第十一周 普提树下参模型——几何模型(二)-【小学奥数72变】2026-2027学年小学数学六年级奥数训练（竞赛版）

150×0.88=132（元) 答：打折后每个变形金刚的售价为132元。 第九周白骨洞内探奇物 一立体几何问题 第61变 1.（3-1)×2=4(个) 9.6÷4=2.4（dm2) 2.4×1.5×10=36（dm3) 答：原来圆柱形钢材的体积是36dm。 2.3.14×(2÷2)2×(5+7)÷2=18.84(cm3) 答：图2中立体图形的体积是18.84cm。 3.3×2×（20+25)÷2=270 答：几何体的体积是270。 第62变 1.15×12×6=1080(cm3) 20×8×6=960(cm3) 1080-960=120(cm3) 答：他自己可以喝120cm3的饮料。 2.号×3.14×102×12=1256(cm3) 5×4×4=80(cm3) 1256÷80≈15.7 答：可铸成完整的长方体铁块最多15块。 3.20÷2=10（cm) 8÷2=4（cm) 3.14×（102-42)=263.76（cm2) 263.76×100÷(0.04×100）=6594(cm) 6594cm=65.94m 答：薄膜展开后的长度是65.94m。 第63变 1.6×4=24(cm3) 6×(8-6)=12(cm3) 24+12=36(cm3) 36cm3=36ml 答：这个瓶子的容积是36ml。 2.18+7=25（cm) 10÷2=5(cm) 3.14×52×25=1962.5(cm3)=1962.5(ml) 答：瓶子的容积是1962.5ml。 3.(16-12)×3=6(cm) 答：水瓶中圆锥部分的高度为6cm。 第十周几何仙境觅模型 一几何模型（一） 第64变 1.1cm2 2.(1)8cm (2)方 3.4:21:56 第65变 1.18 2.75 3.33 第66变 1.12cm2 2.28.75cm23.12.5cm2 第十一周菩提树下参模型 一几何模型（二) 第67变 6 1.35 2.50cm23.18 第68变 1.20cm 2.40 3.30 第69变 1.2.25cm2 2.37.8 3.44cm2 第十二周灵山脚下悟数理 —数学思想与数学原理 第70变 1.3410010000 y@yyO ●●y● ●●●O] 123第十一周 菩提树下参模型 一几何模型（二) 取经情境图 “鸟头”共角，如何求 △ABC中，D在AB上， AD:AB=3:7,E在AC上， 这是几何模型关？ 大三角形的面积？ AE:AC=2:5,△ADE的面 积是12cm2。那么△ABC的面 积是多少？ 欲悟模型真谛，须解三题。 找共角两边的比例，乘积比就是面积比。 4视 四边形ABCD的时角线 如何找最大面积？ 交于点O,已知△AOB的面 积是8cm2,△B0C的面积 如何求总面积9 C梯形ABCD中，AB 是12cm2,△AOD的面积是 和CD平行，AB=2cm, 10cm。那么△C0D的面积 CD=2cm,△AOB的面 是多少？ 积是4cm2。那么△COD 的面积是多少？△AOD 和△BOC的面积又各是 多少？ 2cm 4 4cm 用对角线的面积规律，列方程算。 先找相等的面积，再推导。 闯关前思考 鸟头模型中对应角互补时，面积比的规律是否适用？风筝模型中如何求不规则四边形 的面积？蝴蝶模型能在哪些图形中应用？本周将探究特殊几何模型的本质，解决变形与交又 应用的难题。 101 小学奥数72变六年级 竞赛版 第67变。灵猴攀枝探角度 鸟头模型 考点入门 2分钟 入门须知 若两个三角形共用一个顶点，且在该顶点处的两 个角相等或互补（两个角的和等于180°)，则这两 个三角形构成鸟头模型，也叫作共角模型。 共角三角形的面积之比等于对应角（相等或互补） 对 两条夹边的乘积之比。 共角 面积比 7x夹边 21 共角三角形的面积比等于其公 图1 图2 共角的两条夹边的乘积之比。 定海神针： 共角规律：如图1，若△ADE与△ABC有公共角∠A,则S△DE= ADXAE SA ABC ABXAC 互补角规律：如图2，若LDAE与∠BAC互补，则AmE= ADXAE S△ABC AB×AC 问路取经： △ABC中（见右上漫画），D在AB上，AD:AB=3:7,E在AC上，AE:AC=2:5, △ADE的面积是12cm。悟空说“共角三角形的面积比等于其公共角的两条夹边的乘积 之比”，那么△ABC的面积是多少？试着验证一下吧！ 图解母题 3分钟 两个三角形中，公共角的两条夹边长度关系 例 读题审题（创新杯）如图，在△ABC中，D、E分别 是边B、4C上的点，且D:AB=2:5,4E:4C=4:7 D SA4s三16cm!求：△ABC的面积。