种凉菜和3种热菜，饮品有豆浆、牛奶、 果汁3种，如果八戒要各选1种，他有多少种选法？快来试试吧！ 图解母题 3分钟 →不同类型书的数量 例 读题审题（世奥赛）书架上面有5本数学书，4本语文书，3本英语书：。小明要从中 选取两本不同类型的书，一共有多少种选法？ →求取2本书的总取法数 图示解析 5本数学书 4本语文书 3本英语书 选两本不同类的书：数学书和语文书 数学书和英语书 语文书和英语书 20种 15种 12种 58 第六周火焰山前择路径 解题思路 ①确定不同类型的组合类别：要选取两本不同类型的书，需明确所有可能的类型 组合：数学书和语文书，数学书和英语书，语文书和英语书。 ②分步计算每类组合的选法数量：对于每一类组合，需分两步选取（先选第一类 书，再选第二类书)，根据乘法原理计算选法数： 选数学书和语文书，数学书有5本，选一本有5种方法；语文书有4本，选一 本有4种方法。因此这类组合的选法数为5×4=20（种)。 选数学书和英语书：数学书有5本，选法有5种；英语书有3本，选法有3种。 这类组合的选法数为5×3=15（种)。 选语文书和英语书：语文书有4本，选法有4种；英语书有3本，选法有3种。 这类组合的选法数为4×3=12（种)。 ③根据加法原理求总选法数：因为这三类组合是相互独立的（选了“数学和语文” 就不会同时选“数学和英语”或“语文和英语”)，所以根据加法原理，将 三类组合的选法数相加，得到总选法数：20+15+12=47（种)。 规范解答 5×4=20(种) 5×3=15(种) 4×3=12（种) 20+15+12=47(种) 答：一共有47种选法。 通关模型角54变/加乘原理综合运用 通用解法：若完成一件事需先分类再分步，总方法数为每类内各步骤方法数的乘积之和， 即（第1类第1步方法数×第1类第2步方法数×…×第1类第n1步方法数)十（第 2类第1步方法数×第2类第2步方法数×…×第2类第n2步方法数)十… 三步解题： 1.分类：把“完成这件事的所有方式”拆分为互不重复、无遗漏的类别（每一类对应一 种独立的完成路径)。 2.分步：对每一个类别，将其拆分为依次进行的多个步骤，用“每一步的方法数相乘” 得到该类别的总方法数。 3.求和：把所有类别的方法数相加，得到完成这件事的总方法数。 59 小学奥数72变六年级 竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(中环杯)汤姆用3张不同的数字卡片可以拼出6个三位数，其中5个数的和是2022， 则剩下的数是 画图思考： 规范解答： 2.(世奥赛)如图，直线a,b上分别有4个点和2个点， 以这些点为顶点可以画出多少个三角形？ 画图思考/规范解答： 一0 .b 3.(时代杯)学完加乘原理后，乐乐老师让每个人从她的手中抽一 C 道题目，以测试学习的效果。丁丁抽中的问题：如图，八面体有 12条棱，6个顶点，一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰 好经过每一个顶点一次，问共有多少种不同的走法。 画图思考/规范解答： B