求共角三角形中另-个三角形的面积 共角的两个三角形，其中一个三角形的面积 102 第十一周菩提树下参模型 图示解析 观察图形可以发现，图中 根据鸟头模型（共角定理）：共角 的两个三角形共用一个 三角形的面积之比等于对应角（相 内角，由此可以判定此题 等角或互补角)两条夹边的乘积之 可用鸟头模型解答 比，代入题中数据即可解决问题 易错点：对应边比例颠倒。 解题思路 ①判断模型：观察到△ADE与△ABC有公共角∠A,符合鸟头模型的共角三角 形条件。 ②求对应边的比例：确定公共角∠A的两边，AD:AB=2:5,AE:AC=4:7。 ③计算面积比并求解：根据鸟头模型公式，面积比为(2×4)：（5×7)=8：35， 再结合△ADE的面积为16Cm2,即可求出△ABC的面积为16÷8×35= 70(cm2)。 规范解答 SAADE:S△MBC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(5X7)=8:35 S△MBc=16÷8×35=70(cm2) 答：△ABC的面积是70cm。 通关模型角67变鸟头模型 通用解法：先判断是否为鸟头模型（两个三角形有一组对应角相等或互补），再确定对 应两边的比例，最后利用面积比公式计算。 三步解题： 1.判断模型：识别两个三角形是否共享一个角（相等或互补），确定是否符合鸟头模型。 2.求对应边的比例：找出公共角两边的长度比例，分别计算两组对应边的比值。 3.计算面积比并求解：根据鸟头模型公式“面积比=对应角的两条夹边的乘积之比” 结合已知面积求出未知面积。 103 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(育苗杯)如图，△ABC的面积为1，在边AB上取一点E 使AE:AB=2:5,在边AC上取一点F使AF:AC=3:7, E 求△AEF的面积。 画图思考/规范解答： 2.(高思杯)如图，△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且 AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,S△MDs=12cm2,求△ABC的面积。 画图思考/规范解答： E 3.(世少赛)如图，已知△ABC的面积为1，延长AB到D,使 得BD=AB;延长BC到E,使得CE=2BC;延长CA到F, 使得AF=3AC,求△DEF的面积。 画图思考/规范解答： B 104 第十一周菩提树下参模型 第68变0 仙禽展翅成风筝 风筝模型 考点人门 2分钟 入门须知： 在任意凸四边形ABCD中，连接其对角线， 交于点O。原来的四边形被划分成四个三角形。 如下图，其面积分别为S1、S2、S3、S4 此题如何解？ A S3 B 定海神针： 风筝模型： S1:S2=S4:S =S△A00×Sa0 S1×S=S2×S4（交叉乘积相等) AO:OC=(S1+S2):(S4+S3) 用交叉乘积相等 的规律解题。 问路取经： 四边形ABCD的对角线交于点O(见右上漫画)，已知△AOB的面积是8cm, △BOC的面积是12cm2,△AOD的面积是10cm2。风筝模型要用到交叉乘积相等，那 么△COD的面积是多少？再接着算出AO:OC和BO:OD的值吧！ 图解母题 3分钟 例■ 读题审题 (亚太杯)如图，AC、BD两条线段将四边形 ABCD分成四个三角形，I已知△AOB、△BOC和△AOD的面积 分别为3cm2、5cm和9cm2,则四边形ABCD的面积为多少？ 三个三角形的面积 求四边形的面积 105 小学奥数72变六年级 竞赛版 图示解析 根据风筝模型的特 根据风筝模型，找 将四个三角形的 征，判定该图形可以 比例关系，代入已 面积相加，求得四 应用风筝模型解答 知面积计算 边形的总面积 易错，点：混淆对角线对应的面积和，误将单个三角形的面 积当作比例依据。 解题思路 ①找比例关系（核心结论应用)：根据风筝模型“三角形面积交叉乘积相等” 即SAA0BXS△cOD=S△BocX S△40D0 ②设未知数并计算：设S△coD为未知量，代入已知面积S△4oB=3(cm2)、 S△0c=5(cm2)、S△40D=9(cm2),列方程3 X SACOD=5×9,解得 SACOD=15(cm2)。 ③求四边形的总面积：将四个三角形的面积相加，即3十5十9十15=32(cm2)。 规范解答 由风筝模型可得S△MOBXS△coD=SABoc×S△AoD 代入数据3×SACOD=5×9,解得SACOD=15(cm2) 四边形ABCD的面积为3+5+9+15=32（cm2) 答：四边形ABCD的面积为32cm。 通关模型鱼68变/风筝模型 通用解法：利用风筝模型“三角形面积交叉乘积相等”，根据题目条件应用结论计算， 或通过设未知数、列方程求解未知面积或线段比例。 三步解题： 1.找比例关系：识别被分割的四个三角形，依据风筝模型的结论，明确已知面积、线段 比与未知量的关联。 2.选择求解方式：直接应用结论计算或建立等式求解，可设未知面积为未知数。 3.求解：根据“三角形面积交叉乘积相等”或四边形总面积的关系，直接计算或列方程 求解未知数，进而得到目标面积或线段之比。 06 第十一周菩提树下参模型 变式巧练 10分钟 1.（希望杯)如图，四边形ABCD被其对角线分成四个三角形， 四边形ABCD的面积是42cm2,其中两个小三角形的面积分别 是3cm和4cm2,那么最大的一个三角形的面积是多少？ 画图思考/规范解答： B 2.（中环杯)如图，已知四边形ABCD的面积为90， 其对角线相交于点E,且AE:EC=5：4,则 △BCD的面积是多少？ E 画图思考/规范解答： C 3.(小机灵杯)如图，在△ABC中，BE和CD交于点O,其中每个 小三角形的面积都是整数，已知△ADE、△BOD、△COE的面 D 积分别是5、8、3，则△ABC的面积是多少？ 画图思考/规范解答： O B 6 小学奥数72变六年级 竞赛版 第 69变。彩蝶纷飞藏规律 蝴蝶模型 考点入门 2分钟 入门须知： 四边形ABCD是梯形，AC、BD交于点O, 此题怎么破解？ 把四边形分成了四个三角形，左右两个三角 形组成的图形类似蝴蝶，故简称蝴蝶模型。 这四个三角形的面积存在固定比例关系。 4cm 由S1:S3=a2 S b2可知4：S3=4 16,S3=16 b 定海神针： 用蝴蝶模型解题。 S2=S4(因为S△ABc=SA DBC,所以S△ABc-SAoBc=S△DBC-S△oBC) S1:S3=a2:b2;S1:S3:S2:S4=a2:b2:ab:ab;S1×S3=S2×S4（交叉乘积相等) 问路取经： 梯形ABCD中（见右上漫画)，AB和CD平行，AB=2cm,CD=4cm,△AOB 的面积是4c。蝴蝶模型里上下相对的两个三角形面积比是梯形上下底之比的平方， 那么△COD的面积是多少？△AOD和△BOC的面积又各是多少？最后算算梯形的总 面积吧！ 图解母题 3分钟 D 两个三角形的面积 例 读题审题（万人挑战赛初赛)如图，S2=2,S,=4i, S2 求梯形ABCD的面积。 S3 求梯形的面积 108 第十一周 菩提树下参模型 图示解析 根据蝴蝶模型，利 根据蝴蝶模型的特 将四个三角形的 用等积关系和交叉 征，判定该图形可以 面积相加，计算梯 乘积相等公式求得 应用蝴蝶模型解答 形的总面积 其他三角形的面积 易错点：混淆四个三角形的对应关系。 解题思路 ①利用等积关系求S4:根据S2=S4,已知S2=2,直接得出S4=2。 ②用交叉乘积相等求S1:由S1×S3=S×S4,代入已知数据4×S1=2×2,解 得S1=1。 ③计算梯形的总面积：将四个三角形的面积相加，即S1十S2+S,十S4=1+2+ 4+2=9。 规范解答 梯形ABCD中，S2=S4,S2=2, 所以S4=2。 又因为S1×S3=S2×S4,S3=4, 所以4×S1=2×2,解得S1=1。 S梯形BcD=S1十S2十S3十S4=1十2十4+2=9。 答：梯形ABCD的面积是9。 通关模型鱼69变蝴蝶模型 通用解法：识别梯形中的蝴蝶模型结构，利用等积关系、比例关系或交叉乘积相等，逐 步推导未知三角形的面积，最终求出目标图形的面积。 三步解题： 1.定模型：判断图形为梯形，且对角线相交形成四个三角形，确定适用蝴蝶模型。 2.找已知：提取题目中给出的三角形面积、边长或线段比，明确各面积对应的位置(S1、 S2、S3、S4)。 3.算结果：根据蝴蝶模型的核心结论，先求出未知的三角形面积，再求出目标图形的面积。 109 小学奥数72变六年级竞赛版 变式巧练 10分钟 1.(万人挑战赛)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD,对角线 B AC与BD相交于点O。已知AB=3cm,CD=5cm,且 梯形ABCD的面积为16cm2。求△AOB的面积。 画图思考/规范解答： D 2.(春蕾杯)如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的三等分点，A B AC和DE相交于点O,如果正方形ABCD的面积是126，求 △ADO的面积。 0 画图思考/规范解答： D 3.(睿达杯)如图，已知长方形ABCD的面积为120cm, E是AD上靠近点A的一个三等分点，连接BD,与EC 相交于点F,且DF:BF=2:3,则阴影部分的面积是 多少？ 画图思考/规范解答： 110